hitrov-1st-semester / Paragraf_5
.pdf
§ 5. Определитель n-го порядка и его свойства
1. Определение определителя n-го порядка. Некоторые свойства перестановок.
Формула (18) предыдущего параграфа, обобщенная с 3 на произвольное n, и была бы определением определителя n-го порядка, если бы мы дали корректное определение, что такое (i1,i2 ,...,in ) . Корректное – в данном случае такое, что новое определение не
противоречило бы данным нами определениям определителя второго и третьего порядков (случаям n 2 и n 3 соответственно). Это – во-первых. А, во-вторых, новое определение позволяло бы указывать знак члена определителя даже в том случае, если сомножители в члене определителя произвольно поменять местами. Таким образом, наша попытка дать определение определителя n-го порядка упирается в изучение свойств перестановок из n элементов. С этого и начнем.
1.1. Свойства перестановок.
1. Пр. 1. Число всех перестановок из n элементов равно n! (смотри §1).
Переставляемыми элементами будем считать числа из множества {1, 2,..., n} . Тогда
произвольную перестановку можно |
записать |
как |
набор чисел ( 1, 2 ,..., n ) , где |
||
i , j {1, 2,..., n} и i j , если |
i j . Индексы i и j |
у чисел i |
и j означают номер |
||
места этих чисел в перестановке. |
|
|
|
|
|
2. Будем говорить, что |
пара |
элементов |
( i , j ) , i j , |
образует инверсию в |
|
перестановке ( 1, 2 ,..., n ) , если |
i j (большее число в паре стоит раньше меньшего). |
||||
Число всех пар элементов перестановки, образующих инверсию, называется числом инверсий в перестановке и обозначается inv ( 1, 2 ,..., n ) . Так inv (3, 6,1, 4, 2,5,8, 7) 8
(инверсию образуют пары (3,1), (3,2), (6,1), (6,4), (6,2), (6,5), (4,2), (8,7)).
Перестановки, содержащие четное число инверсий, называются четными, нечетное число инверсий – нечетными.
Понятие числа инверсий в перестановке позволяет разбить все множество перестановок на два класса: класс четных перестановок и класс нечетных перестановок.
Рассмотрим множество всех перестановок из трех элементов-чисел множества
{1, 2,3}: (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1), (2,1,3), (1,3,2). Выпишем число инверсий в каждой
из перечисленных перестановок: inv(1,2,3)=0, inv(2,3,1)=2, inv(3,1,2)=2, inv(3,2,1)=3, inv(2,1,3)=1, inv(1,3,2)=1.
Множество всех перестановок из двух элементов-чисел множества {1, 2} будут
составлять перестановки (1,2) и (2,1), с числом инверсий inv(1,2)=0 и inv(2,1)=1 каждая. Итак, мы видим, что множества всех перестановок из двух и трех чисел разбились
на два подмножества четных и нечетных перестановок каждое. Причем число четных перестановок оказалось равным числу нечетных перестановок в каждом из двух указанных множеств. Более того, рассматривая члены определителя второго и третьего порядков с расположением в них сомножителей (элементов матриц) упорядоченных по первым индексам, видим, что членам определителей, взятым со знаком (+), соответствуют четные перестановки из вторых индексов сомножителей, а членам определителей, взятым со знаком (-), – нечетные перестановки из вторых индексов сомножителей. Таким образом, для обобщения определителей второго и третьего порядков на определители произвольного порядка в формуле (18) предыдущего параграфа достаточно положить( 1, 2 ,..., n ) inv ( 1, 2 ,..., n ) и 3 заменить на n. В итоге получим:
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
( 1)inv(i1 ,i2 ,...,in ) a1i1 a2i2 ...anin , |
... ... ... ... |
(i1 |
,i2 ,...,in ) |
|||
|
|
|
|
||
an1 |
an2 |
... |
ann |
|
|
где суммирование ведется по всем перестановкам (i1,i2 ,...,in ) из чисел {1, 2,..., n} . Определение определителя n-го порядка сформулируем немного позже, а пока
продолжим изучать свойства перестановок. |
|
|
|
|
3. Определение |
1. Перемена местами элементов |
i |
и |
j в перестановке |
( 1, 2 ,..., n ) называется |
транспозицией элементов i |
и |
j . |
Записывается как: |
транспозиция ( i , j ) . |
|
|
|
|
Если из контекста |
ясно, что когда выписывается пара элементов ( i , j ) , и речь |
|||
идет именно о транспозиции элементов пары, то слово «транспозиция» перед написанием пары ( i , j ) будем опускать.
