hitrov-1st-semester / Paragraf_1

§1. Элементы комбинаторики.

Что отличает университет от школы? На этот вопрос можно ответить двояко – либо пуститься в длинные рассуждения, пытаясь описать неизвестное для слушателей и читателей, либо просто предложить вначале просто поучиться, «пожить» в университете. Первый вариант чреват разочарованиями, если в будущем определение университета не совпадет с полученными в результате ответа восторженными ожиданиями. Второй вариант – грозит бессмысленными блужданиями. Мы же, исходя из того, что университет, как следующая после школы ступень получения знаний, уже выбран студентом, постараемся сосредоточиться на самом подходе получения новых знаний в университете. Мы постараемся показать это на простом примере из школьной алгебры, подчеркивая тем самым преемственность школьных знаний и тех знаний, которые он будет получать в университете.

Рассмотрим известные со школы формулы квадрата и куба бинома (двучлена):

(a b)2 a2 2ab b2 и (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 .

Ясно, что (a b)3 (a b)2 (a b) и что квадрат и куб бинома есть частные случаи n-ой степени бинома (a b)n при n 2 и n 3 . Постараемся найти выражение (формулу) для

разложения n-ой степени бинома при произвольном натуральном n в ряд (правая часть в формуле). Для этого мы должны выявить закономерность получения произвольной степени бинома, изучить эту закономерность и записать её. Как и полагается в этом случае, начнем со следующего шага, перед которым остановилась школа, т.е. с

вычисления (a b)4 . Справедливости ради отметим, что школьных знаний хватает, чтобы вычислить, например, (a b)10 , нужно только набраться терпения. Цель, которую мы себе

ставим в рамках данного примера, - научиться выписывать разложение в ряд n-ой степени бинома для произвольного n, т.е. для всех n.

Итак, рассмотрим

(a b)4 (a b)2 (a b)2 (a b)3 (a b) (a3 3a2b 3ab2 b3 )(a b)

a4 3a3b 3a2b2 ab3 a3b 3a2b2 3ab3 b4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4

Проанализируем полученный результат. Во-первых, мы стали вычислять искомое разложение исходя из произведения (a b)3 (a b) , а не из произведения (a b)2 (a b)2 .

Во втором случае, мы получили бы 9 слагаемых, а в нашем 8, после приведения подобных членов среди которых, и получается искомое разложение. То есть мы выбрали оптимальный вариант. Во-вторых, глядя на полученный результат, мы можем сделать

получить коэффициент при a4b0 мы не должны брать из выписанных справа двучленов в качестве сомножителя b. Это можно сделать единственным способом, выбрав из каждого

двучлена a. Значит коэффициент при a4b0 равен 1. Теперь посмотрим, сколькими

способами мы можем получить произведение a3b . Нетрудно видеть, что это можно сделать четырьмя способами: выбирая последовательно из одного из двучленов b, а из

остальных двучленов a. Значит коэффициент при a3b равен 4.

Произведение a2b2 мы можем получить уже шестью способами: выбирая b из первого и второго двучленов, затем из первого и третьего, затем из первого и четвертого, далее из второго и третьего, второго и четвертого и, наконец, из третьего и четвертого.

Понятно, что, выбрав два двучлена, из которых выбираем b, мы из оставшихся двучленов выбирали a. Значит коэффициент при a2b2 равен 6.

Произведение ab3 и a0b4 мы можем получить четырьмя и одним способом соответственно (в соответствующих рассуждениях выше достаточно поменять местами b и a). Следовательно, соответствующие коэффициенты будут 4 и 1.

Мы можем обобщить наш способ вычисления коэффициентов разложения бинома, если научимся подсчитывать, сколькими способами мы из n элементов (двучленов) можем выбирать k элементов (двучленов). Таким образом, чтобы научиться считать нужные нам коэффициенты, мы должны рассмотреть некую теорию выборок. К изложению этой теории, имеющей большое самостоятельное значение, мы и приступим. При этом мы будем использовать уже сложившуюся терминологию и благодарить судьбу за то, что всё уже до нас сделали.

1. Размещения, перестановки, сочетания.

Определение 1. Размещениями из n элементов по k называются упорядоченные выборки по k элементов из n элементов.

Пример. Пусть даны четыре элемента – a, b , c и d. Выпишем все размещения из

(различным цветом выделены группы, состоящие из одних и тех же элементов). Подсчитаем число различных размещений из n элементов по k элементов. Так как

первый элемент можно выбрать n различными способами, второй, после того как первый выбран, можно выбрать n-1 числом способов и т.д., k-ый элемент, после того как выбраны предыдущие, можно выбрать n-(k-1) числом способов, то искомое число, если его

Определение 2. Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов.

В таблице (1) одинаковым цветом выделены перестановки из трех элементов.

Число различных перестановок из n элементов очевидно равно

Ann n (n 1) ... 2 1 n! (читается: n факториал).

Определение 3. Сочетаниями из n элементов по k называются неупорядоченные выборки по k элементов из n элементов.

Два сочетания различны, если они отличаются, по крайней мере, одним элементом. В таблице (1) размещения, выделенные разным цветом, соответствуют разным

сочетаниям, выделенные одним цветом, соответствуют одному и тому же сочетанию.

Все множество Ank размещений из n элементов по k элементов можно разбить на

группы, так что все члены группы будут состоять из одних и тех же элементов. Каждая такая группа будет состоять из k! размещений, различающихся лишь порядком элементов, но не самими элементами. Каждой такой группе будет соответствовать одна и та же неупорядоченная выборка или сочетание. Если обозначить число сочетаний из n

элементов по k через Cnk , то

Формула (3) верна для 1 k n . Если положить по определению, что 0! 1, то эту формулу можно переписать в виде