hitrov-1st-semester / Paragraf_16

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

вида 1i 2 j 3k H . Обозначим

вида 1i 2 j 3k H . Обозначим

множество через H . Очевидно, что H

образует трехмерное подпространство в

поэтому элементы этого подпространства,

.pdf

Скачиваний:

108

Добавлен:

16.04.2015

Размер:

481.28 Кб

Скачать

☆

§ 16. Кватернионы

Алгебра кватернионов. Операции сложения и умножения матриц, с элементами из некоторого поля, а также умножения матриц на «числа» из того же поля, позволили нам выделить новую, неизвестную со школы алгебраическую структуру, называемую алгеброй. Такой структурой, как оказалось, обладают квадратные матрицы одного порядка. Действительно, любые две такие матрицы можно складывать, эти матрицы можно умножать на числа и, как было показано, эти матрицы, относительно указанных операций образуют структуру векторного пространства. Указанный факт отмечался, когда мы изучали действия с матрицами. Кроме того, любые две квадратные матрицы одного порядка можно перемножать в любом (из двух) расположении сомножителей, результатом будет снова квадратная матрица того же порядка. Мы ранее отмечали, что относительно операций сложения и умножения матриц, квадратные матрицы одного порядка образуют структуру ассоциативного кольца с единицей. Множество, наделенное одновременно структурой векторного пространства и кольца мы назвали алгеброй. Среди алгебр квадратных матриц мы выдели алгебру квадратных матриц второго порядка специального

вида с вещественными элементами	a	b	aE bI . Эта алгебра, в дополнение к уже

	b	a

перечисленным свойствам, обладала еще дополнительными свойствами: именно, умножение элементов этой алгебры было ассоциативным, коммутативным, и для каждого элемента алгебры, отличного от нулевого, существовал обратный элемент. Другими словами, эта алгебра, относительно операций сложения и умножения своих элементов обладала ещѐ структурой поля. При изучении этой конкретной алгебры, мы ограничились тем, что рассматривали еѐ над полем вещественных чисел, считая последнее известным и привычным со средней школы. Мы установили изоморфизм между элементами этой


алгебры aE bI		и числами вида a bi , где a и b – вещественные числа,		а i	– так
называемая «мнимая единица», обладающая свойством: i2 1 (по аналогии с I 2					E ).
Числа вида	a bi мы назвали комплексными числами		и, ссылаясь на изоморфность
отображения	(взаимную однозначность и сохранение		операций) aE bI	в	a bi ,

перечислили свойства комплексных чисел как элементов поля. Такой подход к введению комплексных чисел кажется излишне вычурным, хоть и избавляет нас от объяснения,

почему мы положили i2 1. Он не соответствует ни историческому процессу появления

комплексных чисел (вначале появляются	a bi , а не aE bI ), ни критерию простоты
( a bi проще выражений aE bI , хоть	и нет объяснения, почему i2 1). Однако

матричный подход к введению комплексных чисел позволяет по аналогии и более естественным образом ввести и описать свойства так называемых кватернионов (четверок), т.е. «чисел» вида a bi cj dk уже с тремя «мнимыми единицами» i, j, k (a,b,

c, d – вещественные числа).

Рассмотрим множество вещественных матриц четвертого порядка вида:

a		b	c	d
	b	a	d	c
A	b	a	d	c	,	(1)
	c	d	a	b
		c	b
d		c	b	a

где a, b, c и d вещественные числа. Введя обозначения

1		0	0	0		0		1	0	0		0		0	1	0		0		0	0	1
	0	1	0	0			1	0	0	0			0	0	0	1			0	0	1	0
E					,	I					,	J					.	K					(2)
	0	0	1	0			0	0	0	1			1	0	0	0			0	1 0		0
	0	0	0	1			0	0	1	0			0	1	0	0			1	0	0	0

мы можем записать произвольную матрицу (1) в виде линейной комбинации матриц: E, I. J и K. То есть

	a		b	c
		b	a	d
A
		c	d	a

			c	b
	d

d
c
c	aE bI cJ dK .	(3)
b	aE bI cJ dK .	(3)
b
a
a

Очевидно, что матрицы E, I. J и K линейно независимы, поскольку их ненулевые элементы расположены на разных местах квадратной матрицы четвертого порядка. Поскольку линейные комбинации линейных комбинаций этих матриц будут снова линейными комбинациями этих же матриц, то указанное множество линейных комбинаций, которое в дальнейшем будем обозначать через H , образует четырехмерное подпространство в 16-мерном пространстве вещественных квадратных матриц 4-го порядка.

