hitrov-1st-semester / Oglavlenie
.pdfОглавление
Часть 1.
§1. Элементы комбинаторики.
1.Размещения, перестановки, сочетания.
2.Бином Ньютона.
§2. Некоторые обобщения школьных знаний.
1.Отношение эквивалентности.
2.Свойства сложения и умножения чисел.
3.Определения и примеры алгебраических структур.
4.Классы чисел по модулю два, три, четыре и действия с ними.
§3. Матрицы и действия с ними.
1.Определения и обозначения матриц.
2.Умножение матриц.
3.Сложение матриц и умножение матриц на числа.
4.Свойства умножения матриц.
5.Транспонирование матриц.
6.Квадратные матрицы.
§ 4. Системы двух и трех линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными соответственно.
1. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определитель матрицы второго порядка.
2. Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Определитель третьего порядка.
§ 5. Определитель n-го порядка
1. Определение определителя n-го порядка. 1.1. Свойства перестановок.
1.2. Подстановки и их свойства.
§ 6. Свойства определителя n-го порядка
1. Первые 8 свойств.
2. Алгебраические дополнения и миноры (свойства 9 – 12).
§ 7. Вычисление определителей.
1. Определитель треугольной матрицы.
2. Определитель Вандермонда.
3. Система n уравнений с n неизвестными с ненулевым определителем матрицы коэффициентов.
4. Некоторые следствия из теоремы Крамера.
§ 8. Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов).
1.Определения и простейшие свойства.
2.Линейные зависимости столбцов матрицы с линейно зависимыми строками.
3.Теорема о линейной зависимости линейных комбинаций.
4.Базис и ранг совокупности строк.
5.Линейно эквивалентные совокупности строк.
6.Ранг матрицы.
7.Условие линейной зависимости и независимости множества строк (столбцов) квадратной матрицы.
8.Ранг матрицы в терминах определителей.
9.Определение ранга матрицы при помощи элементарных преобразований.
§ 9. Системы линейных уравнений общего вида.
1. Однородные системы.
2.Строение множества решений системы линейных однородных уравнений.
3.Неоднородные системы. Теорема Кронекера-Капелли.
4.Строение множества решений неоднородной системы.
5.Метод Гаусса.
§ 10. Дальнейшие свойства определителя.
1. Теорема Лапласа.
2. Умножение матриц разбитых на клетки.
3. Умножение матрицы на вспомогательную матрицу как линейное преобразование строк (столбцов).
4. Теорема Бине – Коши. Неравенство Коши.
§ 11. Обращение квадратных матриц.
1. Условие существования обратной матрицы.
2. Некоторые свойства обратной матрицы.
3. Решение линейных систем с невырожденной матрицей в терминах обратной матрицы. 4. Обращение ступенчатой матрицы.
5. Вычисление определителя матрицы разбитой на четыре блока и обращение такой матрицы.
§ 12. Комплексные числа. Обоснование и интерпретация.
1. Обоснование комплексных чисел.
2. Вычитание и деление комплексных чисел.
3. Геометрическая интерпретация комплексных чисел в декартовых координатах.
4. Геометрическая интерпретация комплексных чисел в полярных координатах. Модуль и аргумент комплексного числа.
§ 13. Комплексные числа, их тригонометрическая форма записи и умножение комплексных чисел.
1. Тригонометрическая запись комплексного числа.
2. Неравенства для модуля суммы и модуля разности двух комплексных чисел. 3. Умножение комплексных чисел в тригонометрической записи.
4. Возведение комплексного числа в степень с целым показателем и формула Муавра. 5. Применение формулы Муавра к преобразованиям тригонометрических выражений.
§ 14. Извлечение корня из комплексных чисел.
1.Вывод формулы извлечения корня.
2.Исследование формулы извлечения корня.
3.Формула для корней из единицы.
4.Геометрическое изображение корней из единицы.
5.Первообразные корни n-й степени из 1.
6.Свойства корней из 1.
§ 15. Показательная и логарифмическая функция комплексной переменной.
1.Показательная функция с натуральным основанием.
2.Формулы Эйлера.
3.Натуральный логарифм комплексного числа.
4.Показательная функция с произвольным основанием.
§ 16. Кватернионы.
1.Алгебра вещественных матриц 4-го порядка.
2.Кватернионы.
3.Трехмерное подпространство H четырехмерного пространства H .
4.Преобразование векторной части кватерниона и геометрическая интерпретация этого преобразования.
§ 17. Квадратичные формы. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду линейной подстановкой букв.
1.Определение и матричная запись квадратичной формы.
2.Линейное преобразование переменных в квадратичной форме.
3.Преобразование квадратичной формы к каноническому виду.
4.Ранг квадратичной формы.
5.Преобразование квадратичной формы к каноническому виду посредством унитреугольного преобразования переменных.
§18. Закон инерции квадратичных форм.
1.Положительно определенные квадратичные формы.
2.Критерий Сильвестра положительности квадратичной формы.
3.Закон инерции квадратичных форм.
§19. Эрмитовы формы.
1.Определение эрмитовой формы.
2.Свойства эрмитовых форм.
§20. Ортогональные и унитарные матрицы. Определения и свойства.