hitrov-1st-semester / Dop_p1

0.1Занятие I. Метод математической индукции. Комбинаторика. Размещения, перестановки, сочетания

Метод математической индукции

Задача. Доказать, что n N справедливо равенство

Решение. Обозначим через sn левую часть равенства, а через zn его правую часть.

1) s1 = z1

Доказательство.

=4(k + 1)(k + 2) + (k + 1)(k + 2)(k + 3) = 4(k + 1)(k + 2)(k + 3) = k3 + 9k + 6k2 + 4

=4(k + 1)(k + 2)(k + 3)

Предположим, что нам нужно доказать последовательность утверждений

T1, T2, . . . , Tn, . . .

Достаточно доказать две теоремы:

1.T1 верное утверждение.

2.Если для какого-либо натурального k верно утверждение Tk, то верно

иутверждение Tk+1.

Такой способ доказательства последовательности утверждений называется методом математической индукции. Первая часть метода называется базой индукции, вторая индукционным переходом.

1

Теорема 1.1 Если последовательности (sn) и (zn) таковы, что s1 = z1, и для любого натурального k

sk+1 − sk = zk+1 − zk,

то n N sn = zn.

С помощью метода математической индукции можно также доказывать неравенства.

Теорема 1.2 Если последовательности (sn) и (zn) таковы, что s1 > z1, и для любого натурального k

sk+1 − sk > zk+1 − zk,

то n N sn > zn.

Пример 1.1 Доказать n N, n ≥ 2

sk+1 − sk < zk+1 − zk.

Теорема 1.3 Если последовательности (sn) и (zn) с положительными членами таковы, что s1 > z1, и для любого натурального k

ральных чисел, взятых по два (от 1 до n), равна

n(n2 − 1)(4n2 − 1)(5n + 6) . 360

2

7. Доказать, что n N

15 + 25 + · · · + n5 = 121 n2(n + 1)2(2n2 + 2n − 1).

8. Доказать, что n N

9. Доказать, что n N

2n−1 · n! ≤ nn.

10. Доказать, что сторона правильного вписанного в окружность 2n- угольника выражается формулой

где R радиус этой окружности.

11.Доказать, что n прямых, пересекающихся в одной точке и лежащих

водной плоскости, делят эту плоскость на 2n частей.

12.Доказать, что n различных прямых, лежащих в одной плоскости, разбивают эту плоскость на области, которые могут быть закрашены красной и синей краской так, что все смежные области (т.е. области, имеющие общий отрезок прямой) будут закрашены разными красками.

13.Доказать, что если S1, S2, S3, . . . , Sn суммы n членов n геометрических прогрессий, у которых первые члены 1, а знаменатели соответственно равны 1, 2, 3, . . . , n, то

S1 + S2 + 2S3 + 3S4 + · · · + (n − 1)Sn = 1n + 2n + 3n + · · · + nn.

14. Доказать, что сумма всех членов каждой горизонтальной строки таблицы

1

23 4

равна квадрату нечетного числа.

3

15. Доказать, что произведение

P = (1 + 2)(3 + 4 + 5)(6 + 7 + 8 + 9) . . . ,

состоящее из n сомножителей, равно

(n!)3(n + 1)2(n + 2) .

2n+1

16. Доказать, что сумма всевозможных парных произведений n натуральных чисел 1, 2, . . . , n равна

(n − 1)n(n + 1)(3n + 2) . 24

17. Доказать, что для любого натурального n > 1

Комбинаторика

В дальнейшем важную роль будет играть следующая

Лемма 1 Пусть в множестве A m элементов, а в множестве B n элементов. Тогда число всех различных пар (a, b), где a A, b B будет равно mn.

Определение 1 Если m натуральное число, отличное от 1, то символом m! обозначается произведение всех натуральных чисел, не больших m:

m! = 1 · 2 · · · · · m.

Если m = 1, то считается 1! = 1; если m = 0, то считается 0! = 1.

Сочетания

Пусть M некоторое конечное множество, состоящее из n элементов:

{a1, a2, . . . , an}

Определение 2 Сочетанием из n элементов, взятых по k, называется всякое k-элементное подмножество данного множества M.

Два различные сочетания из данных n элементов, взятых по k, отличаются хотя бы одним элементом.

Так, все различные сочетания из 4-х элементов {a, b, c, d} по 3:

abc, abd, acd, bcd.

Число всех сочетаний из n элементов по k элементов в каждом обозначается Ckn (от начальной буквы французского слова “combinaison”, что значит “сочетание”).

