hitrov-1st-semester / Paragraf_11
.pdf
§ 11. Обращение квадратных матриц.
Мы уже затрагивали вопрос об обратных матрицах, когда рассматривали класс матриц M n (смотри параграф 3). Но у нас тогда не хватало знаний, чтобы ответить на
вопрос, при каких условиях для матрицы A Mn существует обратная, т.е. |
когда A Mn |
1. Условие существования обратной матрицы. Начнем с |
напоминания |
определений. Для данной квадратной матрицы A ( A Mn ) правой обратной называется
такая матрица B, что AB E . Соответственно, матрица C называется левой обратной для A, если CA E . Матрица называется обратной для A, если она одновременно левая и правая обратная.
Теорема 1. Для того чтобы матрица A с элементами из поля имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы еѐ определитель был отличен от нуля.
(Другая формулировка теоремы: для того чтобы A Mn , необходимо и
достаточно, чтобы det A 0 ).
Доказательство. Необходимость. Пусть для матрицы A существует правая обратная B, так что AB E . Применяя теорему об определителе произведения квадратных матриц, получим: det Adet B det E 1, откуда следует, что det A 0 . То же условие, очевидно, необходимо и для существования левой обратной.
Достаточность. Пусть det A 0 . Требование AB E означает, в частности, что произведение i-ой строки матрицы A на j-ый столбец матрицы B, при i j , равно нулю.
Этому требованию, согласно свойствам определителя, удовлетворяет матрица A , транспонированная к матрице, составленной из алгебраических дополнений определителя det A в их естественном расположении.
Матрица A носит название матрицы союзной с матрицей A (присоединенной к матрице A). Легко видеть, что
a11 |
a12 |
... |
a1n |
a |
a |
... |
a |
AA |
22 |
|
2n |
21 |
|
||
... ... ... ... |
|||
an1 |
an2 |
... |
ann |
A11 |
A21 |
... |
An1 |
|
|
det A |
0 ... |
0 |
|
|
|||
|
A |
A |
... |
A |
|
|
|
0 |
det A ... |
0 |
|
|
|
|
12 |
22 |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
det A E . |
|
... |
... |
... |
... |
|
... |
... ... |
... |
|
|||||
|
|
||||||||||||
A1n |
A2n |
... |
Ann |
|
|
0 |
0 ... |
det A |
|
||||
Действительно, на диагональных позициях оказываются суммы произведений элементов строки на их алгебраические дополнения, а каждая такая сумма есть определитель det A, представленный в виде разложения по элементам строки. На недиагональных позициях оказываются суммы произведений элементов строки на алгебраические дополнения элементов другой строки, а все такие суммы равны нулю.
Применяя те же свойства к столбцам определителя det A , получим, что
AA det A E .
|
|
|
|
1 |
A есть правая и левая обратная для матрицы |
|||
Поэтому, если det A 0 , то матрица |
|
|||||||
det A |
||||||||
A. Она обозначается A 1 , т.е. |
|
|
|
|
|
|||
|
A 1 |
1 |
|
A (det A) 1 A . |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
det A |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Заметим ещѐ раз (напомним, что единственность A 1 |
следует из A Mn ), что кроме |
|||||||
A 1 не существует ни правых, ни левых обратных матриц для A. Действительно, если |
||||||||
AB E , то |
A 1 (AB) A 1 , но A 1 (AB) (A 1 A)B B , так что |
B A 1 . Аналогично, если |
||||||
CA E , то (CA)A 1 A 1 и C(AA 1 ) C ., откуда C A 1 .
Для квадратных матриц существует своя терминология, позволяющая отличать матрицы с ненулевым определителем от матриц с нулевым определителем. Именно,
квадратная матрица A, у которой det A 0 , называется неособенной или невырожденной; в противном случае матрица называется вырожденной.
Для матриц с элементами из коммутативного ассоциативного кольца (не обязательно поля) те же рассуждения дают следующее условие обратимости:
Для того чтобы матрица A с элементами из коммутативного ассоциативного кольца K была обратима над тем же кольцом, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы был обратимым в кольце K элементом.
Действительно, необходимость следует из равенства det Adet A 1 1,
а определитель матрицы с элементами из K принадлежит K. Для доказательства достаточности нужно заметить, что элементы союзной матрицы A принадлежат кольцу K и, если det A обратим в K, то матрица (det A) 1 A будет обратной и еѐ элементы
принадлежат K.
Например, для целочисленной обратимости матрицы с целыми элементами необходимо и достаточно, чтобы еѐ определитель был равен 1.
2. Некоторые свойства обратной матрицы. 1. det A 1 (det A) 1 .
Действительно, AA 1 E , следовательно, det Adet A 1 det E 1, откуда det A 1 (det A) 1 .
2. Если A и B - невырожденные, то их произведение, матрица AB, тоже
невырожденная, и ( AB) 1 B 1 A 1 . То есть, матрица, обратная к произведению, |
равна |
|||
произведению обратных, взятых в обратном порядке. |
|
|||
|
Действительно, |
(B 1 A 1 )(AB) B 1(A 1 A)B B 1B E , откуда следует, |
что |
|
B 1 A 1 (AB) 1 . |
|
|
|
|
|
3. ( A 1 ) 1 A . |
|
|
|
|
Действительно, |
( A 1 ) 1 есть такая единственная матрица, произведение которой на |
||
A 1 |
равно E. Этим свойством обладает A: AA 1 |
E . |
|
|
|
4. (AT ) 1 ( A 1)T . |
|
|
|
|
Действительно, |
переходя в равенстве |
AA 1 E к транспонированным матрицам, |
|
получим, ( A 1 )T AT E , откуда и следует, что (A 1 )T ( AT ) 1 .
