hitrov-1st-semester / Paragraf_2

§2. Некоторые обобщения школьных знаний

1. Отношение эквивалентности. Рассмотрим, какими свойствами обладает

свойство называется свойством транзитивности. Кроме того, отметим для себя, что отношение равенства чисел является бинарным отношением, т.е. отношением между двумя элементами (числами).

Обобщим теперь эти знания. Вместо множества чисел будем рассматривать произвольное множество M. То, что множество M состоит из элементов a, b, c и т.д., будем записывать как M {a,b, c,...}. То, что элемент a взят из множества M будем

записывать, как a M (a принадлежит M). То, что два элемента a и b связаны бинарным отношением R будем записывать как aRb.

Определение 1. Бинарное отношение R, заданное на множестве M, называется

отношением эквивалентности, если R обладает свойствами:

a)aRa для любого a M (рефлексивность),

b)aRb bRa (симметричность),

c)aRb, bRc aRc (транзитивность).

Если бинарное отношение R является отношением эквивалентности, то в записи будем заменять R на , и запись a b будем читать как «a эквивалентно b».

Очевидно, что отношение равенства чисел является частным случаем отношения эквивалентности. В этом случае обозначение абстрактной эквивалентности заменяется обозначением конкретной эквивалентности = (равенством).

Предложение 1. Если на множестве M задано отношение эквивалентности , то все множество M разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных между собой элементов.

Доказательство. Обозначим через a множество элементов эквивалентных a. Пусть b, c a . Это значит, что b a и c a . В силу симметричности отношения эквивалентности из c a следует, что a c . Тогда из b a и a c следует, что b c , а

непересекающиеся классы эквивалентных между собой элементов.

Верно и обратное утверждение к утверждению 1. Если множество M разбито на непересекающиеся классы, то на нем всегда можно задать отношение эквивалентности таким образом, что разбиение на классы относительно этой эквивалентности будет совпадать с исходным разбиением множества. Действительно, положим, что элементы a и b эквивалентны тогда и только тогда, когда они принадлежат одному классу. Нетрудно видеть, что введѐнное таким образом бинарное отношение будет рефлексивным, симметричным и транзитивным, то есть будет отношением эквивалентности. Совпадение упомянутых разбиений очевидно.

Замечание. Обращаем внимание, что в математике под разбиением множества M на подмножества понимают выделение в множестве M подмножеств таким образом, что их объединение составляет все множество M, а пересечение любых двух различных подмножеств пусто.

2. Свойства сложения и умножения чисел. Так сложилось, что действия

«прибавить и умножить» оказались более важными в математике, да и в жизни вообще, чем действия «отнять и разделить». Например, действия сложения и умножения замкнуты на множестве положительных целых чисел, а действия вычитания и деления – нет. То есть результат сложения или умножения двух целых положительных чисел является целым

положительным числом, результат же действий вычитания или деления, вообще говоря, - нет. Действия сложения и умножения могут быть легко обобщены с двух чисел на любое число слагаемых и сомножителей, поскольку (a b) c a (b c) и (ab)c a(bc) .

Следовательно, мы можем писать просто a b c для суммы трех чисел и abc для произведения трех чисел. То есть мы в этих случаях можем опускать скобки. В то же время (5 3) 8 5 (3 8) и (15 : 5) : 3 15 : (5 : 3) , следовательно, в последних случаях

важен вариант расстановки скобок. (Напомним, что по определению (по договоренности) вначале выполняются действия указанные в скобках). Кроме того, для сложения и умножения a b b a и ab ba . Для вычитания и деления, в общем случае, a b b a

и a : b b : a .

Перечисленные выше два свойства действий сложения и умножения называются свойствами ассоциативности и коммутативности операций сложения и умножения. В силу этих свойств операции сложения и умножения «проще» обратных к ним операций вычитания и деления. Тем не менее, важность операций вычитания и деления очевидна, и потому спрашивается, можно ли обойтись только операциями сложения и умножения? Или, ставя вопрос по-другому, можно ли выразить операции вычитания и деления через сложение и умножение соответственно? Оказывается можно, если требование выполнимости операции вычитания заменить требованием существования для любого числа симметричного (противоположного) относительно нейтрального элемента операции

(обратного) относительно нейтрального элемента операции умножения – единицы. В этом случае операция вычитания заменяется операцией сложения уменьшаемого числа и противоположного числа к вычитаемому. Аналогично, операция деления заменяется операцией умножения делимого на обратное к делителю. Обратим также внимание на то что нам пришлось констатировать в множестве чисел существование нуля и единицы – нейтральных элементов относительно операций сложения и умножения соответственно. Именно через эти элементы мы и определяли фактически симметричные по отношению к ним противоположные и обратные числа.

