hitrov-1st-semester / Paragraf_19

§19. Эрмитовы формы.

1. Определение эрмитовой формы. Близким аналогом теории вещественных квадратичных форм при переходе к полю комплексных чисел является теория так называемых эрмитовых форм. Эрмитовой формой называется выражение от комплексных

n

переменных z1, z2 ,..., zn и их сопряженных z1, z2 ,..., zn вида aij zi z j , причем

i, j 1

предполагается, что a ji aij . В частности, все диагональные элементы вещественны. Введем по аналогии с сопряженными комплексными числами понятие сопряженных

матриц: матрица C называется сопряженной с комплексной матрицей C, если она транспонированная с матрицей C и в ней все элементы заменены на комплексно

сопряженные, т.е. C CT . Используя понятие сопряженной матрицы, эрмитову форму

матрица A еѐ коэффициентов обладает свойством A A самосопряженности или эрмитовости. При линейном преобразовании переменных Z BW (W (w1, w2 ,..., wn )T ) предполагается, естественно, что сопряженные преобразуются с сопряженными

коэффициентами, т.е. Z BW , и тогда Z W B . Эрмитова форма преобразуется по формуле

Z AZ W B ABW .

Ясно, что матрица B AB является эрмитовой, ибо

(B AB) B A B B AB .

Отметим, что все значения эрмитовой формы при всех комплексных значениях переменных вещественны. Действительно, пусть Z – некоторый столбец из комплексных

| z1 |2 | z2 |2 ... | zn |2 .

2. Свойства эрмитовых форм. Эрмитовы формы обладают свойствами, аналогичными свойствам вещественных квадратичных форм. Доказательства соответствующих теорем тоже почти дословно повторяют аналогичные доказательства для вещественных квадратичных форм. Поэтому мы только сформулируем эти теоремы, опустив их доказательства.

Теорема 1. Эрмитова форма может быть приведена к каноническому виду (с диагональной матрицей) посредством преобразования переменных с невырожденной комплексной матрицей.

Теорема 2. Ранг матрицы эрмитовой формы равен числу ненулевых коэффициентов в каноническом виде.

Эрмитова форма называется положительно определенной, если все еѐ значения положительны, кроме значения при нулевых значениях переменной. Матрица положительно определенной эрмитовой формы также называется положительно определенной.

Теорема 3. Для того чтобы эрмитова форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты её канонической формы были положительны.

Теорема 3. Для того чтобы эрмитова форма с невырожденной матрицей приводилась к каноническому виду преобразованием с правой унитреугольной матрицей, необходимо и достаточно, чтобы левые верхние диагональные миноры 1, 2 ,..., n были

отличны от нуля. При этом коэффициенты в канонической форме равны 1, 2 ,..., n .

1 n 1

Теорема 5. Для того чтобы эрмитова форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы левые верхние диагональные миноры 1, 2 ,..., n были

положительны.

Теорема 6. Число положительных и число отрицательных коэффициентов в канонической форме не зависит от способа приведения к каноническому виду (закон инерции).