Покажем, что множество H замкнуто относительно операции матричного умножения элементов. Чтобы облегчить себе работу по проверке этого утверждения, рассмотрим блочное разбиение матриц E, I. J и K на 4 равных по размеру блока. При этом

мы используем введенные ранее обозначения							базисных векторов E и I			алгебры C.
Выпишем блочный вид матриц E, I. J и K:
E	0	I	0	0	E		0	I
E		, I		, J		,	K		.	(4)
0	E	0	I	E	0		I	0

Сделаем замечание относительно обозначений: здесь через E обозначается как матрица 4- го, так и матрица 2-го порядка. Поскольку порядок матрицы E определяется еѐ местом в матричном выражении, то надеемся, что это не приведет к недоразумениям.

Так как умножение линейных комбинаций сводится к умножению и сложению коэффициентов (чисел) и умножению образующих этих линейных комбинаций между собой, то сосредоточимся вначале на этих действиях. Поскольку умножение и сложение вещественных чисел - известные операции, то уделим основное внимание умножению образующих между собой. В силу свойств единичной матрицы имеем: E E E , EI IE I , EJ JE J , EK KE K . При вычислении попарных произведений IJ, JI, IK, KI, JK, KJ, II, JJ, KK удобно воспользоваться блочным представлением матриц I, J, K.

Опуская несложные вычисления, выпишем			полученные	результаты:		IJ JI K ,
JK KJ I , KI IK J , I 2 J 2 K 2 E . С учетом этих равенств теперь несложно
выписать произведение двух произвольных линейных комбинаций из					H .	Ориентируясь
на дальнейшее, выпишем		произвольные	линейные	комбинации			в виде:
A 0 E 1I 2 J 3K	и	B 0 E 1I 2 J 3 K . Перемножая			эти		линейные
комбинации, получим:
A B ( 0 E 1I 2 J 3 K )( 0 E 1I 2 J 3 K ) (0 0 1 1 2 2 3 3 )E
							(5)
( 0 1 1 0 2 3 3 2 )I (0 2 2 0 1 3 3 1 )J (0 3 3 0 1 2 2 1 )K.
Итак, показано,	что результат операция		умножения	элементов из		H ,	является

элементом из H . То есть операция умножения в H замкнута. Поскольку проверка свойств дистрибутивности не представляет труда и доказано, что эти свойства выполняются, то можно утверждать, что H является кольцом. Из свойств умножения матриц следует, что это кольцо ассоциативное и с единицей. Из свойств попарных

произведений IJ, JI, IK, KI, JK, KJ, следует, что это кольцо некоммутативное. Рассмотрим еще одно свойство умножения элементов из H . Именно, найдем произведение

AAT ( E I J K )( E I J K )T
	0		1	2	3	0	1	2	3
( 0 E 1I 2 J 3 K )( 0 E 1I 2 J 3 K )										(6)
( 2	2	2	2 )E.
0	1	2		3

Отсюда следует, что для ненулевого элемента из H (очевидно, что элемент из H равен 0 тогда и только тогда, когда 0 1 2 3 0 ) существует обратный элемент.

Так для ненулевого элемента A 0 E 1I 2 J 3K обратным будет элемент

	A 1 ( E I J K ) 1																			1			( E	I J K ) .

