hitrov-1st-semester / Paragraf_15

§ 15. Показательная и логарифмическая функция комплексной переменной.

1. Показательная функция с натуральным основанием. Поскольку в школе среди элементарных функций вскользь рассматривалась показательная функция вещественной переменной, детальное изучение которой дается студентам в курсе математического анализа, то и здесь, в курсе алгебры, мы затронем тоже только вскользь определение показательной функции комплексной переменной. Детальное изучение этой функции будет дано позже в курсе теории функций комплексной переменной. В данном курсе мы ограничимся только определением этой функции, которым мы обязаны Эйлеру, и некоторыми простыми следствиями, вытекающими из этого определения.

2. Формулы Эйлера. Положим в определении показательной функции a 0 . Получим:

cos b i sin b eib .

Заменив b на –b, получим

cos b i sin b e ib .

Складывая и вычитая почленно эти равенства, найдем формулы

носящие названия формул Эйлера. Они устанавливают связь между тригонометрическими функциями и показательной с мнимыми показателями.

3. Натуральный логарифм комплексного числа. Комплексное число, заданное в тригонометрической форме z r(cos i sin ) , можно записать в форме re i . Эта форма записи комплексного числа называется показательной. Она сохраняет все хорошие

вещественной частью логарифма комплексного числа оказывается логарифм его модуля, мнимой частью его аргумент. Это в некоторой степени объясняет «логарифмическое» свойство аргумента – аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.

Введенная таким образом логарифмическая функция определена для всех комплексных чисел, за исключением нуля. Необходимо также помнить, что логарифмическая функция многозначна, в силу многозначности аргумента. Однозначность можно было бы установить, например, выбирая ветвь логарифма, для которой , но это приводит к ряду неудобств. В частности, свойство логарифма

– логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей – верно лишь с учетом

одно из значений логарифма 1 (ибо 1 cos 2k i sin 2k ), но отличное от нуля.

4. Показательная функция с произвольным основанием. Пусть z – комплексное число, отличное от нуля. Тогда z eln z при любом значении ln z . Поэтому естественно считать по определению zw ewln z . Это снова многозначная функция от z и w, в силу многозначности ln z , который определен с точностью до слагаемого 2k i . Посмотрим,

несколько парадоксальным – все значения «очень мнимого выражения» ii вещественны.