hitrov-1st-semester / Voprosy
.pdfВопросы для подготовки к экзамену по алгебре.
1.Определения и число размещений, перестановок, сочетаний. Свойства числа сочетаний. (§1,
п.1).
2.Треугольник Паскаля. Бином Ньютона. (§1, п.2).
3.Отношение эквивалентности. Разбиение множества на подмножества. (§2, п.1).
4.Определение алгебраической структуры. Определение науки «алгебра». Определение поля и
следствия из этого определения. (§2, п. 2 и 3).
5.Определение кольца, группы, полугруппы. Теоремы 1 и 2 для групп. (§2, п. 3).
6.Определение сравнимости целых чисел по модулю m и вытекающие из этого определения свойства сравнимых чисел (Предложения 2, 3, 4 и 5). (§2, п. 4).
7.Построение таблиц сложения и умножения классов чисел по модулю 2, 3 и 4. Свойства
указанных операций. Область целостности и Предложение 6. (§2, п. 4).
8.Определения и обозначения матриц. Умножение матриц. (§3, п.1 и 2).
9.Сложение матриц и умножение матриц на числа. Свойства этих операций. Определение линейного пространства и линейной комбинации векторов (элементов линейного пространства).
(§3, п.3).
10.Свойства умножения матриц. Левая и правая единичные матрицы (§3, п.4).
11. Транспонирование матриц и свойства этой операции. (§3, п.5).
12.Квадратные матрицы. Свойства сложения и умножений квадратных матриц. Правые, левые и просто обратные матрицы. (§3, п.6).
13.Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определитель матрицы второго
порядка. Теорема и формулы Крамера. (§4, п.1).
14.Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Определитель третьего порядка. Теорема и формулы Крамера. (§4, п.2).
15.Свойства перестановок. (§5, п. 1.1).
16.Подстановки и их свойства. Определение определителя n-го порядка. (§5, п. 1.2).
17. Свойства определителя n-го порядка. Первые 8 свойств. (§6).
18.Алгебраические дополнения и миноры (свойства определителя 9 – 12). (§6).
19.Определитель треугольной матрицы. Определитель Вандермонда. (§7, п. 1 и 2).
20.Система n уравнений с n неизвестными с ненулевым определителем матрицы коэффициентов. Теорема и формулы Крамера. Следствия из теоремы Крамера. (§7, п. 3 и 4).
21.Линейные комбинации строк. Определения и простейшие свойства. (§8, п. 1).
22.Линейные зависимости столбцов матрицы с линейно зависимыми строками. (§8, п. 2).
23.Теорема о линейной зависимости линейных комбинаций и следствие из неѐ. (§8, п. 3).
24.Базис и ранг совокупности строк. Линейно эквивалентные совокупности строк. (§8, п. 4 и 5).
25.Ранг матрицы. Условие линейной зависимости и независимости множества строк (столбцов)
квадратной матрицы. Нетривиальные решения (теорема 5). (§8, п. 6 и 7).
26.Ранг матрицы в терминах определителей. Определение ранга матрицы при помощи элементарных преобразований. (§8, п. 8 и 9).
27.Однородные системы. Строение множества решений системы линейных однородных
уравнений. (§9, п. 1 и 2).
28.Неоднородные линейные системы. Теорема Кронекера – Капелли. Строение множества решений неоднородной системы. (§9, п. 3 и 4).
29.Метод Гаусса. (§9, п. 5).
30.Миноры и их алгебраические дополнения. Теорема Лапласа (без доказательства). Ступенчатая
и блочно треугольная матрицы. (§10, п. 1).
31.Умножение матриц разбитых на клетки. (§10, п. 2).
32.Умножение матрицы на вспомогательную матрицу как линейное преобразование строк (столбцов). (§10, п. 3).
33.Теорема Бине-Коши (без доказательства). Следствие из теоремы Бине-Коши (с доказательством). Пример (неравенство Коши). (§10, п. 4).
34.Условие существования обратной матрицы и еѐ свойства. (§11, п. 1 и 2).
35.Решение линейных систем с невырожденной матрицей в терминах обратной матрицы.
Обращение ступенчатой матрицы. (§11, п. 3 и 4).
36.Вычисление определителя матрицы разбитой на четыре блока и обращение такой матрицы. (§11, п. 5).
37.Определение структуры «алгебра» (поясняющее определение). Алгебра C квадратных матриц второго порядка специального вида, являющаяся полем. Изоморфизм этой алгебры алгебре чисел вида a bi , т.е. алгебре комплексных чисел. (§12, п. 1).
38. Определение компонент комплексного числа. Комплексно сопряженные числа и их свойства. Обратное комплексное число. Вычитание и деление комплексных чисел. (§12, п. 1 и 2).
39.Геометрическая интерпретация комплексных чисел в декартовых и полярных координатах. Модуль и аргумент комплексного числа. (§12, п. 3 и 4).
40.Тригонометрическая запись комплексного числа. Неравенства для модуля суммы и модуля разности двух комплексных чисел. (§13, п. 1 и 2).
41.Умножение комплексных чисел в тригонометрической записи. Возведение комплексного числа в степень с целым показателем и формула Муавра. (§13, п. 3, 4 и 5).
42.Вывод формулы извлечения корня и еѐ исследование (теорема 1). (§14, п. 1 и 2).
43.Формула для корней из единицы. Геометрическое изображение корней из единицы. Первообразные корни n-й степени из 1 (теорема 2, Пр.1) (§14, п. 3, 4 и 5).
44.Свойства корней из 1. (§14, п. 6).
45.Показательная функция с натуральным основанием. Формулы Эйлера. Натуральный логарифм комплексного числа. Показательная функция с произвольным основанием.
(§15).
46.Определение и матричная запись квадратичной формы. Пример. (§17, п. 1).
47.Линейное преобразование переменных в квадратичной форме. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду. (§17, п. 2 и 3).
48.Ранг квадратичной формы. (§17, п. 4).
49.Преобразование квадратичной формы к каноническому виду посредством унитреугольного преобразования переменных. Формулы Якоби. (§17, п. 5).
50.Положительно определенные квадратичные формы (определения и теорема 1). (§18,
п.1).
51.Критерий Сильвестра положительности квадратичной формы (теорема 2). (§18, п. 2).
52.Закон инерции квадратичных форм (теорема 3). (§18, п. 3).
53.Определение эрмитовой формы. Сопряженная матрица. Свойства эрмитовых форм. (§19, п. 1 и 2).
54.Ортогональные и унитарные матрицы и их свойства. (§20).