hitrov-1st-semester / Paragraf_7

§7. Вычисление определителей.

1.Определитель треугольной матрицы. Матрица называется треугольной, если

унеѐ все элементы либо над главной диагональю, либо под главной диагональю - нули. В случае если у треугольной матрицы нули расположены под главной диагональю, она называется верхней треугольной (ненулевые элементы сверху), если нули над диагональю

– нижней треугольной (ненулевые элементы снизу).

Определитель, как верхней треугольной, так и нижней треугольной, матрицы равен произведению элементов, расположенных на главной диагонали.

Действительно, рассмотрим определители n-го порядка треугольных матриц:

Доказательство исходного утверждения, которое можно провести различными способами, проведем методом математической индукции. Индукция по n – порядку определителя. База индукции – случай n равное 2. Индукционное предположение – пусть для случая n 2 утверждение верно для определителей порядка n 1. Рассмотрим теперь

доказать.

Понятно, что доказательство, можно было вести, например, только для определителей верхних треугольных матриц, если заметить, что определитель нижней треугольной матрицы есть определитель некоторой транспонированной верхней треугольной матрицы.

Рассмотренный частный случай определителей треугольных матриц является весьма важным, поскольку на практике, в основном на основании свойств 8, 7 и 6, вычисление определителей произвольных матриц сводится именно к этому частному случаю.

2. Определитель Вандермонда. Определитель вида

Называется определителем Вандермонда и имеет некоторое теоретическое значение, так как возникает в различных ситуациях.

Подсчитаем определитель Вандермонда для n 2 и n 3 . Имеем

При подсчете определителя третьего порядка

с числовыми коэффициентами (результаты остаются в силе для системы уравнений с коэффициентами из любого поля).

Сначала допустим, что уравнение имеет решение и что x1 , x2 , …, xn составляют решение, так что уравнения превратились в верные равенства. Обозначим через Aij алгебраические

дополнения aij в .

Умножим первое из равенств системы на A11 , второе на A21 , …, n-ое на An1 и сложим. Получим

(a11 A11 a21 A21 ... an1 An1 )x1 (a12 A11 a22 A21 ... an2 An1 )x2... (a1n A11 a2n A21 ... ann An1 )xn b1 A11 b2 A21 ... bn An11.

Коэффициент при x1 есть определитель , представленный в разложении по элементам первого столбца. Коэффициенты же при x2 , …, xn все равны нулю, так как они

суть суммы произведений алгебраических дополнений элементов первого столбца на элементы других столбцов. Таким образом, мы пришли к равенству

x1 b1 A11 b2 A21 ... bn An1 .

Таким же образом, умножив исходные равенства на алгебраические дополнения второго столбца, получим

x2 b1 A12 b2 A22 ... bn An2

и т.д. Из этих равенств получим

..................................................

xn 1 (b1 A1n b2 A2n ... bn Ann )

Тем самым мы показали, что если решение существует, то оно единственно и дается формулами, которые мы установили.

Теперь нужно доказать, что решение существует, т.е. что формулы для x1 , x2 , …, xn действительно дают решения.

Подставим полученные выражения в левую часть первого уравнения системы, получим:

a11x1 a12 x2 ... a1n xn 1 {a11 (b1 A11 b2 A21 ... bn An1 ) a12 (b1 A12 b2 A22 ... bn An2 )

... a1n (b1 A1n b2 A2n ... bn Ann )} 1 {b1 (a11 A11 a12 A12 ... a1n A1n ) b2 (a11 A21 a12 A22 ... a1n A2n )

... bn (a1n An1 a12 An2 ... a1n Ann )} 1 {b1 (a11 A11 a12 A12 ... a1n A1n )} b1.

Здесь коэффициент при b1 равен в форме разложения по элементам первой строки, коэффициенты же при b2 , …, bn равны нулю как суммы произведений элементов первой

строки на алгебраические дополнения других строк.

Аналогичным образом, с использованием тех же свойств определителя, проверяется, что найденные x1 , x2 , …, xn удовлетворяют и всем остальным уравнениям.

Тем самым мы доказали теорему о существовании и единственности решения системы n линейных уравнений с n неизвестными с ненулевым определителем матрицы коэффициентов. Эта теорема носит название теоремы Крамера.

Формулы для решения можно преобразовать, учитывая, что

только i-м столбцом, в который помещены b1 , b2 , …, bn . Эти формулы носят названия

формул Крамера. Раньше мы их получили для n 2 и n 3 .

4. Некоторые следствия из теоремы Крамера.

Следствие 1. Если известно, что система n линейных уравнений с n неизвестными не имеет решений, то определитель матрицы из коэффициентов системы равен нулю.

Действительно, если бы определитель был отличен от нуля, то система имела бы решение.

Следствие 2. Если система n линейных уравнений с n неизвестными имеет более чем одно решение, то определитель матрицы из еѐ коэффициентов равен нулю.

Действительно, иначе система имела бы единственное решение.

Система линейных уравнений называется однородной, если все еѐ свободные члены равны нулю. Однородная система (независимо от числа уравнений) всегда имеет решение, состоящее из нулевых значений для всех неизвестных. Для однородных систем представляет интерес вопрос о том, является ли нулевое решение единственным или кроме него существуют другие, нетривиальные, решения.

Следствие 3. Для того, чтобы система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имела нетривиальные решения, необходимо, чтобы определитель матрицы из еѐ коэффициентов был равен нулю.

Действительно, если хотя бы одно нетривиальное решение имеется, то система имеет более одного решения, так как нулевое всегда есть. Следовательно, определитель матрицы из коэффициентов системы равен нулю.