hitrov-1st-semester / Paragraf_14

§14. Извлечение корня из комплексных чисел.

1.Вывод формулы извлечения корня. Пусть n натуральное число. Извлечь корень с показателем n из комплексного числа z – это значит найти комплексное число

(или числа) w так, что wn z . Каждое число w такое, что wn z называется корнем n-ой степени из z и обозначается nz .

Ясно, что если z 0 , то единственным значением nz является число 0, поэтому сосредоточим внимание на случае z 0 . Запишем z в тригонометрической форме z r(cos i sin ) и будем искать w тоже в тригонометрической записи:

w (cos i sin ) .

Равенство wn z запишем в виде

n (cos n i sin n ) r(cos i sin ) .

Приравнивая модули и аргументы (с учетом многозначности), получим, что последнее равенство равносильно равенствам:

n r ,

n 2k , k Z .

Модуль r число положительное (ибо z 0 ) и искомое число должно быть тоже

положительным. Известно, что для любого положительного числа существует единственное значение корня n-ой степени, называемое арифметическим значением корня, и это значение принято записывать в виде степени с дробным показателем. Итак

1

r n . Аргумент же находится просто делением:

2k . n

Таким образом, корни n-й степени из комплексного числа z существуют и все они даются формулой

многозначность nz и зависимость его значений от параметра k, могущего принимать все целые значения).

2. Исследование формулы извлечения корня.

Теорема 1. Существует ровно n значений корня n-й степени из отличного от нуля комплексного числа z r(cos i sin ) . Их дает формула

в предположении, что k пробегает какую-либо полную систему вычетов по модулю n,

например, k 0,1,..., n 1.

Доказательство. Мы уже видели, что значения корня n-й степени из z даются

При целом t (аргументы равных чисел равны или отличаются на целые кратные 2 ; о модулях заботиться не нужно – они одинаковы у всех чисел wk ). Это равенство, в свою

значения для wk , если k пробежит значения по одному из каждого класса по модулю n, т.е. некоторую полную систему вычетов.

Для k достаточно взять значения 0, 1, 2. Получим три значения: w0 2(cos15 i sin15 ) ,

w1 2(cos135 i sin135 ) , w2 2(cos 255 i sin 255 ) .

В заключение отметим, что среди n значений корня n-й степени из комплексного числа нет оснований, вообще говоря, предпочитать какое-либо одно значение остальным. Понятие «арифметического значения» при извлечении корня из комплексного числа не вводится и его невозможно ввести каким-либо естественным образом.

значений квадратных корней. Дело в том, что в применении к комплексным числам формула z w zw (при выбранных значениях для z и w ) лишь при одном выборе

значения zw , а при другом выборе она не верна и даже в случае, если zw оказывается вещественным положительным числом, подходящее значение не обязано быть

арифметическим. В рассмотренном примере игра идет на равенствах: 1 1 1 и

1 1 1. Первое из них верно, если в качестве значений для обоих сомножителей

взять одинаковые значения 1 (т.е. i, i или –i, -i), второе верно, если взять различные значения (т.е. i, -i или –i, i).

3. Формула для корней из единицы. Как и для всякого отличного от нуля комплексного числа, для числа 1 существует ровно n значений корня n-й степени. Так как 1 cos 0 i sin 0 , то для корней n-й степени из 1 имеет место формула

Конечно, в качестве значений для k может быть взята любая полная система вычетов по модулю n.

4. Геометрическое изображение корней из единицы. Все корни из единицы имеют модуль равный 1, так что их изображения находятся на окружности радиуса 1 с центром в точке 0. Один из них при k 0 есть просто число 1 и изображается точкой пересечения положительной полуоси вещественной оси с единичной окружностью.

причине уравнение xn 1 0 носит название уравнения деления круга.

5. Первообразные корни n-й степени из 1. Корень n-й степени из 1 называется

первообразным или принадлежащим показателю n, если он не является корнем из 1 с

существуют и другие первообразные корни. Именно, верна следующая теорема.

из 1 в том и только в том случае, если k и n взаимно просты.

Действительно, kn 1. Пусть k и n взаимно просты и пусть km 1 , где m -

взаимно просты. Следовательно, m делится на n и потому не может быть меньше n. Поэтому k есть первообразный корень n-й степени из 1.

Предположим теперь, что k есть первообразный корень n-й степени из 1, и пусть d

Из доказанной теоремы следует, что число первообразных корней n-й степени из 1 равно числу меньших n и взаимно простых с n чисел, т.е. оно равно значению (n)

доказанной теоремы.

Итак, среди корней n-й степени из 1 присутствуют первообразные корни из 1, принадлежащие всем показателям, являющимся делителями n. Например, среди корней

12-й степени из 1 присутствуют первообразные корни степени 12 ( 1, 5 , 7 , 11 ) , степени 6

( 2 , 10 ) , степени 4 ( 3 , 9 ), степени 3 ( 4 , 8 ), степени 2 ( 6 ), степени 1 ( 0 ).

6. Свойства корней из 1.

Предложение 2. Произведение двух корней n-й степени из 1 есть корень n-й степени из 1.

Доказательство. Пусть z и w – корни степени n из 1. Это значит, что zn 1 и wn 1. Но тогда и (zw)n zn wn 1 , т.е. zw – тоже корень n-й степени из 1,

Предложение 3. Число обратное корню степени n из 1, есть корень степени n из

1.

Доказательство. Если zn 1 , то (z 1 )n (zn ) 1 1 .

Эти два предложения означают, что корни степени n из 1 образуют абелеву группу относительно умножения.

Предложение 4. Пусть - любой первообразный корень n-й степени из 1. Тогда всякий корень степени n из 1 получается из возведением в некоторую степень с натуральным показателем.

Доказательство. Пусть - какой-либо первообразный корень степени n из 1, Тогда при любом целом k число k будет корнем степени n из 1, ибо ( k )n ( n )k 1. Рассмотрим числа 1, , 2 ,..., n 1 . Все они суть корни степени n из 1. Среди них нет равных, ибо если k m при 0 k m n 1, то m k 1, что невозможно, ибо m k есть натуральное число, меньшее n, а - первообразный корень степени n. Итак, 1, , 2 ,..., n 1 - попарно различные корни n-й степени из 1 и их число равно n, т.е. равно числу корней n- й степени из 1. Поэтому 1, , 2 ,..., n 1 - суть все корни степени n из 1, что и требовалось доказать.

Заметим, что сопоставление корню k целого числа k соотносит одному корню класс чисел по модулю n, и, так как, при умножении степеней показатели складываются, произведению корней соответствует сумма классов по модулю n. Тем самым, группа по умножению корней n-й степени из 1 изоморфна группе классов вычетов по модулю n относительно операции сложения.

Предложение 5. Все значения nz ( z 0 ) получаются из одного значения, посредством умножения последнего на все корни степени n из 1.

Доказательство. Пусть w0n z и wn z . Тогда (ww0 1 )n 1 (поделили правую и

равносильна умножению на 1, т.е. на корни степени 2 из 1.