hitrov-1st-semester / Paragraf_8

§ 8. Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов)

Предыдущий параграф является в некотором смысле знаковым. Он подвѐл промежуточный итог нашим занятиям по решению систем n линейных уравнений с n неизвестными. Так мы однозначно ответили на вопрос, когда данная система имеет единственное решение (теорема Крамера) и выяснили вид этого решения (формулы Крамера). Для этого нам понадобилось познакомиться с новыми (по отношению к школе) математическими объектами – матрицами. Показать, что эти объекты, по крайней мере, квадратные матрицы, являются элементами уже знакомой алгебраической структуры – кольца, т.е. эти математические объекты можно складывать и умножать, и, более того, квадратные матрицы можно даже возводить в степень. Мы подчеркнули также особенность этого кольца, по отношению к знакомому со школы кольцу целых чисел, – оно не коммутативное. Далее мы ввели на множестве квадратных матриц с элементами из некоторого поля функцию - определитель, со значениями в этом поле. По пути мы подчеркнули, что эту функцию можно было бы рассматривать на множестве квадратных матриц с элементами из ассоциативного коммутативного кольца, т.е. с элементами из некоторой подструктуры поля. Подчеркнув, таким образом, что нам удалось сделать, подчеркнем теперь выявленные по пути проблемы и задачи, т.е. отметим, что нам ещѐ предстоит сделать.

В основном, наши ближайшие задачи неявным образом сформулированы в следствиях из теоремы Крамера. Так следствие 1 говорит о том, что если система не имеет решения, то определитель матрицы из коэффициентов системы обязательно равен нулю. Спрашивается, если указанный определитель равен нулю, то означает ли это, что система всегда не имеет решения? Если не всегда, то, как описать те условия, при которых система не имеет решений, и при каких условиях система имеет решения и сколько таких решений?

Следствие 2 говорит о том, что если указанная система имеет несколько решений, то определитель обязательно равен нулю. Опять остается вопрос о числе решений в этом возможном случае.

Следствие 3 говорит о нетривиальных (ненулевых) решениях однородной системы, которые могут существовать только при условии равенства нулю определителя матрицы из коэффициентов системы. Пока остается открытым вопрос является ли требование равенства нулю определителя системы достаточным условием существования нетривиальных решений линейной однородной системы уравнений.

Частично на эти вопросы мы можем ответить уже сейчас, если вспомнить матричную запись системы уравнений. Так, систему n линейных уравнений с n неизвестными с квадратной матрицей коэффициентов A, столбцом неизвестных X и столбцом свободных членов B мы можем записать в виде:

отличаются друг от друга на слагаемое, равное некоторому решению матричного линейного однородного уравнения с той же матрицей, что и исходное уравнение. Это замечание показывает роль самостоятельного изучения систем линейных однородных уравнений (матричного однородного уравнения).

Рассмотрим теперь матричное однородное уравнение AZ 0 . Пусть Z и Z какието решения этого уравнения, тогда любая линейная комбинация Z Z этих решений с

однородного матричного уравнения (линейной однородной системы уравнений), сводится к описанию свойств линейных комбинаций столбцов. При этом мы уже сможем отойти от квадратных матриц коэффициентов к прямоугольным матрицам, и упор будем делать не на столбцах, а на строках (строки в некотором смысле эквивалентны уравнениям системы и более удобны в записи).

Не забегая вперед, мы и приступим к поставленной задаче.

1. Определения и простейшие свойства.

Напомним, что линейной комбинацией строк (или вообще матриц) u1,u2 ,...,um называется строка (матрица) c1u1 c2u2 ... cmum , где ci - числа (элементы основного поля). Ясно, что если все коэффициенты равны нулю, то линейная комбинация равна нулевой строке. Совокупность строк u1,u2 ,...,um называется линейно зависимой, если существуют коэффициенты c1, c2 ,..., cm не равные нулю одновременно, такие, что c1u1 c2u2 ... cmum 0 (здесь 0 означает нулевую строку). Если же такие коэффициенты не существуют, т.е. из равенства c1u1 c2u2 ... cmum 0 следует, что все коэффициенты c1, c2 ,..., cm равны нулю, то совокупность строк называется линейно независимой.

c1 c2 0, c1 2c2 0,

откуда c1 c2 0 .

