hitrov-1st-semester / Paragraf_3

§3. Матрицы и действия с ними

Вэтом параграфе, как и в предыдущем, мы будем отталкиваться от школьных знаний операций сложения и умножения чисел. В предыдущем параграфе мы показали, что можно складывать и умножать не только числа, но и классы чисел. Причем сложение

иумножение классов чисел по модулю два и три обладают такими же свойствами, как сложение и умножение вещественных и рациональных чисел. Таким образом, усложнение новых знаний заключалось в том, что мы в качестве элементов, с которыми производим действия сложения и умножения, стали использовать не только единичные элементычисла, а элементы-множества (классы целых чисел, сравнимых между собой по одному и тому же модулю). Отнеся детальное ознакомление с действиями над классами по произвольному модулю на более поздний период, мы насторожили себя, показав, что множества классов по модулю два и три относительно операций сложения и умножения образуют структуру поля, а множество классов по мо модулю четыре – нет. Кроме усложнения знаний, мы получили и некоторое «упрощение» знаний. Так мы получили возможность иллюстрировать вновь приобретаемые знания относительно операций сложения и умножения не только на бесконечных множествах целых и рациональных чисел, но и на конечных множествах классов, причем временно мы ограничили себя сознательно множествами из двух и трѐх элементов.

Следующий шаг усложнения школьных знаний будет состоять в том, что мы от действий сложения и умножения элементов перейдем к сложению и умножению комплексов (упорядоченных совокупностей) элементов, причем в качестве элементов комплексов, временно, мы будем использовать лишь элементы произвольного поля. Попутно, через операцию умножения комплексов, мы усложним (обогатим) само понятие операции умножения.

Вкачестве первого комплекса, но зато и основного, мы будем рассматривать матрицу, т.е. прямоугольную таблицу элементов. Мы уже сталкивались с такими таблицами в предыдущем параграфе, когда рассматривали таблицы сложения и умножения классов. Но там мы рассматривали таблицы как соты с ячейками, которые мы заполняли в процессе сложения и умножения соответствующих классов. Теперь мы будем рассматривать прямоугольную таблицу уже заполненной какими-то элементами (например, элементами какого-то поля), и для нас уже сами заполненные таблицы станут объектами, с которыми мы будем производить действия.

1. Определения и обозначения матриц. Заполненные прямоугольные таблицы чисел и действия с ними в человеческой практике появились давно. Чтобы поверить в истинность этого высказывания, достаточно обратить внимание на бухгалтерскую деятельность. Мы не будем заниматься здесь историей этого вопроса, а укажем лишь те разделы (задачи) математики, которые ведут нас сразу к матрицам. Первый раздел – это системы линейных алгебраических уравнений. Слово «алгебраические» использовано здесь потому, что есть и другие (неалгебраические) системы уравнений. Поскольку в нашем курсе мы будем заниматься в основном алгебраическими системами, то слово «алгебраические» мы в дальнейшем будем опускать. Понятие линейности мы будем осваивать в течение всего курса, поэтому под понятием линейных систем здесь

достаточно представлять системы уравнений, где неизвестные в уравнения входят в первой степени. В предыдущем параграфе мы вскользь упомянули два уравнения a x b

и ax b , каждое из которых является примером одного линейного уравнения с одним неизвестным. Уже для этих уравнений, требование их разрешимости при различных a и b, заставило нас расширить множество натуральных чисел до целых, а целых до рациональных. Тем самым усложнялись алгебраические структуры, которые образуют данные множества чисел относительно операций сложения и умножения. Переходя от одного линейного уравнения с одним неизвестным к системам линейных уравнений с несколькими неизвестными, мы также должны ожидать, что будем вынуждены вводить и

адреса, т.е. достаточно указать только номер строки. Это мы и наблюдаем при обозначении элементов матриц B и X – они помечены одним нижним индексом. Это же замечание касается и обозначения элементов матрицы-строки.

2. Умножение матриц. Возвращаясь назад, отметим, что одним из разделов математики, который привел нас к определению матриц, был раздел – системы линейных уравнений. Другой раздел, который также удобно изучать с использованием матриц – это линейные преобразования переменных.