Для полноты перечисленных свойств сложения и умножения чисел, отметим, что сложение и умножение связаны свойством дистрибутивности, т.е. (a b)c ac bc .

Рассматривая свойства операций сложения и умножения чисел, мы столкнулись с тем, что не для всяких множеств чисел выполнены все перечисленные свойства указанных операций. Так множество положительных целых чисел (множество натуральных чисел, обычно обозначаемое через N) замкнуто относительно операций сложения и умножения, т.е. результат действия над двумя натуральными числами является натуральным числом. Однако в этом множестве не существует нуля. Не существует также противоположных и обратных элементов. То есть на этом множестве не определены обратные операции к операциям сложения и умножения – операции вычитания и деления.

Множество целых положительных чисел, нуля и отрицательных целых чисел, обычно обозначаемое через Z, «богаче» множества натуральных чисел N. Это множество, как и предыдущее, замкнуто относительно операций сложения и умножения. В множестве Z для любого a Z существует противоположное число ( a) Z такое, что a ( a) 0 .

Но в Z только для двух чисел 1 и (-1) существуют обратные числа. Таковыми являются сами эти числа. Действительно, 1 1 1 и ( 1) ( 1) 1.

В свою очередь множество рациональных чисел, обычно обозначаемое через Q, богаче, чем Z. Действительно, Q замкнуто относительно операций сложения и умножения рациональных чисел; для каждого a Q существует ( a) Q такое, что a ( a) 0 ; для

каждого a Q , отличного от нуля, существует a 1 (обратное число) такое, что aa 1 1.

Множество вещественных (или, иначе, действительных) чисел, обычно

сложения и умножения своих элементов обладают различным набором свойств (первые три множества) и одинаковым набором свойств – последние два множества, т.е. указанные множества обладают или различными или одинаковыми структурами относительно указанных операций. Закрепим сказанное относительно структур через определение.

Определение 2. Множество с заданной совокупностью замкнутых на нѐм операций, с фиксированным набором свойств, называется алгебраической структурой.

В этом определении главным является совокупность операций и набор свойств операций этой совокупности. Мы будем говорить, что различные множества имеют одинаковую структуру, если по отношению к одной и той же совокупности операций они обладают одним и тем же набором свойств. Отметим также, что операции замкнутые на некотором множестве называются алгебраическими.

Со школы известно, что в разделе математики, называемом алгеброй, много внимания уделяется решению уравнений. Свяжем теперь решение уравнений с алгебраическими структурами. Рассмотрим уравнение a x b , где a и b принадлежат N, т.е. являются натуральными числами. Это уравнение разрешимо в указанных условиях, только если a b . Чтобы это уравнение было однозначно разрешимо всегда, пришлось «расширить» структуру натуральных чисел N до структуры множества целых чисел Z. Чтобы всегда однозначно было разрешимо уравнение ax b (a 0) , пришлось расширить

структуру множества Z до структуры Q. Как мы отметили выше, относительно операций сложения и умножения, множества Q и R имеют одинаковую структуру. Однако эти

множества различаются по отношению, например, к такому уравнению, как x2 2 0 : в рациональных числах это уравнение не разрешимо, а в вещественных числах – разрешимо. Дальнейшее расширение множества вещественных чисел R, до множества

комплексных чисел позволило разрешить, например, такое уравнение, как x2 1 0 , которое неразрешимо в вещественных числах и разрешимо в комплексных.

3. Определения и примеры алгебраических структур.

Сведений приведенных относительно алгебраических структур и решения уравнений достаточно чтобы сформулировать, чем же занимается алгебра, как раздел единой науки математики.

Определение 3. Алгеброй называется раздел единой науки математики, где изучаются алгебраические структуры и решения уравнений.

