hitrov-1st-semester / Paragraf_9

с ( r 1 )-ой, равны нулю (проверяется непосредственной подстановкой в выражение для y

Таким образом, zr 1,..., zn

являются их линейными комбинациями. Такая совокупность

базисной или фундаментальной.

Буквенное выражение, которое при частных значениях для букв дает все решения данной системы уравнений, называется общим решением этой системы. Для системы линейных однородных уравнений общим решением будет линейная комбинация фундаментальной системы с буквенными коэффициентами.

3. Неоднородные линейные системы.

С неоднородной линейной системой

a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1 , a21x1 a22 x2 ... a2n xn b2 ,

..........................................

a1m x1 anm2 x2 ... amn xn bm

связываются две матрицы: матрица коэффициентов

и расширенная матрица – матрица коэффициентов с присоединенными свободными членами

Теорема 3 (Кронекера – Капелли). Для того чтобы система линейных уравнений была совместной (т.е. имела хотя бы одно решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов был равен рангу расширенной матрицы.

(Матричная запись теоремы: для того, чтобы X такой, что AX B , необходимо

и достаточно, чтобы rankA rankA ).

Доказательство. Записав систему уравнений в виде x1u1 x2u2 ... xnun b

где u1,u2 ,...,un - столбцы матрицы коэффициентов и b столбец свободных членов, мы видим, что для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы столбец b был линейной комбинацией столбцов u1,u2 ,...,un . Для этого равенство рангов, конечно, необходимо, но оно и достаточно, ибо если ранги одинаковы, то базис для u1,u2 ,...,un будет базисом и для u1,u2 ,...,un ,b . Так что b есть линейная комбинация базисных столбцов для u1,u2 ,...,un и, следовательно, решение существует.

4. Строение множества решений неоднородной системы.

Теорема 4. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений равно сумме частного решения и общего решения однородной системы с той же матрицей коэффициентов.

общему решению однородной системы. Отсюда непосредственно следует справедливость теоремы, ибо x x0 (x x0 ) .

5. Метод Гаусса. Рассмотрим метод решения системы линейных уравнений путем сведения его к решению системы с трапециевидной (в частности треугольной) матрицей коэффициентов – так называемый метод Гаусса. Пусть

- система линейных уравнений. Уравнение

c1 (a11x1 a12 x2 ... a1n xn ) c2 (a21x1 a22 x2 ... a2n xn )

... cm (a1m x1 anm2 x2 ... amn xn ) c1b1 cmb2 ... cmbm

называется линейной комбинацией уравнений данной системы. Очевидно, что каждое решение исходной системы будет решением и для линейной комбинации.

Две системы линейных уравнений называются линейно эквивалентными, если каждое уравнение первой системы есть линейная комбинация уравнений второй системы и каждое уравнение второй системы есть линейная комбинация уравнений первой системы. Линейно эквивалентные системы эквивалентны и в обычном смысле – они одновременно совместны или несовместны и, в случае совместности, имеют одинаковые множества решений.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называют умножение уравнения на отличное от нуля число, перестановку уравнений местами и прибавление к одному уравнению другого, умноженному на некоторое число. Ясно, что элементарные преобразования переводят систему в линейно эквивалентную (для каждого случая элементарного преобразования существуют обратные элементарные преобразования).

Теорема 5. Любая система линейных уравнений приводится посредством элементарных преобразований и, быть может, изменения нумерации неизвестных к системе с трапециевидной матрицей. В частности, для системы n уравнений с n неизвестными с неравным нулю определителем матрицы коэффициентов система приводится к системе с треугольной матрицей.

Доказательство. Сделаем последовательность элементарных преобразований так, чтобы матрица коэффициентов привелась к трапециевидной форме. Возможно, что при этом придется изменить нумерацию неизвестных (и соответствующих столбцов матрицы коэффициентов). Если ранг r матрицы коэффициентов меньше числа уравнений m, то система примет вид:

Равенства, следующие за r-ым уравнением, могут быть противоречивы, если хотя бы одно из чисел dr 1,..., dm отлично от нуля. Если же все они равны нулю, то последние m r

получить общее решение системы. Если r n , то система (в случае совместности) имеет единственное решение.

Если r m n , т.е. если матрица коэффициентов системы квадратная с неравным нулю определителем, этим способом решение системы сводится к решению системы с треугольной матрицей

при c11 0 , …, cnn 0 . Обычно добиваются того, чтобы c11 ... cnn 1 . Для этого каждый

раз, прежде чем добавлять с нужными множителями уравнение к последующим, делят обе части уравнения на коэффициент при исключаемой неизвестной (схема единственного деления метода Гаусса). Преобразование системы к системе с треугольной матрицей называется прямым ходом метода Гаусса. Можно подсчитать, что число арифметических действий при применении метода Гаусса ненамного больше числа арифметических действий для вычисления одного определителя. Метод Гаусса остается до настоящего времени одним из лучших методов решения систем линейных уравнений.