Пр. 2. К любой транспозиции ( i , j ) в перестановке ( 1, 2 ,..., n ) можно прийти
с помощью нечетного числа транспозиций соседних элементов.
Доказательство. Пусть дана перестановка ( 1,..., i 1 i , i 1,..., j 1, j , j 1,..., n ) , и мы совершаем в ней транспозицию ( i , j ) , т.е. переходим от указанной перестановки к
перестановке |
( 1,..., i 1 j , i 1,..., j 1, i , j 1,..., n ) . |
Пусть j i m , |
т.е. между |
||
элементами i |
и |
j |
находится m 1 элементов |
перестановки (будем |
называть их |
промежуточными). |
Меняя последовательно местами элемент i |
с каждым |
|||
промежуточным элементом, и затем с элементом j , мы с помощью m транспозиций соседних элементов поместим элемент i на место элемента j . Затем, последовательно меняя местами элемент j с соседними промежуточными элементами (движение в
обратном направлении), мы с помощью m 1 транспозиций соседних элементов поместим элемент j на место элемента i . Так с помощью 2m 1, т.е. нечетного числа
транспозиций соседних элементов мы можем поменять местами любые два элемента в
перестановке. |
Предложение доказано. |
|
|
|
|
|
|||||
|
Пр. |
3. |
При транспозиции соседних элементов число инверсий в перестановке |
||||||||
меняется на единицу. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Доказательство. |
Рассмотрим |
перестановку |
( 1,..., i 1, i , i 1, i 2 ,..., n ) . |
|||||||
Совершим |
в |
ней |
транспозицию |
элементов |
( i , i 1 ) , |
получим перестановку |
|||||
( 1 |
,..., i 1 i 1, i , i 2 ,..., n ) . Сравним число инверсий в обеих перестановках. Для этого |
||||||||||
все |
элементы |
в |
обеих |
перестановках разобьем на |
три |
упорядоченных |
группы: |
||||
( 1 |
,..., i 1) , |
|
( i , i 1 ) , |
( i 2 ,..., n ) - в |
первой перестановке, и ( 1,..., i 1) , |
( i 1, i ) , |
|||||
( i 2 ,..., n) |
- |
во |
второй |
перестановке. |
Разбиения |
различаются лишь второй |
группой |
||||
элементов. Очевидно, что в обоих разбиениях число инверсий образуемых элементами первой группы между собой, число инверсий образуемых элементами первой группы с элементами второй и третьей групп, элементами второй группы с элементами третьей группы и элементами третьей группы между собой – одинаково для обеих перестановок. Различие может быть лишь в числе инверсий элементов второй группы между собой. Поскольку вторая группа состоит из двух элементов, то эта пара либо образует инверсию, либо – нет. Если пара ( i , i 1 ) образует инверсию, то пара ( i 1, i ) - нет, и наоборот если
пара ( i , i 1 ) не образует инверсии, то пара ( i 1, i ) - образует. В любом случае, число
инверсий в этих перестановках разнится на единицу. Предложение доказано. Предложение 3 можно сформулировать и по-другому: При транспозиции соседних
элементов четность перестановки меняется на противоположную.(четность перестановки – свойство перестановки быть четной или нечетной).
Пр. 4. При любой транспозиции элементов, четность перестановки меняется на противоположную.
Действительно, при нечетном числе изменений четности перестановки, итоговая четность перестановки будет противоположной к исходной четности.
Пр. 5. Число четных перестановок равно числу нечетных перестановок и равно
12 n!.
Действительно, разобьем всѐ множество n! перестановок на два подмножества – четных перестановок и нечетных перестановок. В каждой четной перестановке совершим транспозицию первых дух элементов. Получим некоторое множество нечетных перестановок, которое содержится в исходном множестве нечетных перестановок. Следовательно, мощность множества четных перестановок (число четных перестановок) меньше либо равна мощности множества нечетных перестановок. Начав рассуждения с нечетных перестановок, аналогично получим, что мощность множества нечетных перестановок меньше либо равна мощности множества четных перестановок. Сравнивая два заключения, приходим к выводу, что мощности множеств четных и нечетных перестановок равны и равны половине числа n!.