4

Упражнение 1.1 Найти число диагоналей n-угольника.

Решение Соединяя всевозможными способами попарно все точки, полу-

чим

C2 = n(n − 1)

n 2

отрезков, из которых n являются сторонами n-угольника. Тогда диагона-

4

Упражнение 1.2 На плоскости даны n точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой за исключением m точек, лежащих на одной прямой.

а) Сколькими прямыми можно соединить эти точки?

б) Сколько существует различных треугольников с вершинами в этих точках?

Решение Если бы не было никаких трех точек, лежащих на одной прямой, то существовало бы

C2 = n(n − 1)

n 2

различных прямых, соединяющих (попарно) данные точки. В этом случае m точек определяли бы m(m − 1)/2 различных прямых. По условию эти последние прямые сливаются в одну, значит, существует

Задачи

1. Выяснить, сколько существует подмножеств X множества {0, 1, 2, . . . , 9}, удовлетворяющих условиям:

а) множество X состоит из трех элементов;

б) множество X состоит из пяти элементов и 1 X;

в) множество X состоит из шести элементов и 2 6 X;

г) множество X состоит из семи элементов , 0 X, 1 X и 2 6 X; д) множество X состоит из двух четных и трех нечетных чисел; е) в множестве X не менее семи элементов.

5

2. На окружности последовательно отмечены точки A1, A2, . . . , A12. Вычислить:

а) число хорд с концами в отмеченных точках; б) число треугольников с вершинами в отмеченных точках;

в) число выпуклых четырехугольников с вершинами в отмеченных точках;

г) число треугольников с вершинами в отмеченных точках, не имеющих общих точек с прямой (A2A8);

д) число выпуклых четырехугольников с вершинами в отмеченных точках, имеющих общие точки с прямой (A1A5).

3. l, m параллельные прямые, l 6= m. На прямой l отмечено 8 точек, а на прямой m 11 точек. Вычислить:

а) число треугольников с вершинами в отмеченных точках; б) число выпуклых четырехугольников с вершинами в отмеченных точ-

ках (три вершины четырехугольника не должны лежать на одной прямой; в) число несамопересекающихся шестнадцатизвенных ломаных с вершинами в отмеченных точках, звенья которых не лежат на прямых l и

m;

г) число несамопересекающихся десятизвенных ломаных с вершинами

вотмеченных точках, звенья которых не лежат на прямых l и m.

4.Имеется шесть различных ящиков, четыре неразличимых белых шара и три неразличимых черных шара. сколькими способами можно разложить все шары по ящикам так, чтобы в каждом ящике оказался хотя бы один шар?

Перестановки

Определение 3 Перестановкой конечного множества называется расположение его элементов в определенном порядке.

Так, все различные перестановки множества из трех элементов {a, b, c}

это

abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Число всех перестановок из n элементов обозначается Pn (от начальной буквы французского слова “permutation”, что значит “перестановка”, “перемещение”).

Теорема 1.5

Pn = n!

Упражнение 1.3 Сколько различных чисел можно составить из цифр

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

если а) каждая цифра в числе встречается только один раз и

б) цифра 0 не должна занимать первого места? (9 · 9! = 3265920).

6

Упражнение 1.4 Дано m прописных букв A, B, . . . , K и n строчных букв a, b, . . . , l. Сколько перестановок можно сделать из этих букв так, чтобы каждая перестановка начиналась прописной, а кончалась строчной буквой?

mn(m + n − 2)!

Упражнение 1.5 Даны k заглавных букв, m гласных и n согласных (всего k + m + n букв). Сколько различных слов можно составить из этих букв, если в каждом слове на первом месте должна стоять заглавная буква, среди же прочих букв должно быть µ различных гласных и ν различных согласных?

(kCµmCνn(µ + ν)!).

Упражнение 1.6 Сколькими способами на шахматной доске можно расставить 8 ладей так, чтобы ни одна из них не била другую?

8!

Упражнение 1.7 Даны n элементов 1, 2, . . . , n. Сколько имеется различных перестановок, в которых k данных элементов 1, 2, . . . , k не занимают k мест подряд?

(n! − k!(n − k + 1)!)

Задачи

1.Сколько существует перестановок цифр 0, 1, 2, . . . , 9, в которых цифра 3 занимает третье место, а цифра 5 пятое?

2.Сколько существует перестановок цифр 0, 1, 2, . . . , 9, в которых цифра 1 следует непосредственно за цифрой 0?