																	2	2		2		2
0		1					2			3							2	2		2		2	0	1	2	3
																0			1		2	3
То есть,
				A 1										1					AT .							(7)

								2			2			2		2
								2			2			2		2
								0		1				2				3
Из (6) следует, что			AAT						A				AT		A	2 ( 2 2					2 2 )4			. Откуда
Из (6) следует, что			AAT						A				AT		A	2 ( 2 2					2 2 )4			. Откуда
																			0	1		2	3
				A		( 2				2				2				2 )2								(8)
				A		( 2				2				2				2 )2								(8)
								0		1				2		3
Сравнивая теперь (7) с формулой для обратной матрицы к матрице A
				A 1				1
								1				A ,
									A



где A - присоединенная (союзная) матрица к матрице A, получим, что
												2		2		2 )AT .										(9)
					A	( 2						2		2		2 )AT .										(9)
								0		1				2				3

Назовем величину 02 12 22 32 , равную арифметическому значению корня, модулем элемента (матрицы) A из H. Будем обозначать модуль элемента (матрицы) A как A , т.е.

положим A 4 A . Используя обозначение модуля, мы можем переписать формулу (6) в

виде: AAT A 2 E . Из (5) и (6) теперь следует, что

AB 2 E (AB)(AB)T (AB)(BT AT ) A(BBT )AT AAT B 2 A 2 B 2 E . Откуда следует,

что AB A B , т.е. модуль произведения двух элементов из H равен произведению

модулей этих элементов. Соотношение для квадратов модулей, записанное в развернутом виде и в обратном порядке, носит название тождества Эйлера. То есть,

( 2				2	2	2 )( 2				2		2	2 )
0			1		2		3		0		1	2		3
(			0					2				)2 (				0			3			)2	(10)
	0		0		1	1	2	2		3	3		0	1	1	0	2		3	3	2
(		2				0		3	)2 (					3		0		2		)2
	0	2			2	0	1	3		3	1		0	3	3	0	1	2		2	1

- тождество Эйлера.

Определение. Ассоциативное кольцо с единицей, у которого для каждого ненулевого элемента существует обратный, называется телом.

Из определений тела и поля следует, что каждое поле является телом. Однако пример тела H показывает, что не каждое тело является полем.

Выше нами показано, что H является алгеброй, в которой кольцо имеет структуру тела. Как и в случае с алгеброй C для алгебры H в практике нашло применение не матричное выражение элементов этой алгебры, а изоморфное отображение этой алгебры в «числа вида» 0 1i 2 j 3k , которые называются кватернионами. То есть каждому

элементу A 0 E 1I 2 J 3K	алгебры H мы	сопоставляем кватернион
0 1i 2 j 3k . Единицы i,	j, k – называются (по	аналогии с комплексными

числами) мнимыми единицами. Часть кватерниона - число 0 , по аналогии с комплексными числами, можно было бы называть вещественной частью кватерниона, а упорядоченную тройку ( 1, 2 , 3 ) - мнимой частью кватерниона. Однако это неудобно,

поскольку приходится отрывать уже три коэффициента от мнимых единиц. При делении кватерниона на части, за частями закрепились совсем другие названия, оправданные дальнейшей интерпретацией. Так число 0 называется скалярной частью кватерниона, а

часть кватерниона 1i 2 j 3k называется векторной частью кватерниона.

На множестве кватернионов определены равенство (два кватерниона равны, когда равны их скалярные и векторные части), сложение, умножение на вещественные числа и умножение кватернионов. Перемножение кватернионов выражается в перемножении и сложении коэффициентов (вещественных чисел 0 , 1, 2 , 3 ) и перемножении мнимых

единиц, подчиненных правилам: ij ji k ,

jk kj i ,

ki ik j ,

i2 j2 k 2 1 .

Причем перемножение осуществляется так, как учили в школе перемножать скобку на скобку, но с учетом свойств перемножения мнимых единиц. При этом подразумевается, что вещественные числа коммутируют (перестановочны) как между собой, так и с мнимыми единицами. Очевидно, с учетом сказанного о сложении и произведении

кватернионов, что отображение A 0 E 1I 2 J 3K

в 0 1i 2 j 3k не

только взаимнооднозначно, но и сохраняет операции. Следовательно, это отображение является изоморфизмом.

Очевидно, что для кватернионов имеем полный аналог формулы (5):

( 0 1i 2 j 3k)( 0 1i 2 j 3k) ( 0 0 1 1

2 2

3 3 )

(11)

( 0 1 1 0 2 3 3 2 )i ( 0 2 2 0 1 3 3 1 ) j ( 0 3 3 0 1 2 2 1 )k.