Пр. 6. Любая перестановка может быть получена из любой другой посредством нескольких транспозиций.
Доказательство по индукции. Индукция по числу переставляемых элементов n. База индукции – случай n 2 , для которого утверждение тривиально. Индукционное предположение – пусть при n 2 утверждение верно для n 1 переставляемых элементов. Докажем его для случая n переставляемых элементов. Пусть (1,2 ,...,n ) и (1, 2 ,..., n )
две данные перестановки. Если 1 1 , то (2 ,...,n ) и (2 ,..., n ) отличаются только порядком и, в силу индукционного предположения, посредством нескольких транспозиций можно перейти от (2 ,...,n ) к (2 ,..., n ) и, следовательно, от (1,2 ,...,n )
к (1, 2 ,..., n ) . Пусть |
теперь 1 1 . Тогда |
1 i при некотором |
i 1 Сделав |
в |
||
(1,2 ,...,n ) транспозицию (1,i ) мы придем к новой перестановке, |
у которой |
на |
||||
первом месте находится |
i 1 . В силу доказанного эта перестановка превращается в |
|||||
(1, 2 ,..., n ) |
посредством нескольких транспозиций. Следовательно, |
от (1,2 ,...,n ) к |
||||
(1, 2 ,..., n ) |
можно перейти посредством нескольких транспозиций, |
что и требовалось |
||||
доказать.
1.2. Подстановки и их свойства.
Сомножители, входящие в произведение, составляющего член определителя, являются элементами матрицы и, как следствие, имеют двойную индексацию. На примерах определителей второго и третьего порядка было замечено, что как первые индексы, так и вторые индексы, элементов, входящих в состав члена определителя, составляют две перестановки из чисел одного и того же множества. Мы постарались избавиться от перестановки, образованной первыми индексами, тем, что упорядочили элементы в каждом члене определителя так, что первые индексы элементов их составляющих образуют одну и ту же упорядоченную перестановку. Это позволило нам сосредоточить свое внимание на перестановках образованных вторыми индексами. Поэтому для обобщения определения определителя квадратных матриц на матрицы любого порядка нужно было бы либо рассматривать конструкцию, состоящую из двух перестановок, либо обосновывать возможность ограничиться одной перестановкой
Поступим следующим образом – рассмотрим конструкцию из двух перестановок, так называемую подстановку, и с помощью ее обоснуем возможность обойтись при определении определителя n-го порядка одной перестановкой.
Определение 2. Подстановкой на множестве {1, 2,..., n} называется взаимно
однозначное отображение множества на себя.
Подстановку удобно задавать прямым указанием замен для каждого элемента, посредством записи образа под прообразом, т.е. в виде таблицы (матрицы из двух строк),
где |
в |
первой |
|
строке записаны прообразы, а |
во второй |
– их образы. |
Так |
запись |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
задает подстановку, которая |
заменяет |
элементы 1, |
2, 3, |
4, 5, |
||
|
4 |
1 |
5 |
3 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
соответственно, на 4, 1, 5, 3, 2; порядок расположения еѐ столбцов безразличен. В такой записи, как в первой, так и второй строках оказываются перестановки. Удобно в первой строке записывать элементы в натуральном расположении.
