Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

hitrov-1st-semester / Paragraf_18

.pdf

Скачиваний:

109

Добавлен:

16.04.2015

Размер:

308.98 Кб

Скачать

☆

§18. Закон инерции квадратичных форм.

В этом параграфе речь будет идти о квадратичных формах и о линейных подстановках только с вещественными коэффициентами.

1. Положительно определенные квадратичные формы. Квадратичная форма называется положительно определенной, если все еѐ значения при вещественных значениях переменных, не равных нулю одновременно, положительны. Примером

положительно	определенной			квадратичной формы от переменных x1, x2 ,..., xn может
служить форма	x 2	x 2	... x 2 .
	1	2		n

Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если все еѐ значения отрицательны, за исключением нулевого значения при нулевых значениях переменных.

Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной,

если она не принимает отрицательных (положительных) значений.

	Так форма	x 2	2x x		x 2	(x	x )2		положительно полуопределена. Форма
		1	1	2	2	1	2
x 2	x 2 как форма от двух переменных						x и x	2	положительно определена, а как форма от
1	2						1	2
трех переменных x1 ,		x2	и x3	лишь полуопределена.
	Квадратичные формы, принимающие как положительные, так и отрицательные
значения, называются неопределенными.

Для n 1 ненулевая квадратичная форма ax2 либо положительно определена (при a 0 ), либо отрицательно определена (при a 0 ). Неопределенные формы появляются, начиная с n 2 .

Теорема 1. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы после приведения её к каноническому виду все коэффициенты при квадратах новых переменных были положительны.

Доказательство. Пусть форма f (x1, x2 ,..., xn ) преобразуется в каноническую1 y12 2 y22 ... n yn2 посредством линейной подстановки с невырожденной матрицей:

x1 b11 y1 b12 y2 ...	b1n yn ,
x2 b21 y1 b22 y2 ...	b2n yn ,

........................................

xn bn1 y1 bn2 y2 ... bnn yn .

Эта подстановка обратима:

y1 c11x1

c12 x2

... c1n xn ,

y2 c21x1

c22 x2

... c2n xn ,

........................................

cn1x1

cn2 x2

... cnn xn .

Если

0 ,

… ,

0 ,

то неравенство

y 2

...

y 2 0

1 1

2 2

невозможно,

равенство

y 2

2 ...

y 2

возможно

только

при

n n

y1 y2 ... yn

0 и, следовательно, при x1

... xn

0 .

Если i

0 ,

то взяв y j

0 при

j i

yi 1, мы можем найти соответствующие

значения

x , x ,..., x

переменных

x , x ,..., x

причем они

не

будут

равны

нулю

одновременно. Тогда

f (x1, x2 ,..., xn ) i 0 .

Теорема доказана как в части достаточности, так и в части необходимости условия.

Отметим в качестве следствия, что если при некотором невырожденном преобразовании формы к каноническому виду все коэффициенты при квадратах новых переменных положительны, то и при всяком другом невырожденном преобразовании коэффициенты канонической формы будут все положительны.

2. Критерий Сильвестра положительности квадратичной формы.

Теорема 2. Для того чтобы квадратичная форма

f (x , x ,..., x ) a

2 a

x x

... a

x x

11 1

12 1 2

1n 1 n

x a

x 2

... a

x x

2n 2

..............................................

x x a

x x ... a x

n 1

была положительно определенной, необходимо и достаточно выполнение условий

a11 ...

a1k

a11

a12

...

a1n

a 0

a11

a12

0 , …,

0 ,…,

a21

a22

...

a2n

0 .

... ...

...

a21

a22

... ... ... ...

a1k ...

akk

an1

an2

...

ann

Доказательство.

Необходимость.

Пусть

f (x1, x2 ,..., xn )

положительно

определена. Тогда существует подстановка

X BY

с невырожденной

матрицей B

преобразующая форму к виду y

y 2

...

y 2

при 0 ,

, … ,

0 .

2 2

n n

Тогда

BT AB diag( ,

,...,

)

и det BT AB

0 . Но det BT AB det BT det Adet B det A(det B)2 . Следовательно,

det A n 0 .

Теперь рассмотрим часть формы f (x1, x2 ,..., xn )

f (x1, x2 ,..., xk ) f (x1,..., xk , 0,..., 0)

a11x12 ... a1k x1xk

				................................
				a		x	... a	x 2 .
					k1	k1	kk	k
Эта форма, рассматриваемая как форма от									x1, x2 ,..., xk , положительно определена, ибо еѐ
значения	при		неравных				одновременно		нулю x1,..., xk суть	значения	формы
f (x1,..., xk ,..., xn )			при неравных одновременно нулю значениях для x1,..., xk ,..., xn . Поэтому
		a11	...	a1k
		a11	...	a1k
k		...	...	...	0 , k 1, 2,..., n 1.
		a1k	...	akk
Достаточность. Пусть k 0 при k 1, 2,..., n . Тогда форма										f (x1, x2 ,..., xn )	может

быть преобразована к каноническому виду посредством преобразования переменных с верхней унитреугольной матрицей и, как было показано выше, каноническая форма будет равна

y 2	2	y 2	...	n	y 2 .

