hitrov-1st-semester / Paragraf_13

§ 13. Комплексные числа, их тригонометрическая форма записи и умножение комплексных чисел

1. Тригонометрическая запись комплексного числа. Модуль r | z | и аргумент

Эти формулы непосредственно следуют из определения функций cos и sin любого угла.

аргумент по данным a и b. Для определения аргумента можно было бы пользоваться

кратного (т.е. полуоборота), а не до целого кратного 2 . Это заставляет дополнительно выбирать из двух значений в противоположных четвертях одно, по знаку cos (или

sin ), совпадающему со знаком a (соответственно b). Подставляя вместо компонент комплексного числа z a bi их выражения через модуль и аргумент, получаем

z r(cos i sin ) .

Такая форма записи комплексного числа называется тригонометрической.

Примеры:

Эти неравенства удобны для оценивания модуля суммы и модуля разности комплексных чисел, т.е. для указания границ их изменения, если известны границы для модулей слагаемых. Неравенства a) и b) применяются для оценивания сверху, неравенства c) и d) дают оценки снизу.

Докажем прежде всего неравенство a).

Действительно, компоненты чисел w и –w отличаются только знаками, и суммы квадратов компонент одинаковы. Далее, | z w | | z ( w) | | z | | w | | z | | w | , что и требовалось доказать.

Для доказательства неравенства c) применим неравенство b) к z (z w) w .

Получим | z | | (z w) | | w | , откуда | z w | | z | | w | .

Наконец, | z w | | z ( w) | | z | | w | , чем доказано неравенство d).

Все доказанные неравенства имеют ясное геометрическое истолкование (рис.5).

(рисунок 5)

Если точки, изображающие 0, z, w, не лежат на одной прямой, то треугольник с вершинами 0, z, z w имеет длины сторон | z | , | w | и | z w | . Из известных «неравенств

треугольника» - сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности – получаем неравенства a) и b) (даже без включения равенства, что обеспечивается сделанным предположением о невырожденности треугольника 0, z, z w ). Неравенства c) и d) становятся очевидными при взгляде на треугольник с вершинами в

треугольника приводит к неравенствам c) и d), снова без знаков равенства, которые могут появиться в случае вырождения треугольника в отрезок. При доказательстве неравенств c) и d) мы отметили одно обстоятельство, интересное само по себе: модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию между точками, изображающими эти комплексные числа.

Неравенства c) и d) иногда полезны в слегка усиленной формулировке

Их справедливость почти очевидна. Действительно, | z w | | z | | w | и | z w | | w | | z | .

Правые части отличаются знаком и, выбрав из них положительную, придем к неравенству c’). Неравенство d’) следует из c’) после замены w на -w.

Неравенство a) очевидным образом обобщается на сумму нескольких слагаемых:

рассматривать как обобщение неравенства b). Оно удобно для оценивания снизу суммы, в которой модуль одного слагаемого больше суммы модулей остальных.

3. Умножение комплексных чисел в тригонометрической записи.

модуль которого равен r1r2 и аргумент 1 2 . Следовательно, модуль произведения двух

комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей и аргумент произведения (точнее одно из значений аргумента) равен сумме аргументов сомножителей. В буквенной записи

| z1z2 | | z1 | | z2 |, arg(z1z2 ) arg z1 arg z2 .

Эти правила распространяются на произведение любого числа сомножителей. Именно,

В обеих цепочках равенств последний переход обеспечивается индуктивным предположением.

Замечание. Представляет интерес геометрическая интерпретация умножение комплексных чисел на одно и тоже комплексное число с модулем равным 1.

Такую функцию, отображающую линейное пространство (в данном случае - радиусвекторов) в себя, называют линейным оператором. Позже, когда мы будем изучать линейные операторы в векторных пространствах с базисом, мы узнаем, что каждому оператору можно сопоставить матрицу, и действие линейного оператора на элемент векторного пространства (вектор) можно свести к умножению матрицы линейного оператора на координатный столбец вектора. Еще не зная теории линейных операторов,

где x , y координаты конца радиус-вектора, полученного в результате поворота радиусвектора с координатами x и y на угол .

Мы не будем далее задерживаться на этом примере, поскольку в аналитической геометрии с другой точки зрения, это же рассматривается как ортогональное преобразование координат вектора на плоскости. Отметим только, что чуть позже мы рассмотрим ортогональные матрицы, частным случаем которых является матрица

Мы вывели эту формулу в предположении, что k – целое положительное число. Покажем, что она верна и при k 0 и при целом отрицательном k, считая для комплексных чисел,

Таким образом, формула Муавра оказывается верной при всех целых значениях k.

5. Применение формулы Муавра к преобразованиям тригонометрических выражений. Формула Муавра оказывается удобным средством для преобразования некоторых выражений, содержащих тригонометрические функции. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Выразить tg5 через tg .

Имеем соотношение cos5 i sin 5 (cos i sin)5 . Применим бином Ньютона, получим

cos5 i sin 5 cos5 5i cos4 sin 10cos3 sin2 10i cos2 sin3 5cos sin4 i sin5

(Мы поделили числитель и знаменатель на cos5 .)

Ясно, что подобным образом можно выражать тригонометрические функции кратного аргумента через тригонометрические функции исходного.

Пример 2. Выразить sin5 линейно через тригонометрические функции кратных аргументов.

Введем в рассмотрение другую сумму A cos cos 2 ... cos n и запишем

A Bi (cos i sin ) (cos 2 i sin 2) ... (cos n i sin n )(cos i sin ) (cos i sin )2 ... (cos i sin )n .

Мы пришли к сумме геометрической прогрессии. Для дальнейших преобразований

Вынесем теперь в числителе и знаменателе такие степени z, чтобы в скобках оставались разности степеней с противоположными показателями (для возможности этого мы ввели

a1, a2 ,..., an - геометрическую. Разумеется, рассмотренные примеры не исчерпывают

возможности применений формулы Муавра к преобразованиям тригонометрических выражений.