Последовательное применение двух подстановок приводит к подстановке, называемой их произведением. Так,
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
||||||
|
5 |
2 |
1 |
6 |
4 |
3 |
|
6 |
1 |
2 |
4 |
3 |
5 |
|
|
3 |
1 |
6 |
5 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(первой действующей подстановкой считается та, которая записана слева). В силу произвольности расположения столбцов в табличной записи подстановки, всегда можно расположить столбцы во втором сомножителе таким образом, чтобы элементы первой строки второго сомножителя имели такое же расположение, как элементы второй строки первого сомножителя. Тогда результирующая подстановка будет иметь первую строку такую же, как у первого сомножителя, а вторую строку - такую же, как у второго преобразованного сомножителя. Рассмотрим предыдущий пример. Преобразуем указанным выше образом второй сомножитель и произведем умножение, получим:
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 5 |
2 |
1 |
6 |
4 |
3 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
||||||
|
5 |
2 |
1 |
6 |
4 |
3 |
|
3 |
1 |
6 |
5 |
4 |
2 |
|
|
3 |
1 |
6 |
5 |
4 |
2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
т.е. предыдущий результат. Таким образом, процесс последовательного применения подстановок (умножение подстановок), по сути, сводится к указанной выше перестановке столбцов в табличной записи второй подстановки. Следовательно, если отображаемые элементы (прообразы) подстановки, стоящей справа, записывать в том же порядке, как элементы второй строки (образы) подстановки, стоящей слева, то ассоциативность операции умножения подстановок будет очевидной.
Действительно,
1 |
2 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
1 |
2 |
|
2 |
1 |
|
1 |
2 |
|
2 |
1 |
|
1 |
2 |
|
2 |
1 |
... |
n |
||
|
|
|
1 |
... |
n 1 |
||
... |
|
n |
|
|
|
|
1 |
... |
n |
1 |
|
... |
n |
||
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
... |
1 |
||
|
|
|
|
... |
|
n |
|
|
|
|
1 |
... |
n |
1 |
|
2
2
2
2
2
2
22
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
... |
n |
|
|
1 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
||
|
|
|
n |
|
1 |
|
2 |
|||
... |
n |
|
|
|
||||||
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
... |
n |
|
1 |
|
2 |
|
||||
... |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
||
|
|
|
n |
|
1 |
|
2 |
|||
... |
n |
|
|
|
||||||
... |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
... |
n |
|
||
... |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
n |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
... |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
n . |
|
|
|
|
|
|
... |
|
n |
||
Выше выписаны два варианта вычисления произведения трех подстановок, т.е. два варианта расстановки скобок, чтобы с помощью бинарной операции произвести умножение трех подстановок-сомножителей. Показано, что результат не зависит от расстановки скобок, т.е. показано, что данная бинарная операция ассоциативна. Таким образом, показано, что совокупность всех подстановок на множестве из n элементов с бинарной замкнутой операцией умножения подстановок (последовательного выполнения подстановок) образует структуру полугруппы. Покажем, что на самом деле множество
подстановок с операцией умножения, как последовательного выполнения подстановок, имеет структуру группы. То есть, укажем подстановку, исполняющую роль единицы при умножении подстановок и для любой подстановки, укажем обратную ей.
Действительно, в множестве подстановок существует тождественная подстановка, отображающая каждый элемент (число) в себя. Множество еѐ возможных обозначений
можно записать в виде равенства: |
1 |
2 ... |
n |
1 |
2 |
... |
n |
. Тогда произведение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
2 ... |
n |
|
1 |
2 |
... |
n |
|
любой
|
1 |
2 |
|
|
2 |
1 |
||
исходной |
подстановки |
на |
|
тождественную |
|
подстановку |
будет |
|
давать |
|||||||||
... |
n |
1 |
2 ... |
n |
|
1 |
2 |
... |
n 1 |
2 |
... |
n |
1 |
2 |
... |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
, |
|
... |
n |
1 |
2 ... |
n |
|
1 |
... |
n |
1 |
... |
n |
1 |
... |
n |
|
|||
т.е. исходную подстановку.