Приведем теперь примеры алгебраических структур, по сути, известных со школы. То есть закрепим школьные знания тем, что дадим названия этим структурам.

Определение 4. Полем называется множество (для определенности будем обозначать его P) с двумя бинарными алгебраическими операциями - сложением и умножением, относительно которых выполняются следующие свойства.

Для любых a,b, c P :

1. (a b) c a (b c) (ассоциативность сложения).

2. 0 P a 0 a (существование в P нулевого элемента).

3. a a P a ( a) 0 (существование противоположного элемента).

4.a b b a (коммутативность сложения).

5.(ab)c a(bc) (ассоциативность умножения).

6.1 P, a 1 a (существование единичного элемента).

7. a , a 0 , a 1 P aa 1 1 (существование обратного элемента).

8.ab ba (коммутативность умножения).

9.(a b)c ac bc (свойство дистрибутивности).

Выведем простейшие следствия, вытекающие из перечисленных свойств.

Следствие 1. Если a x a y , то x y .

Следствие 2. При данных a и b уравнение a x b имеет единственное решение

a 0 0 a 0 .

Из приведенного определения поля и перечисленных следствий видно, что в него вошли все свойства сложения и умножения вещественных и рациональных чисел. Также видно, что известные со школы множества рациональных и вещественных чисел относительно операций сложения и умножения чисел образуют структуру поля.

Следующая структура (кольцо), которой мы дадим определение - это структура, которую имеют целые числа. Однако в еѐ определение мы не будем включать все свойства умножения, которыми обладает умножение целых чисел.

Определение 5. Кольцом называется множество (для определенности будем обозначать его K) с двумя бинарными алгебраическими операциями сложением и умножением, относительно которых выполняются следующие свойства.

Для любых a,b, c K :

1. (a b) c a (b c) (ассоциативность сложения).

2. 0 K a 0 a (существование в K нулевого элемента).

3. a a K a ( a) 0 (существование противоположного элемента).

4.a b b a (коммутативность сложения).

5.(a b)c ac bc (правое свойство дистрибутивности).

6.a(b c) ab ac (левое свойство дистрибутивности)

Дело в том, что мы не включили в определение кольца такие свойства умножения целых чисел, как ассоциативность, существование единичного элемента, коммутативность. Это связано с тем, что уже в курсе геометрии студенты знакомятся с множеством трехмерных векторов с операцией сложения векторов и операцией векторного умножения векторов. Причем операция векторного умножения не ассоциативна, не коммутативна, в множестве трехмерных векторов нет единицы относительно векторного умножения. Множество трехмерных векторов с указанными операциями сложения и умножения векторов в силу данного определения является кольцом.

Чтобы подчеркнуть особенность кольца целых чисел относительно данного определения, говорят, что кольцо целых чисел является ассоциативно коммутативным кольцом с единицей. Заметим также, что поскольку в определение кольца не включается требование коммутативности умножения, приходится в него включать два свойства дистрибутивности.

Следующая структура, определение которой мы здесь дадим, является структурой, подчеркивающей аналогию операций сложения и умножения чисел.

Определение 6. Группой называется множество (будем обозначать его G) с бинарной алгебраической операцией , которая удовлетворяет следующим свойствам.

Для любых a,b, c G :

1.(a b) c a (b c) (бинарная операция ассоциативна).

2.В множестве G существует нейтральный элемент e такой, что a e a .

3.Для любого a в G существует симметричный к a элемент a такой, что a a e Если, кроме того, выполняется

4.a b b a (бинарная операция коммутативна),

то группа называется коммутативной или абелевой (в честь норвежского математика Абеля).

Если, вместо некой абстрактной бинарной операции , в определении группы используется привычная операция сложения +, то говорят об аддитивном представлении группы. В этом случае нейтральный элемент называют нулем, а симметричный - противоположным. Если же в определении группы, в качестве бинарной операции, используется умножение, то говорят о мультипликативном представлении группы, и нейтральный элемент в этом случае называют единицей, а симметричный - обратным.

Используя определение группы, переформулируем определения поля и кольца. Определение 4’. Полем называется множество с двумя бинарными

алгебраическими операциями - сложением и умножением, которое является коммутативной группой относительно операции сложения, а без нуля - коммутативной группой относительно умножения, причем сложение и умножение связаны свойством дистрибутивности.

