Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

hitrov-1st-semester / Paragraf_17

.pdf

Скачиваний:

109

Добавлен:

16.04.2015

Размер:

446.11 Кб

Скачать

☆

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ § 17. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду

линейной подстановкой букв.

1. Определение и матричная запись квадратичной формы. Квадратичной формой называется выражение вида

f (x1, x2 ,..., xn )	cij xi xj ,	(*)
	1 i j n

где x1, x2 ,..., xn - буквы, а cij - коэффициенты квадратичной формы из некоторого поля

(или ассоциативного коммутативного кольца, но мы ограничимся только полем). Такую запись квадратичной формы будем называть общей. Будем считать, что буквы в этом выражении перестановочны с коэффициентами и между собой.

Замечание. Конкретика в это определение вносится тем, что мы говорим не просто «выражение», а «выражение вида» и указываем этот вид записью, которую можем прочитать. Позже, когда мы познакомимся с многочленами и, более конкретно, с многочленами от нескольких букв (переменных), мы будем определять квадратичную форму как «однородный многочлен второй степени от нескольких переменных». Ограничиваясь временно исходным определением, мы подчеркиваем тем самым, что пока мы не познакомимся с многочленами, мы не будем затрагивать эту сторону рассматриваемого класса математических объектов – квадратичных форм. Изучение же этого класса математических объектов важно для нас тем, что он нашел широкое применение в теории математического управления в частности и в математике вообще. На вопрос, почему же мы начинаем знакомство с квадратичными формами до изучения теории многочленов, отвечает сам вид квадратичной формы – коэффициенты формы снабжены двумя индексами – следовательно, квадратичную форму можно записать в матричном виде. Таким образом, изучая квадратичные формы, мы продолжаем изучение свойств матриц и матричных преобразований. Отметим также, что в основном в практике нашли применения квадратичные формы с вещественными и комплексными коэффициентами. Поскольку поля по модулю 2 и модулю 3 находят все более широкое применение в теории графов (теории, имеющей большое прикладное значение), мы при изучении квадратичных форм будем иногда также рассматривать примеры форм с коэффициентами из этих полей.

Покажем, что выражение (*) можно записать в матричном виде. Для этого обозначим через X столбец, у которого компонентами будут x1, x2 ,..., xn , т.е. положим

X (x , x ,..., x )T . Поскольку в записи			квадратичной формы в виде (*) всего				n(n 1)
X (x , x ,..., x )T . Поскольку в записи			квадратичной формы в виде (*) всего
1 2	n					2
						2
коэффициентов,		то положим c 0 при	n i j 1, т.е. добавим ещё		n(n 1)	нулевых
коэффициентов,		то положим c 0 при	n i j 1, т.е. добавим ещё			нулевых
		ij		2
				2
коэффициентов.		Теперь коэффициентов	c	стало n2 , и мы из них можем построить
			ij

c11

квадратную матрицу C порядка n: C

...

(*) примет вид: f ( X ) X T CX x1 x2 ...

c12 ...

c22 ...

... ...

0 ...

c11

0 x

n ...

c1n
c
2n	. В этих обозначениях выражение
...

cnn
c12	...	c1n x1
c	...	c	x	cij xi x j .
22	...	2n 2		cij xi x j .
...	...	...		1 i j n
				1 i j n

0	...	cnn xn

Если в поле, из которого берутся коэффициенты формы, выполнимо деление на 2, то удобнее каждый недиагональный коэффициент разделить на 2 и записать два раза, при произведениях букв в обоих порядках. Запись формы примет вид:

n	n
f (x1, x2 ,..., xn ) aij xi x j ,		(**)
i 1	j 1

причем, здесь уже aij aji и матрица A коэффициентов формы будет обладать свойством

A AT (A симметричная матрица). Запись квадратичной формы в виде (**) называется правильной. Матрицу коэффициентов квадратичной формы при её правильной записи, т.е. матрицу A, обычно и называют матрицей квадратичной формы. Выражение (**) в матричном виде будет следующим:

	a	a	...	a	x
f ( X ) X T AX x1	11	12	...	1n 1					aij aji или
f ( X ) X T AX x1	x2 ... xn a21	a22	...	a2n x2		aij xi x j , где			aij aji или
							n	n
	... ...		...	...			i 1	j 1
							i 1	j 1

	an1	an2	...	ann xn

A AT .