3.Сколько существует перестановок цифр 0, 1, 2, . . . , 9, в которых цифра 0 занимает одно из первых трех мест, а цифра 1 одно из последних четырех мест?

Ответ. 3 · 4 · 8!

4.Сколько существует перестановок цифр 0, 1, 2, . . . , 9, в которых цифра 0 занимает одно из первых пяти мест, а цифра 1 одно из первых трех мест?

Ответ. 3 · 4 · 8!

5.Сколько существует перестановок цифр 0, 1, 2, . . . , 9, в которых между цифрами 0 и 1 стоят ровно три цифры?

Ответ. 2 · 6 · 8!

6.Сколько существует перестановок цифр 0, 1, 2, . . . , 9, в которых цифра 0 расположена левее цифры 1?

7.Сколько существует перестановок цифр 0, 1, 2, . . . , 9, в которых цифра 1 расположена между цифрами 0 и 2?

8.Сколько существует перестановок цифр 0, 1, 2, . . . , 9, в которых цифра 0 расположена левее цифр 1, 2, 3, а цифра 1 левее цифры 2?

9.Сколько существует пятизначных цифр, в десятичной записи которых есть хотя бы одна четная цифра?

Размещения

7

Определение 4 Размещением из n элементов по k называется всякое упорядоченное k-элементное подмножество данного n-элементного множества.

Два различных размещения из данных n элементов по k, различаются либо составом элементов, либо порядком их расположения.

В частности, перестановка является размещением из n элементов по n. Так, все различные размещения из трех элементов {a, b, c} по 2:

ab, ac, ba, bc, ca, cb.

Число всех размещений множества из n элементов по k элементов обозначается через Akn (от начальной буквы французского слова “arrangement”, что означает размещение).

Теорема 1.6

Упражнение 1.8 Сколько различных натуральных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, если в каждое число каждая из цифр входит не более одного раза?

Решение Из пяти данных цифр можно составить A55 = 5! размещений; эти размещения дадут все пятизначные числа за исключением тех размещений, которые начинаются нулем. Количество этих последних размещений равно A44. Таким образом, из данных цифр можно составить

A55 − A44 = 5! − 4! = 96

различных пятизначных чисел.

Различных четырехзначных чисел можно составить

A45 − A34 = 96;

трехзначных

A35 − A24 = 48;

двузначных

Упражнение 1.9 На плоскости даны n точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Сколько можно провести различных k-звенных незамкнутых и замкнутых ломаных с вершинами в данных точках?

(Незамкнутых

8

замкнутых

)

Задачи

1. Сколько существует четных пятизначных чисел, в каждом из которых нет одинаковых цифр? (13776)

9

0.2Занятие II. Размещения, перестановки, сочетания с повторениями

Размещения с повторениями

Определение 5 Отображение множества k первых натуральных чисел 1, 2, . . . , k в данное множество {a1, a2, . . . , an}, называется размещением с повторениями, составленными из данных n элементов по k.

Размещения с повторениями называются также конечными последовательностями.

Два размещения с повторениями одинаковы тогда и только тогда, когда на одинаковых местах находятся одни и те же элементы.

Если в размещении с повторениями некоторый элемент ставится в соответствие p различным натуральным числам, т.е., иначе говоря, данный элемент занимает p различных мест, то говорят, что этот элемент повторяется в размещении p раз.

Так, все различные размещения с повторениями из трех элементов {a, b, c} по 2:

aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc.

Теорема 2.7 Число всевозможных размещений с повторениями из n эле-

ментов по k равно

nk.

Упражнение 2.10 Имеется n различных книг, каждая в p экземплярах. Сколькими способами может быть сделан выбор книг из числа данных?

((p + 1)n − 1.)

Задачи

1.Сколько существует подмножеств в множестве из m элементов?

2.Сколькими способами в множестве из m элементов можно выбрать два непересекающихся подмножества?

3.Сколько существует натуральных чисел, в десятичной записи которых каждая цифра равна 0 или 1, причем число единиц равно m, и никакие два нуля не стоят рядом?

Перестановки с повторениями

Определение 6 Всякое размещение с повторениями, в котором элемент a1 повторяется k1 раз, элемент a2 повторяется k2 раз и т.д. элемент an повторяется kn раз, где k1, k2, . . . , kn данные числа, называется перестановкой с повторениями порядка

m= k1 + k2 + · · · + kn,

вкоторой данные элементы a1, . . . , an повторяются соответственно k1,

. . . , kn раз.

10