Определение 5’. Кольцом называется коммутативная группа относительно сложения, для которой определена алгебраическая операция умножения элементов, и умножение связано со сложением правым и левым свойствами дистрибутивности.

Как видим, группа является фундаментальной структурой в том смысле, что она входит в определение двух других выделенных нами структур. Поэтому свойства, доказанные для группы, будут выполняться и как соответствующие свойства кольца и поля.

Теорема 1. Нейтральный и симметричный элементы в коммутативной группе единственны.

Доказательство от противного. Пусть e , наряду с e, нейтральный элемент группы G. Из определения нейтрального элемента группы (свойство 2) и предположения относительно e следует: e e e и e e e . В силу свойства 4 (предположение о коммутативности группы) левые части выписанных равенств равны, следовательно, равны и правые части равенств, т.е. e e . Единственность нейтрального элемента в коммутативной группе доказана.

Докажем теперь единственность симметричного элемента в коммутативной группе. Пусть a , наряду с a , симметричный относительно a элемент. Тогда (свойство 3) a a e , откуда (по свойству 4) a a e . Применяя справа к последнему равенству

операцию с элементом a и, учитывая ассоциативность и коммутативность этой операции, получим: (a a) a e a a (a a ) e a a e e a a a . Тем

самым единственность симметричного элемента в коммутативной группе доказана. Исходя из теоремы, мы можем утверждать, что нуль и противоположные элементы

в кольце и поле единственны, равно как и единица и обратный элемент в поле. Обобщим предыдущую теорему.

Теорема 2. Нейтральный и симметричный элементы в группе единственны. Прежде чем приступить к доказательству этой теоремы, отметим, что при

доказательстве предыдущей теоремы, мы лишь частично использовали свойство коммутативности (перестановочности) операции . Мы использовали лишь то, что для любого элемента a имеем: a e e a (правый нейтральный элемент является и левым

нейтральным элементом) и a a a a (правый симметричный элемент является и левым симметричным элементом). Покажем, что последние два равенства следуют из аксиом группы.

a a a a a ((a a ) a) (a a ) ((a a ) a) e (a a ) a e a , с другой стороны, что a a a a a a (a (a a )) a a (a e) a a a a a (a a ) a e a .

Следовательно, e a a для любого a, т.е. правый нейтральный элемент является и левым нейтральным элементом.

Докажем теперь, что правый симметричный элемент a к a является и левым симметричным элементом. Для этого рассмотрим элемент группы a a a a . С одной

симметричный элемент a к a является и левым симметричным элементом. Единственность нейтрального и симметричного элементов теперь следует из

предыдущей теоремы.

Доказанные теоремы показывают, что при перечислении свойств операций (аксиом), входящих в определение структур, нейтральные элементы (ноль и единица) и симметричные элементы (противоположные и обратные) можно записывать как справа, так и слева. Здесь они записывались справа, хотя в большинстве учебников они записываются слева.

Завершим наш обзор алгебраических структур определением алгебраической структуры, с которой знакомятся ещѐ в начальных классах школы, когда обучаются счету. Здесь имеется в виду алгебраическая структура множества натуральных (целых положительных) чисел с бинарной операцией сложения. Здесь еще нет нуля (нейтрального элемента относительно сложения) и соответственно нет симметричных (противоположных) относительно нуля элементов. Однако уже в начальных классах на практике подчеркивается ассоциативность операции сложения натуральных чисел. Ребенку показывается, что результат пересчета предметов не зависит от того, как он пересчитывает предметы – последовательно, или разложит случайным образом исходное множество на кучки (подмножества) и будет производить пересчет в каждой кучке отдельно, а затем сложит полученные результаты. Более того, результат не будет зависеть от того, если к пересчету предметов в кучках он привлечет других детей (при условии, конечно, что пересчет производится безошибочно).

Определение 7. Множество M, с определенной на нем бинарной алгебраической операцией , называется полугруппой, если эта операция ассоциативна, т.е. для любых элементов a,b, c M :

(a b) c a (b c) .