Заметим, что в поле по модулю 2 деление на два невыполнимо, т.е. нельзя каждый элемент поля представить в виде суммы двух одинаковых слагаемых. Действительно, в этом поле только два элемента: 0 и 1. Если ноль можно представить в виде 0 0 0 , то 1 в виде двух одинаковых слагаемых в этом поле уже не представить. Значит, в поле по

модулю 2 правильной записи квадратичной формы не существует.
	В поле по модулю 3 - всего три элемента (класса) 0, 1, и -1 (мы опускаем черточку
при	обозначениях						классов).								Из						таблицы								сложения					классов				следует, что				0 0 0 ,
1 ( 1) ( 1) ,					1 1 1 . Таким образом,																					в поле по модулю 3												существует правильная
запись квадратичной формы.
	Пример. Покажем, как из общей записи формы получается правильная. Пусть
квадратичная форма в общей записи имеет вид:
																	1						1			1 x1
	f (x , x , x ) x x												x							0		1			1 x							x 2 x x x x x 2								x x x		2
			1	2	3		1					2	3																	2			1	1 2			1 3		2	2 3	3
																				0			0		1 x
																														3
	Рассмотрим правильную запись этой формы для двух вариантов полей: для поля
рациональных чисел и для поля по модулю 3:
																		1					1				1

																							2			2				x1
																							2			2				x1
	f (x , x , x )						x x						x					1					1					1		x			x 2		1	x x		1	x x
	f (x , x , x )						x x						x										1							x			x 2			x x			x x
			1	2	3		1				2		3					2								2					2		1	2			1 2	2	1 3
																		2								2				x				2				2
																			1					1		1					3
																										1
																							2
																2							2
		1	x x x 2					1	x x				1	x x								1	x x x						2 ,
			x x x 2						x x					x x									x x x						2 ,
		2	2	1	2		2			2	3		2			3		1			2		3		2	3
											1				1 1 x1
f (x , x , x )				x x				x				1			1						1		x			x 2					x x x x x x x 2 x x x x x x x 2 .
1	2	3			1	2	3																		2					1			1 2	1 3			2 1		2	2 3	3 1 3 2 3
												1				1					1 x
																									3

2. Линейное преобразование переменных в квадратичной форме.

Пусть	в	квадратичной форме	f (X ) X T AX делается линейное преобразование
переменных	с	невырожденной матрицей:		X BY .	Тогда квадратичная	форма
преобразуется в квадратичную форму от букв				y1, y2 ,..., yn	(компонент столбца Y), именно,
в f (Y ) Y T BT ABY Y T (BT AB)Y . Покажем, что форма					f (Y ) автоматически получилась
1					1
правильно записанной. Для этого достаточно убедиться в том, что матрица						BT AB
симметрична,	что легко проверяется:		(BT AB)T BT AT BT T BT AB . Факт сохранения

правильной записи формы при линейных преобразованиях переменной послужил основанием для того, чтобы считать её основным видом записи квадратичной формы, и заодно дал повод отыскания таких невырожденных линейных преобразований, при которых правильная запись имеет максимально простой (или, как говорят, канонический) вид. Невырожденность же преобразований важна потому, что позволяет всегда вернуться к первоначальным переменным. В ближайших разделах мы сосредоточимся на квадратичных формах с вещественными коэффициентами.

3. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду.