Пр. 1. Для того чтобы совокупность строк была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы одна из строк была линейной комбинацией остальных.

т.е. совокупность u1,u2 ,...,um линейно зависима.

Другая формулировка этого предложения.

Для того, чтобы совокупность строк была линейно независима, необходимо и достаточно, чтобы ни одна из строк не была линейной комбинацией остальных.

Отметим ещѐ некоторые очевидные предложения, касающиеся свойств линейной зависимости и линейной независимости строк.

Ясно, что любая совокупность строк, содержащая нулевую строку, линейно зависима. Действительно, нулевая строка, есть линейная комбинация остальных строк с нулевыми коэффициентами (Пр.1). Столь же ясно, что всякая совокупность строк,

содержащая две равные или пропорциональные строки, линейно зависима. Далее, если совокупность строк линейно зависима, то всякая большая совокупность, содержащая еѐ, будет также линейно зависима. Наконец, если совокупность строк линейно независима, то и всякая еѐ часть линейно независима.

же самое для компонент, входящих в отрезки.

Отсюда непосредственно следует, что если некоторые отрезки строк u1,u2 ,...,um

линейно независимы, то и сами строки составляют линейно независимую совокупность.

2. Линейные зависимости столбцов матрицы с линейно зависимыми строками.

Пр. 4. Пусть u1,u2 ,...,um - строки матрицы

причем строки uk 1,...,um являются линейными комбинациями строк u1,...,uk . Пусть, далее, v1,..., vn - столбцы матрицы A, а v1,..., vn - их отрезки длины k. Тогда из любой зависимости c1v1 ... cnvn 0 для отрезков столбцов следует зависимость для столбцов

c1v1 ... cnvn 0 .

Доказательство. Пусть

k

uk 1 bk 1,1u1 ... bk 1,k uk bk 1,iui i 1

.....................................

k

um bm1u1 ... bmk uk bm,iui i 1

Пусть далее c1v1 ... cnvn 0 . Это означает, что первые k компонент столбца c1v1 ... cnvn равны нулю. Рассмотрим (k+1)-ую компоненту этого столбца. Она равна

n

c1ak 1,1 ... cnak 1,n c j ak 1, j j 1

k

Но, в силу uk 1 bk 1,1u1 ... bk 1,k uk bk 1,iui , получим

i 1

совокупность v1,..., vk линейно зависима, так как содержит нулевую строку. Если c1 0 , то имеется линейная зависимость:

отличен от нуля. Без нарушения общности можно считать, что c11 0 . Рассмотрим строки:

образуют линейно зависимую совокупность. Это значит, что существуют не равные одновременно нулю коэффициенты b2 ,...,bk такие, что

совокупности есть линейная комбинация строк второй совокупности и каждая строка второй совокупности есть линейная комбинация строк первой.

Пр.7. Ранги линейно эквивалентных совокупностей строк равны.

Доказательство. Пусть r – ранг второй совокупности. Это значит, что все строки второй совокупности являются линейными комбинациями базиса, состоящего из r строк. Но тогда и строки первой совокупности, будучи линейными комбинациями линейных комбинаций этих r строк, сами являются их линейными комбинациями. Следовательно, ранг первой совокупности не больше r, т.е. ранга второй совокупности. По аналогичной причине ранг второй совокупности не больше ранга первой. Следовательно, эти ранги равны.

6. Ранг матрицы. С данной прямоугольной матрицей связывается множество еѐ строк и множество еѐ столбцов. Каждое из них имеет ранг. Замечательно то, что эти ранги равны.

Теорема 3. Ранг множества строк прямоугольной матрицы равен рангу множества еѐ столбцов.

Доказательство. Пусть

Пусть ранг множества еѐ строк равен k. Тогда найдется базис из k еѐ строк, т.е. такое линейно независимое множество строк, что все остальные строки являются их линейными комбинациями. Для упрощения записи будем считать, что это первые k строк, иначе мы изменили бы нумерацию. Введем в рассмотрение матрицу из этих строк.