Обратной к подстановке |
1 |
2 ... |
n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 ... |
n |
||||
1 |
2 |
... |
n |
|
|
|
|
... |
|
|
|
1 |
поскольку |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
n |
|
|
1 |
2 |
... |
n |
|
1 |
2 |
... |
n |
|
1 |
||
будет подстановка |
|
|
|
... |
|
|
, |
||
|
1 |
|
2 |
|
|
n |
|||
|
|
|
1 |
2 |
... |
n |
|
||
2 ... |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ... |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножение подстановок, вообще говоря, некоммутативно, например,
1 |
2 |
3 1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 2 |
1 |
3 |
1 2 |
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, а |
|
2 1 |
3 |
2 |
3 |
1 |
|
2 |
1 |
3 3 |
2 |
1 |
3 2 |
1 |
||
1 |
2 |
3 1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 2 |
3 |
1 |
1 |
2 |
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
2 3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
|
2 |
3 |
1 1 |
3 |
2 |
1 |
3 |
2 |
|
Резюмируем сказанное выше в виде следующего предложения. |
|||||||||||||||
Пр. 7. |
Множество подстановок на некотором конечном множестве с операцией |
||||||||||||||
умножения подстановок образует некоммутативную группу. Эта группа называется
симметрической группой и обозначается обычно как Sn
Выше мы рассмотрели действия с подстановками, а теперь посмотрим, что происходит внутри самой подстановки с отображаемыми элементами. Для этого возьмем первый столбец матричной записи подстановки и обозначим его элементы через i1 и i2 ,
т.е. предположим, что данная подстановка отображает элемент i1 в элемент i2 . Если элемент i2 i1 , то в подстановке обязательно найдется столбец с верхним элементом i2 . Поставим указанный столбец на второе место. Обозначим второй элемент этого столбца через i3 . Очевидно, что i3 i2 (отображение взаимнооднозначное). Если i3 i1 , то в исходной подстановке найдется столбец с первым элементом i3 . Поставим этот столбец на третье место. Обозначим его второй элемент через i4 . В силу взаимной однозначности отображения определяющего рассматриваемую подстановку i4 i2 и i4 i3 . Если i4 i1 , то в исходной подстановке найдется столбец с первым элементом равным i4 , который поставим на четвертое место. Если в четвертом столбце соответствующий второй элемент i5 i1 , то мы продолжим процесс перестановки столбцов. Обязательно, на каком-то r-ом шаге найдется элемент, когда ir 1 i1 . В этом случае будем говорить, что различные
элементы |
{i1,i2 ,...ir } {1, 2,..., n} образуют |
циклическую подстановку |
или цикл |
||||
i |
i ... |
i |
i |
|
|
называют длиной цикла. Если r n , то |
|
1 |
2 |
r 1 |
r |
. В этом случае число r |
|||
i2 |
i3 ... |
ir |
i1 |
|
|
|
|
исходная подстановка является циклом. Если |
r n , то исходная подстановка задает на |
||||||
множестве |
{1, 2,..., n} {i1,i2 ,...ir } взаимно |
однозначное отображение или |
подстановку. |
||||
Рассматривая последнюю подстановку как исходную, мы можем и в ней выделить цикл, и процесс выделения циклов можем продолжать до тех пор, пока исходная подстановка не будет разбита на циклы. Разбиение подстановки на циклы называют также разложением подстановки в произведение циклов. Поясним сказанное.
|
|
Пусть |
|
{1, 2,..., n} {i1,i2 ,...ir } { j1, j2 ,..., jn r } |
|
или, |
|
по-другому, |
||||||||||||
{i1,i2 ,...ir } { j1, j2 ,..., jn r } {1, 2,..., n} |
и |
{i1,i2 ,...ir } |
{ j1 , j2 ,..., jn r } . |
|
Пусть |
исходная |
||||||||||||||
|
|
|
1 |
2 ... |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
подстановка |
|
|
|
|
. |
|
разбивается |
|
на |
два |
|
цикла, |
т.е. |
|||||||
|
|
|
1 |
2 ... |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
2 ... |
n |
i |
i ... |
i |
j |
j |
... |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 ... |
1 |
|
2 |
r |
1 |
2 |
|
n r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
n |
i2 |
i3 ... |
i1 |
j2 |
j3 |
... |
j1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Последнюю подстановку в этом равенстве можно записать в виде произведения |
||||||||||||||||||
подстановок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i |
... |
i |
j ... |
j |
|
i |
i ... |
i |
j |
j ... |
j |
|
i |
i ... |
i |
j |
j ... |
j |
||
1 |
|
r |
1 |
n r |
1 |
2 |
|
r |
1 |
2 |
|
n |
r |
2 |
3 |
1 |
1 |
2 |
n r |
|
i2 |
... |
i1 |
j2 ... |
j1 |
|
i2 |
i3 ... |
i1 |
j1 |
j2 ... |
jn r |
i2 |
i3 ... |
i1 |
j2 |
j3 ... |
j1 |
|||
Если к тому же договориться опускать при записи элементы отображаемые сами в себя, то
последняя |
|
|
|
запись |
|
|
|
|
|
|
становится |
|
короче: |
|||
i |
i ... |
i |
j |
j ... |
j |
|
i |
i |
... |
i |
|
|
j |
j ... j |
|
|
1 |
2 |
r |
1 |
2 |
n r |
1 |
2 |
|
r |
|
|
1 |
2 |
n r . |
Понятно, что |
|
i2 |
i3 ... |
i1 |
j2 |
j3 ... |
j1 |
|
i2 |
i3 |
... |
i1 |
|
j2 |
j3 ... |
j1 |
|
|
указанный подход к записи подстановки разбитый на два цикла легко обобщается на случай, когда подстановка разбивается на k циклов. Если мы хотим и впредь говорить о разбиении подстановки на циклы, как о разложении в произведение циклов, то следует уточнить само определение цикла.