Теорема 1. Для любой квадратичной формы с вещественными коэффициентами можно сделать линейное преобразование переменных с невырожденной матрицей так, чтобы матрица преобразованной формы имела диагональный вид, т.е. чтобы преобразованная форма состояла только из квадратов переменных с некоторыми коэффициентами.

Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, если её матрица диагональна.

Предпошлем доказательству этой теоремы две леммы о вспомогательных преобразованиях и отметим, что мы будем пользоваться развернутыми записями, как преобразований, так и квадратичной формы (для наглядности).

Лемма 1. Если коэффициент a11 при квадрате x12 первой переменной равен нулю,

но хотя бы один квадрат входит с ненулевым коэффициентом, то можно сделать линейное преобразование с невырожденной матрицей, после которого коэффициент при квадрате новой первой переменной будет отличен от нуля.

Действительно, пусть akk 0 , Сделаем преобразование переменных:

x1 yk , x2 y2 , …, xk y1 , … , xn yn ,

т.е. примем исходные переменные за новые, изменив их нумерацию. Ясно, что это невырожденное преобразование дает требуемый эффект.

Лемма 2. Если все коэффициенты при квадратах равны нулю, но хотя бы один коэффициент формы отличен от нуля, то можно сделать невырожденное линейное преобразование переменных так, что после него коэффициент при квадрате одной из новых переменных окажется отличным от нуля.

Действительно, пусть a11 a22 ... ann 0 , но aik 0 . Сделаем преобразование

x1 y1 , … , xi yi yk , …, xk yk , … , xn yn .

Это невырожденное преобразование, так как оно, очевидно, обратимо. Подсчитаем

коэффициент при y 2 . Переменная

входит только в x

и x

, поэтому

y 2

может

появиться только из членов

a x 2 ,

2 и

x x

квадратичной формы. Первые два

ii i

равны нулю. Третий преобразуется в

( y y ) y

так что коэффициент при

y 2

равен

2aik 0 .

Сделав ещё преобразование первого типа, добьемся того, чтобы коэффициент в позиции (1,1) был отличен от нуля.

Доказательство теоремы. Применим метод математической индукции по числу n переменных. При n 1 , форма равна a11x12 , так что доказывать нечего. Допустим, что для формы от числа переменных, меньшего чем n, теорема доказана. Пусть

f (x , x ,..., x ) a x 2			a	x x	...	a x x
1 2	n	11 1	12 1 2			1n 1 n
		a x x a x			2 ...	a x x
		21 2	1	22 2		2n 2	n
		................................................
		a x x a x x				... a x	2 .
		n1 n	1	n2 n 2		nn n

Если все коэффициенты равны нулю, то форма равна нулю и доказывать нечего. Пусть хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Без нарушения общности можно считать, что a11 0 , ибо если a11 0 , то можно сделать вспомогательные преобразования,

после которых коэффициент в позиции (1,1) станет отличным от нуля.

Соединим вместе все слагаемые, содержащие x1 , и вынесем из них a11 за скобку. Получим

f (x , x ,..., x ) a

(x 2

2a12

x x

...

2a1n

x x )

1 2

a11

x 2

...

x x

...............................

x x ...

x 2 .

Выделим теперь в первой скобке квадрат линейной формы. Получим

f (x1, x2 ,..., xn ) a11		a	x2 ...	a	2
	x1	12		1n	xn
		a11		a11

a11		a	x2 ...	a	2	(x2 ,..., xn ).
	x1	12		1n	xn
		a11		a11

a11	a		x2 ...	a
		12		1n	xn

	a11			a11

Здесь через (x2 ,..., xn ) обозначена квадратичная форма от переменных Теперь сделаем преобразование

x	a12	x	...	a1n	x	y ,
x		x	...		x	y ,
1	a11	2			n	1
	a11			a11
		x2				y2 ,
			........................

xn yn ,

Или, что то же самое,

x y	a12	y		...	a1n	y	,
			2
1 1	a11					n
					a11

a22 x22 ...

x2 ,..., xn .

		x2	y2 ,
		.............................
		xn			yn .
Это		невырожденное		преобразование, после которого форма превратится в
a	y 2	( y ,..., y ) . Форма ( y ,..., y )				зависит от n 1 переменной. В силу индуктивного
11	1	2	n	2	n

предположения существует невырожденное линейное преобразование

y2 b22 z2	... b2n zn ,
............................
yn bn2 z2 ...	bnn zn ,,

после которого получится:

( y2 ,..., yn ) 2 z22 ... n zn2 .