3. Решение линейных систем с невырожденной матрицей в терминах обратной матрицы. Пусть дана система линейных уравнений
AX B ,
где A – квадратная невырожденная матрица, X – столбец из неизвестных, B – столбец свободных членов.
Допустим, что система имеет решение и X уже есть решение, |
так что |
AX B - |
||
верное равенство. Умножим обе части |
его на A 1 . |
Получим: A 1 AX A 1B , откуда |
||
X A 1B . Теперь докажем, что |
X A 1B |
действительно |
есть |
решение: |
A(A 1B) (AA 1)B B .
Мы находились в условиях теоремы Крамера, и приведенные несколько строк представляют собой доказательство теоремы Крамера. Легко проследить, что то, приведенное ранее, доказательство в точности совпадает с данным сейчас, но прошлое доказательство осуществлено в развернутой записи. Именно, умножение уравнений системы на алгебраические дополнения и сложение представляло собой не что иное, как умножение слева на союзную матрицу. Вторая часть, проверка, представляла собой
подстановку |
|
A 1B вместо X, но в развернутой записи. Ясно также, что равенство |
||||
X A 1B |
|
1 |
|
AB (det A) 1 |
AB |
есть матричная запись формул Крамера. |
|
|
|
||||
|
|
|
||||
|
det A |
|
|
|||
Столь же кратко записывается решение матричного уравнения AX B , где A – невырожденная матрица порядка n, X – неизвестная n k -матрица, B – данная n k -
матрица. Именно, X A 1B . Запись AX B равносильна k системам линейных уравнений с одной и той же матрицей коэффициентов A, с неизвестными, составляющими столбцы матрицы X, и со свободными членами, составляющими столбцы матрицы B.
4. |
Обращение |
ступенчатой |
|
матрицы. |
Пусть |
A |
0 |
- невырожденная |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
D |
|
|
|
|
ступенчатая матрица с квадратными блоками A и D. Из невырожденности следует, что |
|||||||||||||||
det A 0 |
и det D 0 . |
Пусть |
X |
Y |
- обратная матрица, |
разбитая |
на |
блоки в |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
U |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
0 X |
Y |
E |
0 |
|
соответствии с разбиением исходной матрицы. Из равенства |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C D U V |
0 |
E |
|||
следуют уравнения: AX E , |
AY 0 , |
CX DU 0 |
и CY DV E . |
|
|
|
|
||||||||
Находим из первого уравнения X A 1 , из второго Y 0 , |
из четвертого V D 1 и, |
||||||||||||||
наконец, из третьего U D 1CA 1 . Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
A |
0 1 |
|
A 1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
D |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
D |
D |
CA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Аналогично, |
A B 1 |
A 1 |
A 1BD 1 |
||||
|
|
|
|
|
D 1 |
. |
|
|
|
0 |
D |
|
0 |
|
|
5. Вычисление определителя матрицы разбитой на четыре блока и обращение
такой матрицы. Пусть дана матрица |
A |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
, с квадратными блоками A и D, причем |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
предполагается, что матрица A - невырожденная. Умножим исходную матрицу слева на |
||||||||||||||||||||||
матрицу |
|
A 1 |
0 |
. Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
CA 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 1 |
|
0 |
A B |
|
E |
A 1B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
(*) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
CA |
|
E C D |
|
|
0 D CA |
B |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
Переходя к определителям, получим det A 1 det |
det(D CA 1B) , откуда |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(**) |
|
|
|||
|
|
|
|
det |
|
|
det Adet(D CA 1B) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
C |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Матрица D CA 1B называется шуровским дополнением |
к субматрице A матрицы |
||||||||||||||||||||
A |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдем теперь в равенстве (*) к обратным матрицам. Получим |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
A B 1 |
A 1 |
0 |
1 |
E |
A 1B |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
E |
|
|
|
1 |
B |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C D |
|
CA |
|
0 |
D CA |
|
|
|
|
|
|
|||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A B 1 |
|
E |
A 1B |
|
1 |
A 1 |
0 |
E A 1B(D CA 1B) 1 1 |
|
A 1 0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
B |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
B |
|
|
1 |
E |
|
|||
C D |
|
0 |
D CA |
|
CA |
E |
0 |
D CA |
|
|
CA |
|
||||||||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
A |
A B(D CA B) |
|
CA |
A B(D CA B) |
|
. |
|||
|
|
(D CA1B)1CA1 |
|
(D CA1B)1 |
|
|
|||
Заметим ещѐ, что если A, B, C, D – квадратные матрицы одинакового порядка, то формулу для определителя можно преобразовать к виду
A |
B |
det( AD ACA 1B) , |
det |
|
|
C |
D |
|
и если A и C коммутируют, то
A det
C
Аналогично, записав
A det
C
det( AD CB) .
D
det A в (**) правым множителем получим
B det(DA CA 1BA)
D
и если A и B коммутируют, то
A |
B |
det(DA CB) . |
det |
|
|
C |
D |
|