В этом определении не вызывает вопросов обозначение бинарной операции звездочкой, а не крестиком, например, поскольку мы знаем, что ассоциативной операцией может быть не только сложение. Вопрос может вызвать - почему мы ограничиваемся только тремя элементами и их произвольностью. Здесь следует отметить, что кроме сказанного всегда подразумевается ещѐ что-то само собой разумеющееся. В данном случае подразумевается метод математической индукции, позволяющий обобщить сказанное на любое число элементов. Поясним это. Чтобы быть более конкретными, рассмотрим бинарную операцию сложения натуральных чисел. Мы уже отметили выше, что результат (сумма) от сложения нескольких чисел не зависит от способа сложения – производим ли мы сложение некоторого множества чисел последовательно или разбиваем, для вычисления суммы, это множество на подмножества. Математики для последовательного сложения даже используют специальный знак Σ (сигма – заглавная

Исходя из определения полугруппы, мы можем получить другое определение группы.

Определение 6’. Группой называется полугруппа, в которой существуют нейтральный элемент, и для каждого элемента полугруппы существует симметричный ему элемент.

Замечание. В процессе решения задач лучше использовать определения структур, даваемые через перечисление аксиом (свойств).

4. Классы чисел по модулю два, три, четыре и действия с ними. В этом разделе

(пункте) мы будем рассматривать множество целых чисел Z и, известную со школы, операцию деления одного целого числа на другое с остатком. При этом в качестве делимого мы будем рассматривать произвольные целые (положительные и отрицательные) числа, а в качестве делителей фиксированные положительные целые числа: два, три, или четыре. Фиксированный делитель мы будем называть модулем.

Напомним, что деление целого числа a на целое положительное число b с остатком означает представление числа a в виде:

В представлении (1) число a называется делимым, b – делителем, q – частным, а число r строго меньшее числа b – остатком от деления a на b. Иногда, в случае положительного числа r, q называют – неполным частным.

Если число a представляется в виде a bq , то говорят, что a делится на b (нацело),

a кратно b.

Нетрудно показать (от противного), что представление (1) числа a при положительном делителе b единственно.

Ясно, что остатками от деления целых чисел на два будут числа 0 и 1, на три – числа 0, 1 и 2, на четыре – числа 0, 1, 2, и 3.

Введѐм понятие сравнимости целых чисел по модулю (фиксированному делителю) m. В пределах первой части курса мы в качестве m будем рассматривать числа 2, 3 и 4.

Определение 8. Целые числа a и b будем называть сравнимыми по модулю m, если они при делении на m дают одинаковые остатки.

Если числа a и b сравнимы по модулю m, то это записывают так: a b(mod m)

(читается: a сравнимо с b по модулю m).

Предложение 2. a b(mod m) тогда и только тогда, когда разность a b

делится на m. (Для того чтобы a и b были сравнимы по модулю m необходимо и достаточно, чтобы их разность делилась на m).

Доказательство. Необходимость. Пусть a b(mod m) . Это означает, что a mq1 r и b mq2 r , т.е. a и b при делении на m имеют один и тот же остаток r.

q2 q1 t . Из представлений для a и b следует, что они, при делении на m, имеют один и тот же остаток r, т.е. a b(mod m) . Таким образом, достаточность, а, следовательно, и всѐ

Предложение 2 доказаны.

Из Предложения 2 легко следует

Предложение 3. Бинарное отношение сравнимости по модулю m является отношением эквивалентности.

Доказательство. Действительно, разность a a , т.е. ноль, делится на m, таким образом, выполнено свойство рефлексивности отношения для любого целого числа. Из

делимости разности a b на m следует делимость разности b a на m, т.е. отношение сравнимости по модулю m симметрично. Из делимостей разностей a b и b c на m следует делимость разности a c , так как a c (a b) (b c) . То есть из a b(mod m) и b c(mod m) следует, что a c(mod m) . Таким образом, показано, что отношение

сравнимости по модулю m транзитивно, и, следовательно, с учетом доказанного выше, отношение сравнимости по модулю m является отношением эквивалентности.

Предложение 4. Множество Z целых чисел разбивается на m классов, сравнимых между собой по модулю m элементов.