Добавим к преобразованию ещё одну строку: y1 z1 ,

y2 b22 z2 ... b2n zn ,

............................

yn bn2 z2 ... bnn zn .

Это преобразование, очевидно, невырожденно, и после его применения форма f (x1, x2 ,..., xn ) a11 y12 ( y2 ,..., yn )

примет канонический вид:

a11z12 2 z22 ... n zn2 .

Несколько невырожденных линейных преобразований можно заменить одним невырожденным, ибо композиции (последовательному выполнению) преобразований соответствует умножение матриц, а произведение невырожденных матриц – невырожденно. Теорема доказана.

Заметим, что хотя мы теорему сформулировали для вещественных квадратичных форм и вещественных преобразований – именно этот случай наиболее интересен для приложений – теорема остается верной для квадратичных форм с коэффициентами из любого поля P, характеристика которого не равна 2, при преобразованиях над тем же полем P.

Рассуждение посредством метода математической индукции есть, по существу, краткая запись единообразного процесса, состоящего в повторении индуктивного перехода. Поэтому данное доказательство дает и способ преобразования квадратичной формы к каноническому виду. Продолжим рассмотрение примера конкретной квадратичной формы из пункта 1.

				1	1		1

					2		2		x1
					2		2		x1
f (x , x , x ) x x		x		1	1			1	x	x 2	1	x x	1	x x
f (x , x , x ) x x		x			1				x	x 2		x x		x x
1 2 3	1 2	3		2			2		2	1	2	1 2	2	1 3
				2			2		x		2		2
				1		1	1		3
							1
					2
			2		2

12 x2 x1 x22 12 x2 x3 12 x3 x1 12 x3 x2 x32 .

Выделим полный квадрат, содержащий первую переменную x1 , и введем новые

			1	1		1
	y						x
				2	2
		1						1
переменные y1, y2 , y3 , положив:
	y2		0	1	0		x2		.
			0	0	1
	y3						x3

Выразим теперь переменные x1, x2 , x3			через переменные y1, y2 , y3 , т.е. совершим линейное
			1		1		1
	x							y
					2		2
		1							1
преобразование переменных:			0	1		0
	x2							y2		.
			0	0		1
	x3							y3

Сделаем замену переменных в квадратичной форме, получим:

															1		1				1						1		1
															1												1		1

									1		0 0							2		2				1			2	2		y1
f (x , x , x ) y					y		y			1	1 0				1		1					1		0		1		0		y
f (x , x , x ) y					y	2	y				1 0						1							0		1		0		y	2
1 2	3		1			2	3		2						2					2											2
									2						2					2				0 0				1
										1					1				1					0 0				1		y3
										1	0 1				1				1	1
											0 1									1
									2									2
									2				2					2

				1			0 0		1		0		0			y1												1 0				0			y1
																y1																			y1
y y		y			1		1 0		1			5		3		y				y			y			y		0		5				3	y		.
y y		y					1 0									y				y			y			y		0							y		.
1	2	3			2				2			4		4				2		1					2	3				4			4			2
					2				2			4		4																4			4
					1				1			3		5		y3														3			5		y3
							0 1																					0
							0 1																					0
					2			2				4		4																4			4