Столбцы матрицы A являются отрезками столбцов матрицы A.

Выберем базис столбцов матрицы A . Пусть число столбцов, составляющих базис,

равно r. Все столбцы матрицы A являются их линейными комбинациями. Ясно, что r k . Пополним выбранные базисные столбцы до полных столбцов матрицы A. Получившиеся столбцы линейно независимы, и, в силу предложения 4, все столбцы матрицы A являются их линейными комбинациями. Таким образом, мы построили базис столбцов матрицы A, состоящий из r столбцов, причем r k . Итак, ранг r множества столбцов матрицы A не превосходит ранга k множества еѐ строк. Но по тем же соображениям ранг k множества строк не превосходит ранга r множества столбцов. Следовательно, эти ранги равны. Их величина называется рангом матрицы.

7. Условие линейной зависимости и независимости множества строк (столбцов) квадратной матрицы.

Теорема 4. Для линейной зависимости множества строк квадратной матрицы необходимо и достаточно обращение в нуль еѐ определителя.

Доказательство. Необходимость. Допустим, что det A 0 , где

зависимости необходимо, чтобы det A 0 .

Достаточность. Доказательство достаточности проведем методом математической индукции по порядку матрицы A. Для n 1 утверждение теоремы очевидно, ибо равенство det A 0 означает, что A состоит из нулевого элемента. Пусть для матриц порядка n 1 теорема доказана, и в этом предположении докажем еѐ для матриц порядка

Теорема полностью доказана.

Ясно, что то же условие det A 0 является необходимым и достаточным для линейной зависимости столбцов матрицы. Отсюда непосредственно следует, что верна следующая теорема.

Теорема 5. Для существования нетривиальных решений системы n линейных однородных уравнений с n неизвестными не только необходимо, но и достаточно, чтобы определитель матрицы коэффициентов системы был равен нулю.

Напомним, что необходимость была установлена выше как следствие из теоремы Крамера. Достаточность следует из того, что отыскание нетривиального решения системы

a11x1 a12 x2 ... a1n xn 0, a21x1 a22 x2 ... a2n xn 0,

..........................................

an1x1 an2 x2 ... ann xn 0

равносильно отысканию коэффициентов x1, x2 ,..., xn линейной зависимости столбцов

матрицы коэффициентов системы.

8. Ранг матрицы в терминах определителей.

Напомним, что если в некоторой матрице выбрать несколько строк и несколько столбцов, то элементы, находящиеся в пересечениях выбранных строк и столбцов, составляют матрицу, называют субматрицей (подматрицей) для исходной. Определители квадратных субматриц носят название миноров исходной матрицы.

Теорема 6. Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличных от нуля миноров.

Доказательство. Пусть ранг исходной матрицы A равен k. Тогда в любом миноре порядка k 1 и выше (если их можно составить) будут линейно зависимые строки (предложение 3). И все такие миноры равны нулю. Далее, в матрице A имеется базисная совокупность из k строк и базисная совокупность из k столбцов. Рассмотрим субматрицу A , образованную общими элементами этих строк и столбцов. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что субматрица A расположена в левом верхнем углу исходной матрицы (т.е. базисными совокупностями строк и столбцов являются первые k строк и первые k столбцов; этого всегда можно добиться соответствующей перестановкой строк и столбцов). Рассмотрим в нашем предположении матрицу A , состоящую из

первых k линейно независимых столбцов матрицы A. Все строки матрицы A будут линейными комбинациями еѐ первых k строк (предложение 3). Поэтому, если первые k

строк матрицы A (строки субматрицы A ) будут линейно зависимыми, то будут линейно

9. Определение ранга матрицы при помощи элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями совокупности строк u1,u2 ,...,um называются

преобразования трех видов: перестановки строк местами, умножение строки на отличное от нуля число, прибавление к строке строки, пропорциональной другой строке. Очевидно, что при каждом из этих преобразований совокупность строк превращаются в линейно эквивалентную совокупность v1, v2 ,..., vm . Действительно, для первых двух преобразований