Как и для комплексных чисел, для кватернионов вводится понятие сопряженного

кватерниона.

Кватернион

0 1i 2 j 3k 0

будем называть сопряженным

кватерниону

0 1i 2 j 3k 0 . Очевидно,

что

сопряженным сумме

кватернионов

и будет сумма сопряженных, т.е.

. Сопряженным

произведению –

будет произведение сопряженных, взятых в

обратном порядке, т.е.

(вспомните связь сопряжения с транспонированием матриц).

Для кватерниона, как и для комплексного числа, вводится понятие модуля.

Именно,

величина

называется

модулем

кватерниона

0 1i 2 j 3k .

Модуль

кватерниона

будем обозначать, как

. Несложно

непосредственно посчитать (или сослаться на соответствующую связь с матрицами), что

													2 . Теперь, как и для
	(	i		j k)(		i		j k) 2		2	2	2
0		1	2	3	0	1	2	3	0	1	2	3

соответствующих матриц, доказывается тождество Эйлера (10), и утверждение, что модуль произведения кватернионов равен произведению их модулей, т.е.

Обратным для кватерниона 0 будет кватернион 1		1
		1	.




В дальнейшем, через	H мы будем обозначать	уже		не четырехмерное
подпространство вещественных	квадратных матриц четвертого порядка специального

(указанного выше) вида, а множество кватернионов. Это позволит нам сохранить в памяти связь кватернионов с матрицами и при нужде пользоваться ею.

Трехмерное подпространство H четырехмерного пространства H .

Рассмотрим множество линейных комбинаций с вещественными коэффициентами

будем называть векторами. Введем в H операцию умножения векторов, определяемую правилом: для любых , H положим

положив в (11) 0 0 0 , получим:

( 1i 2 j 3k)( 1i 2 j 3k)

( 1 1 2 2 3 3 ) ( 2 3 3 2 )i ( 1 3 3 1 ) j ( 1 2 2 1 )k,

( 1i 2 j 3k)( 1i 2 j 3k)

( 1 1 2 2 3 3 ) ( 2 3 3 2 )i ( 1 3 3 1 ) j ( 1 2 2 1 )k. Следовательно,

1													i	j	k
1	( ) (				)i (		) j (				)k					,
	( ) (	3			)i (	3	) j (			2	)k					,
2	2	3	3	2	1	3	3	1	1	2	2	1	1	2	3
2													1	2	3
													1	2	3

т.е. H .

Перейдем к геометрической интерпретации подпространства H . Для этого отождествим мнимые единицы i, j,k с ортами декартовой системы координат i, j, k (правая


тройка).	Тогда	линейной	комбинации	мнимых единиц		1i 2 j 3k	будет
соответствовать		линейная	комбинация	ортов 1i 2 j 3k , т.е. вектор.			Таким

образом,	каждому кватерниону 1i 2 j 3k H				мы	сопоставляем	вектор

1i 2 j 3k . Далее, поскольку i, j, k H , то, используя введенное в (12) обозначение

для произведения элементов из H , получим i j j i k , j k k j i , j k k j i .

Не впадая в противоречие с определением произведения для кватернионов из H , введем векторное произведение векторов в трехмерном пространстве с декартовой системой координат и ортами i, j, k, задав векторное произведение формулой:

		i	j	k
		1	2	3	( 2 3 3 2 )i ( 1 3 3 1 ) j ( 1 2											2 1 )k .	(13)
		1	2	3
Из (13) для ортов i,						j, k декартовой системы координат следует:											i j j i k ,
j k k j i , j k k j i .
Перечислим			теперь			свойства векторного				произведения,						вытекающие из этого
определения.
Во-первых, векторное произведение замкнуто на множестве векторов (очевидным
образом следует из определения).
Во-вторых,				выполняются			свойства				дистрибутивности.						Действительно,
		i		j		k	i	j	k			i	j	k
		i		j		k	i	j	k			i	j	k
( )		1		2		3	1	2	3			1	2	3	,
	1 1		2 2			3 3	1	2	3			1	2	3
		i		j		k	i	j	k			i	j	k
		i		j		k	i	j	k			i	j	k
( )	1 1		2 2			3 3	1	2	3		1		2	3	.
		1		2		3	1	2	3		1		2	3

Таким образом, трехмерное вещественное пространство векторов относительно операций сложения и векторного умножения векторов образует структуру кольца.