Определение 3. Подстановка на множестве из n элементов называется циклом длины r, если она n r элементов отображает самих в себя (оставляет на местах), а остальные r элементов переставляет циклическим образом.
Определение 4. Подстановка называется транспозицией, если она n-2 элемента оставляет на местах, а остальные два элемента переставляет местами.
Выше мы упростили запись циклической подстановки, опустив запись элементов, отображаемых самих в себя. Мы можем еще более упростить запись, если цикл
i |
i |
... |
i |
i |
|
|
|
|
(i1,i2 ,...,ir ) , |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
r 1 |
r |
|
будем |
записывать как |
понимая |
при |
этом, |
что |
||
i2 |
i3 |
... |
ir |
i1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i1 i2 |
... ir |
i1 |
(элемент i1 |
отображается в элемент i2 , |
i2 в i3 и т.д., |
ir 1 |
в ir , ir |
в i1 ). |
|||||
Ясно, |
что тот же цикл можно записать как (ik ,ik 1,...,ir ,i1,...,ik 1) , где 1 k r . При такой |
||||||||||||
записи транспозиция, как цикл длины два, записывается в виде ( i , j ) . |
|
|
|
||||||||||
|
|
Пример 1. Рассмотрим подстановку |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 2 |
3 4 5 6 7 |
1 5 2 3 7 |
6 4 |
|
|
4 . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 5 2 3 7 6 |
|
||||
|
|
5 3 |
7 2 1 4 6 |
|
5 1 3 7 6 |
4 2 |
|
|
|
|
|||
В этой записи первая матрица (таблица) – исходная подстановка. Вторая таблица – запись исходной подстановки, разбитой на циклы. Последнее выражение в равенстве – разложение исходной подстановки в произведение циклов.
Покажем связь определения 1 транспозиции элементов в перестановке и определения 4 транспозиции как цикла длины 2.
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
... |
i |
|
... |
j |
|
|
... |
n |
|
|
|
|
|
|||||
|
Пусть |
дана |
подстановка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
в |
нижней |
строке |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
... |
i |
|
... |
j |
|
|
... n |
|
|
|
|
|
||||||
(перестановке) которой мы хотим поменять местами элементы i |
и j . Умножим данную |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
... |
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
подстановку на транспозицию ( i , j ) |
1 |
|
|
|
i |
|
|
|
|
j |
|
|
|
n |
, получим |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
... |
|
j |
... |
|
i |
... |
|
n |
|
|
|
|
|
||||||
1 |
... |
i |
... |
j |
... |
n |
... |
|
|
|
... |
|
|
|
... |
|
|
|
|
1 |
|
... |
i |
... |
j |
... |
n |
|
|
|
i |
|
j |
|
1 |
|
|
i |
|
|
|
j |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
j |
|
i |
|
|
1 |
... |
... |
... |
n 1 |
... |
j |
|
... |
i |
|
... |
n |
|
|
1 |
|
... |
... |
... |
n |
||||||||
Учитывая указанную связь определений мы можем переформулировать для подстановок Пр. 6 следующим образом: любая подстановка может быть получена из любой другой с помощью умножения последней (исходной) на некоторое число транспозиций. Если брать в качестве исходной подстановки тождественную подстановку, то последнее утверждение можно сформулировать так.
Пр. 7. Любая подстановка разлагается в произведение некоторого числа транспозиций. (Разложение подстановки в произведение некоторого числа транспозиций можно рассматривать как аналог разложения целого числа в произведение простых чисел, однако разложение подстановки не единственно).