Выделим в новом выражении квадратичной формы полный квадрат содержащий переменную y2 , и введем очередные новые переменные z1, z2 , z3 , положив:

z			1 0			0	y				y			1 0			0		z
		1				3			1				1					3			1
	z			0	1			y		. Откуда		y			0	1				z		.
		2							2				2								2
						5												5

z3				0	0	1	y3				y3				0	0	1		z3

Квадратичная форма в новых переменных примет вид:


									1			0			0			y1
																		y1
f (x , x , x ) y						y		y			0		5			3		y
f (x , x , x ) y						y		y			0		4			4		y
1	2 3				1	2		3					4			4					2
1	2 3				1	2		3													2
													3			5		y3
											0
											0
													4			4

											1 0				0				1			0 0
				1		0 0					1 0				0				1			0 0			z
													5			3							3		z		1
z	z		z		0	1 0					0		5			3				0		1	3
z	z		z		0	1 0					0									0		1
1		2	3										4				4						5				2
							3
				0			3	1					3			5				0		0 1			z3
				0				1					3			5				0		0 1			z3
						5					0
						5					0		4			4
													4			4

						0				1		0			0				z											1		0
				1		0		0											z
														5					z		1												5
z	z		z		0	1 0					0			5	0							z		z				z			0		5
z	z		z		0	1 0					0				0							z		z				z			0
1		2	3										4								2	1				2			3			4
							3						4																			4
				0			3	1					3			4			z3
				0				1			0		3			4			z3												0 0
						5
						5							4			5
													4			5


0	z1
	z1
0	z
		2

4	z3

5
5

z12 54 z22 54 z32 .

Последнее выражение дает канонический вид исходной квадратичной формы нашего примера над полем рациональных чисел.

Рассмотрим ещё один пример. Теперь рассмотрим над полем по модулю 3 квадратичную форму

			1		1	1 x1
f (x , x , x ) x x		x		1	1	1	x	x 2	x x x x x x x 2	x x x x x x x 2 .
1 2 3	1 2	3					2	1	1 2 1 3 2 1 2	2 3 3 1 3 2 3
				1
				1	1 1 x3

Как и в предыдущем примере выделим полный квадрат при переменной x1 и введем

	y1		1		1 1 x1
новые переменные y , y , y , положив	y			0	1	0	x	, Откуда получим
1 2 3		2					2
				0	0	1
	y3			0	0	1	x3

x1		1			1 1 y1
x			0		1	0	y		. Подставим это выражение в квадратичную форму нашего примера,
2								2
			0		0 1
x3			0		0 1		y3
получим:
											1		1	1 x1
f (x , x , x ) x x									x			1	1	1 x
	1	2		3		1	2			3							2
												1
												1	1 1 x3
						1 0			0 1				1	1 1				1 1 y1
y y					y	1 1			0		1		1	1		0		1 0	y
	1			2	3																2
									1		1					0		0 1
						1 0			1		1		1 1			0		0 1	y3
						1 0			0 1				0 0 y1											1		0 0 y1
y y					y	1 1			0		1		1 0	y			y y					y			0	1 0	y		y 2	y 2	y 2 .
	1			2	3										2			1		2			3					2	1	2	3
									1		1 0 1														0	0 1
						1 0			1		1 0 1			y3											0	0 1	y3

В этом примере канонический вид получился уже после первого преобразования переменных (подчеркнём, что в данном случае все действия совершались над полем по модулю 3).

4. Ранг квадратичной формы. В терминах матриц теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду означает, что для данной симметричной матрицы A существует такая невырожденная матрица B, что BT AB D , где D –

диагональная матрица. Обозначив C B1 , получим A CT DC .

Из доказательства теоремы ясно, что приведение квадратичной формы к каноническому виду может осуществляться бесконечным множеством способов – например, можно сделать произвольную линейную подстановку, а затем приступить к «выделению квадратов». Поэтому матрицы B и D определяются неоднозначно. Однако число ненулевых элементов матрицы D однозначно определено, именно, оно равно рангу матрицы A.

Для доказательства установим сначала справедливость следующих предложений.