Это кольцо не ассоциативное. Например, поскольку (i j) j k j i , а i ( j j) i 0 0 , то (i j) j i ( j j) .

Это кольцо не коммутативное, ибо , и в нѐм нет «единицы».

Мы не будем заниматься дальнейшей геометрической интерпретацией векторного произведения векторов, поскольку это предмет аналитической геометрии, где векторное произведение изучается более детально.

Отметим ещѐ одно умножение элементов из H и соответствующее ему умножение трехмерных векторов. Для чего рассмотрим произведение в H , заданное формулой (правилом):

(, )		1	( )									,
(, )			( )					2			3	,
		2			1	1	2	2	3		3
		2

где , H	, а	-			умножение кватернионов в H . Соответствующее произведение
векторов 1i 2 j 3k и 1i 2 j 3k										задаѐтся формулой
( , ) 1 1				2 2	3 3

и называется скалярным произведением векторов.

Перечислим некоторые свойства скалярного произведения векторов, вытекающие из его определения:

1)( , ) ( 1 1 ) 1 ( 2 2 ) 2 ( 3 3 ) 3( 1 1 2 2 3 3 ) ( 1 1 2 2 3 3 ) (, ) ( , )

(линейность по первому аргументу), здесь ,

– вещественные числа, а , , -

трехмерные вектора;

2)(, ) (, ) (симметричность):

3)(, ) 0 , причем (, ) 0 тогда и только тогда, когда 0 .

Используя обозначения скалярного и векторного произведения векторов, покажем, как в этих обозначениях выглядит (выражается) произведение кватернионов. Пусть

0 1i 2 j 3k 0 и 0 1i 2 j 3k 0		два кватерниона, где и	-
векторные части этих кватернионов. Тогда
(0 ) (0	) 0 0 ( , ) 0 0 .
Как видим эта запись произведения гораздо проще, чем соответствующая запись
(11). При этом	0 0 ( , ) - скалярная часть	кватерниона-произведения,	а

0 0 - векторная часть кватерниона-произведения.

Вернемся вновь к векторному произведению векторов. Пусть a, b и c – трехмерные

вектора, т.е. a a1i a2 j a3k ,			b b1i b2 j b3k ,		c c1i c2 j c3k . Рассмотрим векторное
произведение a (b c) :
	i		j	k
	i		j	k
a (b c)	a1		a2	a3	i(a2b1c2 a2b2c1 a3b3c1 a3b1c3 )
	b2c3 b3c2	b3c1 b1c3		b1c2 b2c1

j(a3b2c3 a3b3c2 a1b1c2 a1b2c1 ) k (a1b3c1 a1b1c3 a2b2c3 a2b3c2 ) ib1 (a2c2 a3c3 )ic1 (a2b2 a3b3 ) jb2 (a1c1 a3c3 ) jc2 (a1b1 a3b3 ) kb3 (a1c1 a2c2 ) kc3 (a1b1 a2b2 )

ib1 (a1c1 a2c2 a3c3 ) ic1 (a1b1 a2b2 a3b3 ) jb2 (a1c1 a2c2 a3c3 )jc2 (a1b1 a2b2 a3b3 ) kb3 (a1c1 a2c2 a3c3 ) kc3 (a1b1 a2b2 a3b3 )

(ib1 jb2 kb3 )(a1c1 a2c2 a3c3 ) (ic1 jc2 kc3 )(a1b1 a2b2 a3b3 ) b(a, c) c(a,b).

Все проделанные выкладки достаточно очевидны, кроме, возможно, добавления в соответствующем равенстве к двум соседним слагаемым с противоположными знаками одного и того же слагаемого с противоположными знаками. Так к слагаемым

ib1 (a2c2 a3c3 ) и ic1 (a2b2 a3b3 ) мы добавили слагаемое ia1b1c1	и слагаемое ia1b1c1 и т.д.,
в итоге получили ib1 (a1c1 a2c2 a3c3 ) ic1 (a1b1 a2b2 a3b3 ) и т.д.
Пропуская теперь выкладки, запишем результат:
a (b c) b(a, c) c(a,b) .
Используя полученную формулу, теперь легко можно доказать тождество Якоби
a (b c) b (c a) c (a b) 0 .