Доказательство. Разложимость множества целых чисел Z на непересекающиеся классы следует из того, что отношение сравнимости по модулю m является отношением эквивалентности. Пояснения требует разве лишь то, что число таких классов равно m. Поскольку любое целое число сравнимо по модулю m с одним и только с одним из чисел

представителями этих классов. Поскольку каждый класс состоит из сравнимых между собой элементов, то в качестве представителя класса можно взять любое входящее в него число. Представитель класса называется вычетом. Если из каждого класса взять по одному представителю, то получим полную систему вычетов. Полную систему вычетов можно выбирать, задавшись каким-нибудь правилом. Например, выбирая из каждого класса минимальное неотрицательное число, входящее в него, получим полную систему наименьших неотрицательных вычетов. Числа 0,1, 2,..., m 1 и будут составлять полную

систему наименьших неотрицательных вычетов по модулю m. Если выбирать из каждого класса минимальное по абсолютной величине число, то получим полную систему минимальных по абсолютной величине вычетов.

Пример. Числа 0,1, 2 составляют полную систему наименьших неотрицательных вычетов по модулю 3. Числа 0,1, 1 составляют полную систему наименьших по

абсолютной величине вычетов по модулю 3. Ставя сверху над каждым вычетом в полной системе вычетов черточку, мы получим обозначения всех различных классов по

выбранному модулю. Так 0, 1, 2 и 0, 1, 1 разные системы обозначений всех классов по

модулю 3.

Предложение 5. На множестве классов по модулю m можно ввести операции сложения и умножения классов. По определению, суммой двух классов будет класс, в который попадает сумма вычетов классов-слагаемых. Также по определению, произведением двух классов будет класс, в который попадает произведение вычетов классов-сомножителей.

Доказательство этого предложения сводится к тому, чтобы показать, что

a1 b1 a2 b2 (mod m) и a1b1 a2b2 (mod m) . То есть, что a1 b1 и a2 b2 принадлежат одному классу. Аналогично, что a1b1 и a2b2 принадлежат одному классу.

Докажем первое сравнение, т.е. докажем, что разность (a1 b1 ) (a2 b2 ) делится на m. Поскольку (a1 b1) (a2 b2 ) (a1 a2 ) (b1 b2 ) и правая часть равенства делится на m

равенств последняя часть делится на m, значит, делится и первая часть. Это означает, что сравнение a1b1 a2b2 (mod m) верно и, следовательно, умножение классов корректно.

Предложение 5 доказано полностью.

Рассмотрим сложение и умножение классов по модулю m.

Построение таблиц сложения и умножения классов. Для модуля m построение таблиц сложения и умножения классов проводится однотипным образом. Строится квадратная таблица размерности (m 1) (m 1) (размерности m 1 на m 1), т.е. таблица,

состоящая из m 1 строк и m 1 столбцов. Строки и столбцы таблицы нумеруются числами от 0 до m. Будем считать, что в таблице на пересечении строки с номером i и столбца с номером j расположена ячейка aij ( i, j 0,1,..., m ). Двумя (горизонтальной и

вертикальной) линиями отделяем первую строку (строку с номером 0) и первый столбец (столбец с номером 0) соответственно. В результате чего вся таблица делится на четыре части. В части расположенной в левом верхнем углу (ячейке a00 ) ставится знак операции

– сложения или умножения. Остальные части первой строки и первого столбца (ячейки

ячейку aij , расположенную в части, находящейся в правом нижнем углу, ставится класс, равный сумме классов Ii I j в таблице сложения, и класс, равный произведению классов Ii I j в таблице умножения (здесь i и j пробегают значения от 1 до m). Обычно обозначение

Таблицы сложения и умножения классов по модулю 2.

Сложение и умножение классов по модулю 2 легко определить и другими словами.

Поскольку класс 0 есть множество четных чисел, а класс 1 есть множество нечетных чисел, то сложение классов есть просто формулировка правил: сумма двух чѐтных чисел есть четное число, сумма четного и нечетного (нечетного и четного) чисел есть нечетное число, сумма двух нечетных чисел есть число четное.

Аналогично интерпретируется произведение двух классов по модулю 2: произведение двух четных чисел есть число четное, произведение четного числа на нечетное (нечетного на четное) есть число четное, произведение двух нечетных чисел есть нечетное число.

Таблицы сложения и умножения классов по модулю 3.

Обратим внимание, что при построении этих таблиц мы использовали полную систему минимальных по абсолютной величине вычетов и соответствующую систему