Предложение 1. Ранг произведения двух матриц (не обязательно квадратных) не превосходит ранга каждого из сомножителей.

Доказательство. Столбцы матрицы AB являются линейными комбинациями столбцов матрицы A. Поэтому ранг AB равный максимальному числу линейно

независимых столбцов не превосходит ранга A. С другой стороны, строки AB являются линейными комбинациями строк матрицы B, поэтому ранг AB не превосходит ранга B.

Предложение 2. Если один из сомножителей есть квадратная невырожденная матрица, то ранг произведения равен рангу другого сомножителя.

Действительно, пусть C AB и B – невырожденная квадратная матрица. Тогда

ранг C не превосходит ранга A. Но A CB 1 , так что ранг A не превосходит ранга C. Следовательно, эти ранги равны. Аналогичное рассуждение применимо к случаю, если левый сомножитель есть невырожденная матрица.

Из предложения 2 непосредственно следует: если F BAC , где B и C –

невырожденные квадратные матрицы, то ранги матриц F и A совпадают.

Применяя это к матричному равенству

D BT AB ,

где B – невырожденная квадратная матрица, получим, что ранги D и A совпадают. Но ранг диагональной матрицы D, очевидно, равен числу её ненулевых элементов. Итак,

число ненулевых коэффициентов после приведения квадратичной формы к каноническому виду не зависит от способа приведения и равно рангу матрицы квадратичной формы.

5. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду посредством унитреугольного преобразования переменных. Вернемся еще раз к доказательству теоремы о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Если на каждом шагу индуктивного рассуждения «выделение квадрата» происходит без вспомогательного преобразования, то на каждом шагу матрица преобразования имеет вид правой унитреугольной матрицы. Так как произведение правых унитреугольных матриц есть, очевидно, правая унитреугольная матрица, результирующая матрица преобразования будет тоже правой унитреугольной.

Теорема 2. Для того чтобы квадратичная форма с невырожденной матрицей могла быть преобразована к каноническому виду преобразованием переменных с верхней унитреугольной матрицей, необходимо и достаточно, чтобы определители всех левых угловых субматриц её матрицы были отличны от нуля.

Доказательству этой теоремы предпошлем другую теорему, представляющую самостоятельный интерес.

Теорема 3. Для того чтобы квадратная невырожденная матрица представлялась в виде произведения левой унитреугольной, диагональной и правой унитреугольной, необходимо и достаточно, чтобы определители всех левых угловых субматриц её матрицы были отличны от нуля. Такое представление однозначно.

Доказательство. Необходимость. Пусть

a11

a12

...

a1k

...

a1n

...

... ... ... ...

...

(левая угловая субматрица), так

...

... ...

...

k 2

... ... ... ...

...

k 2

an2

...

ank

...

an1

ann

что A An . Пусть далее

1		0	...	0	...	0
										1	0	...	0
l21		1	...	0	...	0				1	0	...	0
... ... ... ...					...	...				l	1	...	0
L							,	L 21					,
	l	l	...	1	...	0		k		... ...		...	...
	l	l	...	1	...	0				... ...		...	...
	k1	k 2
					...	...
										lk1	lk 2	...	1
... ... ... ...										lk1	lk 2	...	1
		ln2	...	lnk	...	1
ln1		ln2	...	lnk	...	1
1		r	...	r	...	r
		12		1k		1n				1	r12	...	r1k
	0	1	...	r2k	...	r2n				1	r12	...	r1k
... ... ... ...					...	...				0	1	...	r
R							,	R					3k .
	0	0	...	1	...	r			k	... ...		...	...
	0	0	...	1	...	r				... ...		...	...
						kn

					...	...				0	0	...	1
... ... ... ...					...	...				0	0	...	1
	0	0	...	0	...	1
	0	0	...	0	...	1

D diag(d1, d2 ,..., dk ,..., dn ) ,

Dk diag(d1, d2 ,..., dk )

A LDR .