Действительно,

a (b c) b (c a) c (a b) b(a, c) c(a,b) c(b, a) a(b, c) a(c,b) b(c, a)

a{(c,b) (b, c)} b{(a, c) (c, a)} c{(b, a) (a,b)} 0.

Преобразование векторной части кватерниона и геометрическая

интерпретация этого преобразования. Пусть			-	векторная часть		некоторого
кватерниона (или чисто векторный кватернион),				cos p sin		некоторый
фиксированный кватернион, где p p i p		j p k и	p2	p2	p2 1. Нетрудно видеть,
1	2	3	1	2	3

что модуль кватерниона равен единице. Действительно,

(cos p sin ) (cos p sin ) cos2 ( p, p)sin2 cos2 sin2 1.

Рассмотрим функцию f ( , ) 1 .

(cos p sin ) (cos p sin ) { ( p, ) sin cos ( p ) sin } (cos p sin ){ ( p, ) sin cos ( , p) cos sin (( p ), p) sin2 } { p( p, ) sin2 cos2

( p ) sin cos ( p) sin cos ( p ) p sin2 }
p( p, ) sin2 cos2 2( p) sin cos p( p, ) sin2 ( p, p) sin2
2 p( p, ) sin2 ( p) sin 2 cos 2 h
Мы	видим, что	функция f ( , )	сопоставляет	векторному кватерниону
векторный	кватернион	h . Отождествляя	кватернионы	и h с векторами и	h

соответствующей декартовой системы координат, мы можем в трехмерном векторном

пространстве рассматривать функцию

f ( , ) , сопоставляющую вектору вектор h

по

правилу:

f ( , ) 2 p( p, )sin2 ( p)sin 2 cos 2 h,

где

p p i p j p k , фиксированный вектор единичной длины ( p2 p2

1 ), и угол

параметры,

связанные друг с другом соотношением cos p sin ,

с помощью

которых задается функция

f ( , ) .

Дадим

геометрическую

интерпретацию функции

f ( , ) . Для этого

найдѐм

проекции

векторов

на

орты ортогональной

системы

координат:

p ,

p ( p) . Начнем с вектора . Чтобы найти указанные

p ( p)

проекции, достаточно найти скалярные произведения ( p, ) ,

(q, ) и (r, ) . Поскольку p

заданные

вектора,

то

будем

считать, что ( p, ) - известно.

Найдем

(q, ) :

(q, )

( p, ) 0 , т.е.

лежит в плоскости проходящей

через орты

p и

Найдем теперь (r, ) : (r, )

( p ( p), )

p ( p)

Обозначим проекцию вектора на ось с ортом r через , т.е. положим (r, ) , Очевидно, поскольку (q, ) 0 , что проекция вектора на плоскость с ортами q и r будет

совпадать с проекцией

на ось с ортом r, т.е. будет равна . Но эта же проекция будет

равна

, т.е.

. (Мы воспользовались здесь определениями скалярного и

векторного произведения

векторов из аналитической геометрии,

откуда

следует, что

(r, )

cos

cos и

sin( )

cos ,

где

- угол между

векторами r и ).

Найдем теперь скалярные произведения ( p, h) , (q, h) и (r, h) :

( p, h) ( p, 2 p( p, )sin2 ( p)sin 2 cos 2 ) 2( p, )sin2 ( p, ) cos 22( p, )sin2 ( p, )(cos2 sin2 ) ( p, )(cos2 sin2 ) ( p, ),

(q, h)

( p, h)

( p, 2 p( p, ))sin2 ( p)sin 2 cos 2 )

( p, p)sin 2

sin 2 sin 2 ,

(r, h)

( p ( p), 2 p( p, )sin2 ( p)sin 2 cos 2 )

p ( p)

( p ( p), ) cos 2 (r, ) cos 2 cos 2 .

p ( p)

Сравним теперь координаты векторов и h в декартовой системе координат с ортами p, q, r:

( p, ) p (q, )q (r, )r ( p, ) p ( 0)q ( 1)r ,

h ( p, h) p (q, h)q (r, h)r ( p, ) p ( sin 2 )q ( cos 2 )r

Сравнивая координаты двух указанных векторов, мы видим, что вектор h получен из вектора поворотом последнего на угол 2 вокруг оси с ортом p.