Мы, наконец-то, готовы дать определение четности подстановки (напомним: цель данного параграфа – определитель).
Определение 5. Подстановка называется четной, если в табличной еѐ записи верхняя и нижняя строки, как перестановки, имеют одинаковые четности и нечетной – если разные.
Поскольку табличная запись определяет подстановку с точностью до перестановки столбцов таблицы, то нужно показать корректность данного определения. Действительно, при перемене местами любых двух столбцов в таблице в перестановках образованных строками таблицы совершается по одной транспозиции и, значит, четности перестановок меняются на противоположные одновременно. Следовательно, свойство строк – иметь одинаковые или разные четности – сохраняется при любой перестановке столбцов. Поэтому определение корректно.
Мы можем также переформулировать определение 5 следующим образом. Определение 6. Подстановка называется четной, если суммарное число инверсий
в верхней и нижней строках |
табличной записи подстановки – четное, и нечетной – в |
||||
противном случае. |
|
|
|
|
|
Пример 2. |
Подсчитаем четность цикла длины r, как подстановки r-го порядка. |
||||
i |
i |
... |
i |
i |
|
Пусть 1 |
2 |
|
r 1 |
r |
- циклическая подстановка. Четность этой подстановки |
i2 |
i3 |
... |
ir |
i1 |
|
совпадает с четностью числа |
|
m inv(i1,i2 ,...,ir 1,ir ) + inv(i2 ,...,ir 1,ir ,i1) (суммарное число |
|||
инверсий в верхней и нижней строках циклической подстановки). Поскольку inv(i1,i2 ,...,ir 1,ir ) inv(i1,i2 ) ... inv(i1,ir ) inv(i2 ,i3,...ir ) , а
inv(i2 ,...,ir 1,ir ,i1) inv(i2 ,i3,...ir ) inv(i2 ,i1) inv(i3,i1)... inv(ir ,i1) , то m 2 inv(i2 ,i3 ,...ir ) {inv(i1,i2 ) inv(i2 ,i1)} ... {inv(i1,ir ) inv(ir ,i1)} .
Так как первое слагаемое в последнем выражении для числа m является четным числом, то четность числа m совпадает с четностью числа фигурных скобок, т.е. с (r-1), в выражении для m, поскольку каждое число в фигурных скобках равно единице (только одна из двух пар в фигурных скобках образует инверсию). Совпадение четностей чисел m и (r-1) можно записать и как m r 1(mod 2) . Таким образом четность цикла длины r
противоположна четности его длины, т.е. совпадает с четностью числа (r-1).
Теперь, наконец, мы видим, что как бы мы не определяли четность подстановки образованной индексами элементов, входящих в состав члена определителя, и определяющей знак члена определителя, то ли в соответствии с определениями 5 и 6, то ли как четность перестановки вторых индексов при упорядоченных первых – четность подстановки будет одной и той же. Это позволяет нам дать, наконец-то, определение определителя n-го порядка.
Определение 7. Определителем квадратной матрицы n-го порядка называется сумма произведений элементов матрицы взятых по одному из каждой строчки и каждого столбца со знаком плюс, если перестановка образованная вторыми индексами элементов, входящих в произведение (при упорядоченных первых индексах), четная и со знаком минус - если нечетная.
Уточним предыдущее определение.
Определение 8. Определитель матрицы с элементами из некоторого поля P есть функция, заданная на множестве квадратных матриц, со значениями в поле P, сопоставляющая каждой матрице число (элемент поля P) по правилу, заданному определением 7 или, что равносильно, формулой:
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
( 1)inv(i1 ,i2 ,...,in ) a1i1 a2i2 ...anin |
(*) |
... ... ... ... |
(i1 |
,i2 ,...,in ) |
|
|||
an1 |
an2 |
... |
ann |
|
|
|
Сделаем несколько замечаний.