Пусть нам даны три системы переменных: система x1, x2 ,..., xm ; система y1, y2 ,..., yq

называются коэффициентами линейной комбинации. Тогда (4) есть запись того, что каждая из переменных есть линейная комбинация переменных y1, y2 ,..., yq ,

причем каждая комбинация со своими коэффициентами. То есть, если мы знаем, что aij взято из системы (4) , то мы можем сказать, aij есть коэффициент при y j в линейной комбинации для выражения xi . То, что мы сказали про систему (4) мы можем сказать и про системы (5) и (6).

Обозначим через X столбец переменных x1, x2 ,..., xm , через Y – столбец переменных y1, y2 ,..., yq , через Z – столбец переменных z1, z2 ,..., zn , через A – матрицу с элементами aij , через B – матрицу с элементами bij , наконец, через C – матрицу с элементами cij , т.е. положим:

переменных z1, z2 ,..., zn , а предпоследнее - что коэффициенты этой линейной комбинации выражаются по формулам:

AB C .

Из определения произведения матриц видно, что произведение прямоугольных матриц определено тогда, когда длина строки первого сомножителя совпадает с длиной столбца второго сомножителя. Отсюда следует, что произведение матриц, вообще говоря, не коммутативно.

Пример 1.

В этом примере определено как произведение матриц AB, так и произведение BA, но AB BA (две матрицы равны, когда они имеют одинаковые размерности и все соответствующие, т.е. расположенные на одинаковых местах в матрицах, элементы равны).

Будем рассматривать числа 0 и 1, как: a) числа (классы) по модулю два, b) числа (классы) по модулю три, c) вещественные числа (целые числа есть частный случай вещественных чисел). То есть мы рассматриваем числа 0 и 1, как числа, последовательно принадлежащие трем различным полям. Рассмотрим произведение матрицы A на B в

случаях a), b), c).

Как и следовало ожидать результирующие матрицы C в случаях a), b), c) – разные.

предыдущего параграфа таблицы сложения и умножения классов по модулю два и три соответственно.

Введенная операция умножения матриц позволяет упростить записи соотношений

матрицы (произвольных размеров), третий сомножитель - матрица-столбец) произведение трех матриц ассоциативно. Немного ниже мы докажем, что произведение матриц ассоциативно и в общем случае.

3. Сложение матриц и умножение матриц на числа. Мы уже достаточно познакомились с матрицами, чтобы вводить действия с ними, отталкиваясь не от какойлибо задачи, а от самих матриц.

Определение 3. Суммой двух матриц A и B, одинаковой размерности, называется матрица C, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и B. Записывается как A B C .

с произведением двух матриц, равна произведению транспонированных взятых в обратном порядке.

Начнем доказательство свойства (утверждения) 17) с проверки размерностей. Ясно, что AB Mmn и тогда ( AB)T Mnm . Поскольку AT Mqm , а BT Mnq , то произведение матриц BT AT определено и BT AT Mnm . Следовательно, матрицы ( AB)T и BT AT имеют одинаковые размерности. Для завершения доказательства достаточно показать, что (i,j)-ый

матрицы BT AT , то матрицы ( AB)T и BT AT равны, что и требовалось доказать.

6. Квадратные матрицы. Особенностью множества квадратных матриц одного порядка является то, что на этом множестве операции сложения и произведения матриц являются алгебраическими операциями, т.е. замкнутыми операциями. Более того, свойства 1-4, говорят, что это коммутативная группа относительно операции сложения. Поскольку относительно операции умножения выполняются свойства правой и левой дистрибутивности (свойства 11 и 10) то, это множество – кольцо. В силу свойства 9 - это кольцо ассоциативное, а в силу свойства 13 - это кольцо с «единицей» (единичной матрицей). Причем правая единичная матрица совпадает с левой. Это кольцо некоммутативное.

Поскольку множество квадратных матриц содержит единичную матрицу, появляется возможность говорить об обратных матрицах.

Определение. Матрица B называется левой (правой) обратной к матрице A, если BA=E (AB=E) (E – единичная матрица, смотри свойство 13).

Рассмотрим в множестве M n квадратных матриц порядка n подмножество M n

определения, обратной к матрице A 1 , перестановочной с ней, будет сама матрица A. Подмножество M n не пусто, поскольку содержит матрицу E (обратная к E,