	2ψ	λ
r	2ψ
r

Отметим,

что

обычно

единичный

кватернион

0 1i 2 j 3k 0

(кватернион с

1 ),

используемый в преобразованиях

f ( , ) , записывают в виде

0 cos p sin ,

где

cos

определяются

из соотношений:

cos 0

( 0 2 ),

Действительно,

поскольку

12 22 32

32 1 ,

то

при

этих

предположениях

имеем:

sin2 ,

где cos

02 12

cos2

02 0 , а

sin

11 22 33

1 02 .

1 ,

Итак, преобразование

f ( , )

( 0 ) ( 0 ) ,

поворачивает вектор

вокруг оси определяемой вектором

на угол , определяемый из условия:

cos 0 .

Очевидно, что эта интерпретация сохраняет смысл и для предельных случаев

1 и

1. В первом случае не происходит ничего: f (1, ) 1 1 ,

поскольку 0 . Во

втором

случае

f ( 1, ) ( 1) ( 1)

происходит поворот на угол 2

( 2 )

безразлично вокруг какой оси ( 0 ).

Предположим,

что

f ( , )

( 0 ) ( 0 ) h .

Совершим

теперь

поворот вектора h

вокруг некоторой оси на некоторый угол, определяемые единичным

1). Преобразование можно записать в

кватернионом 0

1i 2 j 3k 0

(

виде: f ( , h) f ( ,

f ( , )) (

)

( ) ( ) f ( , ) . То есть два

последовательных поворота вектора , определяемых параметрами единичных

кватернионов и , равносильны одному повороту,		определяемому параметрами (ось и
угол) единичного кватерниона			1). Операция замены двух
	(

последовательных поворотов одним поворотом называется сложением поворотов. Понятно, что эту операцию сложения с двух поворотов можно обобщить на произвольное число поворотов.

Соседние файлы в папке hitrov-1st-semester

#
16.04.2015321.82 Кб111Paragraf_11.pdf
#
16.04.2015400.67 Кб109Paragraf_12.pdf
#
16.04.2015364.82 Кб109Paragraf_13.pdf
#
16.04.2015373.49 Кб111Paragraf_14.pdf
#
16.04.2015246.43 Кб108Paragraf_15.pdf
#
16.04.2015481.28 Кб108Paragraf_16.pdf
#
16.04.2015446.11 Кб108Paragraf_17.pdf
#
16.04.2015308.98 Кб108Paragraf_18.pdf
#
16.04.2015254.96 Кб108Paragraf_19.pdf
#
16.04.2015477.48 Кб107Paragraf_2.pdf
#
16.04.2015272.56 Кб108Paragraf_20.pdf

1		0	0	0		0		1	0	0		0		0	1	0		0		0	0	1
	0	1	0	0			1	0	0	0			0	0	0	1			0	0	1	0
E					,	I					,	J					.	K					(2)
	0	0	1	0			0	0	0	1			1	0	0	0			0	1 0		0
	0	0	0	1			0	0	1	0			0	1	0	0			1	0	0	0

1		0	0	0		0		1	0	0		0		0	1	0		0		0	0	1
	0	1	0	0			1	0	0	0			0	0	0	1			0	0	1	0
E					,	I					,	J					.	K					(2)
	0	0	1	0			0	0	0	1			1	0	0	0			0	1 0		0
	0	0	0	1			0	0	1	0			0	1	0	0			1	0	0	0

1		0	0	0		0		1	0	0		0		0	1	0		0		0	0	1
	0	1	0	0			1	0	0	0			0	0	0	1			0	0	1	0
E					,	I					,	J					.	K					(2)
	0	0	1	0			0	0	0	1			1	0	0	0			0	1 0		0
	0	0	0	1			0	0	1	0			0	1	0	0			1	0	0	0