1 1	1	2			n
				n 1

Все коэффициенты при квадратах новых переменных положительны, и, следовательно, исходная форма положительно определена.

Итак, для выяснения положительный определенности квадратичной формы получены уже два критерия. Естественно поставить вопрос о том, который из них лучше. Это зависит от ситуации.

Если квадратичная форма задана численно, то для приведения еѐ к каноническому виду требуется приблизительно столько же арифметических операций, как для вычисления одного определителя. Так что в этом случае первый критерий проще. Для теоретических же исследований лучше критерий Сильвестра, так как он дается простыми формулами.

3. Закон инерции квадратичных форм.

Теорема 3. Если квадратичная форма преобразована двумя способами к каноническому виду, то число квадратов новых переменных с положительными коэффициентами будет одинаково, так же как число квадратов новых переменных с отрицательными коэффициентами. Иными словами, число положительных и отрицательных коэффициентов не зависит от способа приведения формы к каноническому виду.

Доказательство. Пусть некоторая форма приведена к каноническому виду двумя способами:

f (x , x ,..., x ) y 2

...

p 1

...

p q

1 2

1 1

p 1

p q

z 2

...

s 1

...

s t

1 1

s 1

s t

Считаем, что все i

и j положительны. Пусть исходные переменные связаны с новыми

посредством следующих невырожденных преобразований:

x1	b11 y1 ...		b1n yn ,	y1
... ...	...	...	...	... ...
xn	bn1 y1 ...		bnn yn ;	yn
x1	c11z1	...	c1n zn ,	z1
... ...	...	...	...	... ...
xn	cn1z1	...	cnn zn ;	zn

f11x1	...	f1n xn ,
...	...	...
fn1x1	...	fnn xn ;
g11x1	...	g1n xn ,
...	...	...
gn1x1	...	gnn xn .

Допустим, что число положительных коэффициентов не одинаково. Будем считать, для

определенности, что

p s . Положим

0 , … ,

yp 0 , ss 1 0 ,

… ,

zn 0 . Все yi и

z j

являются линейными формами от x1, x2 ,..., xn . Таким образом, написанная совокупность

равенств есть система линейных однородных уравнений относительно

x1, x2 ,..., xn . Число

неизвестных равно n, число уравнений равно

p n s n .

Поэтому система

имеет

нетривиальные решения. Пусть x , x ,..., x

- одно из них. Соответствующие значения для

y , y ,..., y

обозначим через

y , y ,..., y .

Заметим,

что

y ... y

0 . Соответствующие

1 2

значения

для

z , z

,..., z

обозначим

через

z , z ,..., z .

Эти

значения

не

равны

одновременно нулю (иначе равнялись бы нулю x , x ,..., x ),

но

... z 0 . Поэтому

s 1

среди чисел z , z ,..., z имеются отличные от нуля.

Из представления f (x , x ,..., x ) y 2 ...

p 1

...

p q

имеем:

1 2

1 1

p 1

p q

f (x , x

,..., x )

p 1

y 2

...

p q

y 2

0 .

p 1

p q

Из другого представления:

f (x1 , x2 ,..., xn ) 1z1 2 ... s zs 2 0 .

Последнее равенство строгое, ибо среди z1 ,..., zs имеются отличные от нуля. Мы пришли

к противоречию, так что предположение о различии числа положительных коэффициентов неверно.

Для установления равенства числа отрицательных коэффициентов достаточно перейти к форме f (x1, x2 ,..., xn ) и еѐ каноническим представлениям

f (x , x ,..., x

) y 2

...

p 1

...

p q

1 2

1 1

p 1

p q

z 2

...

s 1

...

s t

s 1

s t

и применить уже доказанное утверждение о равенстве положительных коэффициентов. Теорема доказана полностью.

Заметим ещѐ, что если

a	0 ,	2	a11	a12	0 , … ,	n	det A 0 ,
11		2	a21	a22		n
			a21	a22

то можно дать формулу для числа отрицательных коэффициентов в канонической форме. Именно, оно равно числу перемен знаков в ряду чисел

1 0 , 1, 2 ,..., n .

Действительно, коэффициенты в канонической форме, получающейся при преобразовании с правой унитреугольной матрицей, равны

1		,	2	,	3		,...,	n		,
	0					2			n 1

			1

Так, что число отрицательных среди них равно указанному выше числу перемен знаков.

Соседние файлы в папке hitrov-1st-semester

#
16.04.2015364.82 Кб110Paragraf_13.pdf
#
16.04.2015373.49 Кб112Paragraf_14.pdf
#
16.04.2015246.43 Кб109Paragraf_15.pdf
#
16.04.2015481.28 Кб109Paragraf_16.pdf
#
16.04.2015446.11 Кб109Paragraf_17.pdf
#
16.04.2015308.98 Кб109Paragraf_18.pdf
#
16.04.2015254.96 Кб109Paragraf_19.pdf
#
16.04.2015477.48 Кб108Paragraf_2.pdf
#
16.04.2015272.56 Кб109Paragraf_20.pdf
#
16.04.2015460.51 Кб109Paragraf_3.pdf
#
16.04.2015444.17 Кб108Paragraf_4.pdf