Замечание 1. При записи подстановки n-го порядка в виде матрицы размерности 2 n , мы сознательно заменяли слово «матрица» словом «таблица», чтобы временно избавить читателя от ненужных ассоциаций, пока он не привыкнет к тому, что умножение матриц может быть разным. Например, таким, как умножение подстановок. С другой стороны, подстановку можно записать в виде квадратной матрицы порядка n.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 ... |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Действительно, пусть нам дана подстановка |
|
|
|
|
|
. Сопоставим этой |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
k2 ... |
kn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
подстановке квадратную матрицу |
P |
|
(матрица подстановки, подстановочная матрица) |
||||||||||||||||||||||||||||||
порядка n, с элементами |
pij |
0 , |
если |
j ki , |
и |
pik |
1, |
где |
i 1, 2,..., n . Очевидно, |
что |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
каждая строка и каждый столбец матрицы |
P |
|
содержат ровно одну единицу, все же |
||||||||||||||||||||||||||||||
остальные элементы равны нулю. Если |
через |
I (1 |
|
2 |
... |
n)T |
|
обозначим |
столбец, |
||||||||||||||||||||||||
соответствующий первой строке исходной подстановки, |
а через |
I |
|
(k |
k |
2 |
|
... |
k |
n |
)T - |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
столбец, соответствующий второй строке подстановки, то получим, что |
P I I |
|
. Так что |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вся информация содержащаяся в подстановке, содержится и в последнем равенстве. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Пример |
3. |
Рассмотрим |
|
подстановку |
|
, |
подстановочную |
матрицу |
P |
|
и |
||||||||||||||||||||||
соотношение |
P I I |
|
. Пусть |
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
6 |
7 , тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
3 |
7 |
|
2 |
1 |
4 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 0 0 0 1 0 0 |
|
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
3 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P I |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
|
|
2 |
I |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
6 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
7 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 4. Рассмотрим подстановки |
и |
и их произведение : |
||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
4 |
1 |
2 |
3 |
3 |
2 |
4 |
1 |
|
|
|
|
1 2 |
3 4 1 2 3 |
4 |
1 2 3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
4 1 |
2 3 3 2 4 |
1 |
1 3 2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Выпишем теперь соответствующие подстановочные матрицы P |
, |
P |
и P : |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
0 1 |
|
0 0 |
1 0 |
|
1 |
|
0 0 0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P 1 0 |
0 0 , |
P |
0 1 |
0 0 |
, |
P |
|
0 |
|
0 1 0 |
. |
|
|
|
||||
|
|
0 1 |
0 0 |
|
|
0 0 |
0 1 |
|
|
0 |
|
1 0 0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
1 0 |
|
|
1 0 |
0 0 |
|
|
|
0 |
|
0 0 1 |
|
|
|
|
|
Непосредственной проверкой убеждаемся, что |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
0 0 1 0 0 1 |
0 |
1 0 0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P P 1 |
0 0 0 |
0 1 0 |
0 |
|
0 |
0 1 |
|
0 |
|
P . |
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
1 0 0 0 0 0 |
1 |
0 1 0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 1 0 |
1 0 0 |
0 |
|
0 |
0 0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
В этом примере мы не только построили три подстановочные матрицы, но и показали, что подстановочная матрица произведения подстановок равна произведению подстановочных матриц.
.Замечание 2. Любую подстановку в табличной записи можно с помощью перестановки столбцов привести к виду, в котором столбцы разбиты на упорядоченные группы так, что каждая группа столбцов образует циклическую подстановку (будем считать, что элементы, переводимые рассматриваемой подстановкой сами в себя, образуют циклы длины единица). Будем называть такую запись подстановки канонической. Каноническая запись определяется единственным образом с точностью до перестановки циклических подстановок (циклов). Сказанное вытекает из описанной выше процедуры разбиения подстановки на циклы. Каноническая запись подстановки достигается с помощью процедуры (перестановки столбцов), не меняющей четность подстановки. Поэтому четность подстановки n-ой степени можно определить с помощью еѐ четности в канонической записи. Несложно доказать, опираясь на пример 2, что если подстановка разбивается на s циклов с длинами r1, r2 ,..., rs соответственно, то четность
|
n |
n |
|
подстановки n-ой степени совпадает с четностью числа d (ri 1) . Поскольку |
ri |
n , |
|
|
i 1 |
i 1 |
|
то d n s . Число |
d n s называется декрементом подстановки. Таким |
образом, |
|
четность подстановки совпадает с четностью еѐ декремента.