Тогда

det A det L det D det R d1d2...dn

и,

так

как,

det A 0

(матрица

невырожденная), должно быть di

0 ,

i 1, 2,..., n .

Легко видеть, что

Ak Lk Dk Rk ,

откуда следует, что det Ak

det Lk det Dk det Rk

d1d2...dk

0 . Необходимость доказана.

Достаточность. Предполагается, что

det Ak

для всех

k 1, 2,..., n .

Применим

метод математической индукции по субматрицам

A1, A2 ,..., Ak ,..., An A .

При

k 1

утверждение теоремы тривиально. Пусть оно верно для

Ak 1

и в этом предположении

докажем его для Ak .

Разобьём матрицу Ak

и искомые Lk ,

Rk ,

на клетки,

выделив блок Ak 1 , так что

, Dk

k 1

, Lk

k 1

akk

Здесь

u (a

,..., a

v (a

,..., a

) ,

– неизвестная строка в матрице L ,

–

k 1,k

k ,k 1

неизвестный столбец в матрице Rk , символом 0 обозначены нулевые строки и столбцы.

Пусть

Ak Lk Dk Rk .

Подставляя

сюда

выражения всех матриц

выполняя

умножение по правилу умножения блочных матриц, получим на основании равенства таких матриц:

Ak 1 Lk 1Dk 1Rk 1 ,

Lk 1Dk 1 y u , xDk 1Rk 1 v , xDk 1 y dk akk .

В силу

индуктивного предположения

Lk 1 ,

Dk 1

и Rk 1

можно считать известными,

обратимыми и определенными однозначно.

Тогда однозначно определяются y, x и dk ,

именно,

y D

1u ,

x vR

1 и

y . Остается убедиться в том,

k 1

что dk 0 , что нужно для обратимости Dk . Но

det Ak

det Dk

det Dk 1 dk

0 ,

откуда d				det Ak		0 .
откуда d		k				0 .
		k		det Dk 1
				det Dk 1
Теорема 3 доказана полностью.
Замечание. Поскольку det Dk 1 det Ak 1 , то последнюю формулу можно записать
в виде d				det Ak	0 , k 1, 2,..., n и det A 1 (формулы Якоби).
в виде d	k				0 , k 1, 2,..., n и det A 1 (формулы Якоби).
	k		0
			det Ak 1
Теперь легко доказать теорему 2. Пусть A – невырожденная матрица квадратичной
формы, допускающей унитреугольное преобразование							к	канонической форме.	Тогда
A RT DR ,			где R – правая унитреугольная матрица, RT				-	левая унитреугольная.	В силу

теоремы 3, в части необходимости, все определители верхних угловых субматриц отличны от нуля.

Обратно, если все такие определители отличны от нуля, то	A LDR (в прежних
обозначениях). Но A симметрична, так что A AT RT DLT . В	силу однозначности

разложения должно быть L RT , т.е. A RT DR , что означает, что квадратичная форма приводится к каноническому виду посредством линейного преобразования переменных с правой унитреугольной матрицей R.

Соседние файлы в папке hitrov-1st-semester

#
16.04.2015400.67 Кб110Paragraf_12.pdf
#
16.04.2015364.82 Кб110Paragraf_13.pdf
#
16.04.2015373.49 Кб112Paragraf_14.pdf
#
16.04.2015246.43 Кб109Paragraf_15.pdf
#
16.04.2015481.28 Кб109Paragraf_16.pdf
#
16.04.2015446.11 Кб109Paragraf_17.pdf
#
16.04.2015308.98 Кб109Paragraf_18.pdf
#
16.04.2015254.96 Кб109Paragraf_19.pdf
#
16.04.2015477.48 Кб108Paragraf_2.pdf
#
16.04.2015272.56 Кб109Paragraf_20.pdf
#
16.04.2015460.51 Кб109Paragraf_3.pdf