hitrov-1st-semester / Paragraf_10

(формуле). Оставляя пока в стороне вопрос о знаках, сосредоточим свое внимание на способе вычисления членов определителя и их количестве. Будем считать, что все сомножители, входящие в состав члена определителя упорядочены по номерам строк (таким образом делается очевидным выполнение требования, что сомножители члена определителя берутся по одному из каждой строки). Из определения определителя следует, что каждый член определителя состоит из n сомножителей. Число же членов определителя в этом случае совпадает с числом всевозможных перестановок n столбцов (требование, чтобы сомножители члена определителя брались по одному из каждого столбца), т.е. равно n!. Наша задача - упорядочить каким-то образом всѐ это множество n! членов определителя. Простейшим способом упорядочения является группировка членов имеющих нечто общее. Поскольку члены определителя суть произведения, то естественный способ группировки - это группировать члены определителя, имеющие,

даст нам все члены определителя матрицы A, имеющие общий множитель a 1i1 , a 2i2 ,..., a k ik . Число таких членов матрицы A очевидно равно числу членов дополнительного минора,

минор k-го порядка, т.е. минор, расположенный в других столбцах, то произведение всех членов этого минора на все члены дополнительного к нему минора даст нам новую группу k ! (n k)! членов исходного определителя. Нетрудно показать, что обе отмеченные

группы будут состоять из разных членов определителя (как члены одной группы, так и члены разных групп). Действительно, для членов одной группы это очевидно, исходя из определения определителя, для членов разных групп, это следует из замечания, что члены разных миноров отличаются, по крайней мере, одним сомножителем (напомним, что разные миноры, расположены в разных наборах столбцов). Поскольку на k выбранных

строках можно выбрать Cnk различных миноров (совпадает с выбором k столбцов из n столбцов), то, беря произведения членов минора на члены их дополнительного минора, мы получим Cnk различных групп членов исходного определителя, каждая из которых

произвели разбиение всего множества членов исходного определителя на непересекающиеся подмножества, состоящие из k ! (n k)! элементов каждое.

Найдем теперь соотношение, связывающее произведение члена минора со знаком на член дополнительного минора со знаком и соответствующего этому произведению члена исходного определителя со знаком. Но прежде докажем лемму.

Лемма 1. Произведение члена минора, расположенного в левом верхнем углу, на член дополнительного минора будет членом исходного определителя. При этом произведение знака члена минора на знак члена дополнительного минора будет совпадать со знаком члена определителя.

Доказательство леммы 1. Первая часть утверждения леммы 1 есть частный случай доказанного выше более общего утверждения. Докажем вторую часть

произведения, будет членом исходного определителя, который входит в определитель со

минора и члена дополнительного минора дают знак соответствующего члена исходного

определителя, т.е. ( 1)inv(i1 ,...,ik ) ( 1)inv(ik 1 ,...,in ) ( 1)inv(i1 ,...,ik ) inv(ik 1 ,...,in ) ( 1)inv(i1 ,...,ik ,ik 1 ,...,in ) . Что и

требовалось доказать.

Следствие из леммы 1. Опираясь на лемму 1, мы теперь можем утверждать, что произведение суммы всех членов минора, расположенного в левом верхнем углу, с их знаками на сумму всех членов дополнительного минора с их знаками, даст нам k ! (n k)!

членов исходного минора с нужными знаками. Другими словами: произведение минора, расположенного в левом верхнем углу, на его дополнительный минор даст нам k ! (n k)! членов исходного определителя с нужными знаками.

быть перемещен в левый верхний угол так, что дополнительный минор не поменяется.

и соседних столбцов переместим его в левый верхний угол. При этом строку с номером1 мы с помощью 1 1 перестановок соседних строк поместим на первое место, строку с

номером 2 с помощью 2 2 таких же перестановок поместим на второе место, и т.д., строку с номером k с помощью k k перестановок соседних строк переместим на k-ое место. Затем аналогично переместим столбцы 1, 2 ,..., k на первое, второе, и т.д., k-ое

столбцов. Очевидно, что при указанных операциях (описанные перестановки строк и столбцов) дополнительный минор меняться не будет. Лемма доказана.

Лемма 3. Если в определителе r раз поменять строки и q раз поменять столбцы, то каждый член исходного определителя войдет в преобразованный определитель с

дополнительным множителем ( 1)r q .

Действительно, поменяем в определителе две произвольные строки (или два столбца). В этом случае на основании соответствующего свойства определителя определитель поменяет знак. Это значит, что все члены исходного определителя войдут в преобразованный определитель с противоположными знаками. То есть все члены исходного определителя будут членами и преобразованного определителя, но с противоположными знаками. Обобщение на случай последовательной перестановки нескольких пар строк или (и) столбцов тривиально.

произведение дает ровно k ! (n k)! членов исходного определителя. В лемме 2 показано, что с помощью суммарного числа s перестановок соседних строк и соседних столбцов

преобразованного определителя с их знаками. На основании же леммы 3 члены исходного определителя с учетом их знаков войдут в преобразованный, путем указанной

ровно k ! (n k)! членов исходного определителя с нужными знаками. Просуммировав все

Наибольшее применение теорема Лапласа нашла в частных случаях ступенчатых и так называемых блочно треугольных матриц. Отметим, что разложение определителя по строке, являющееся использованием частного случая теоремы Лапласа ( k 1), наиболее эффективно, когда большинство элементов строки по которой разлагается определитель, равны нулю. И особенно эффективно, когда только один элемент строки не равен нулю. В этом случае в разложении остается только одно слагаемое. То же самое верно и для общего случая k ( k 1) строк: чем больше нулей в выбранных строках, тем больше шансов, что многие миноры k-го порядка на выбранных k строках обратятся в ноль и, следовательно, не меньшее количество слагаемых в разложении определителя по этим k строкам обратится в ноль. Сосредоточимся вначале на самом процессе выделения k строк матрицы A.

Выделение в матрице A порядка n первых k ( k n ) строк эквивалентно разбиению матрицы на две горизонтальные полосы шириной k и n-k соответственно. Если мы теперь разобьем матрицу также на две вертикальных полосы шириной k и n-k соответственно, то

размерностей k (n k) и (n k) k соответственно. Матрица A в этом случае называется блочной матрицей.

Рассмотрим частный случай блочной матрицы указанного вида, когда A12 0 , т.е.

называется ступенчатой матрицей. Применяя теорему Лапласа к вычислению определителя ступенчатой матрицы, получим, что | A | | A11 | | A22 | (разлагаем определитель матрицы A по первым k строкам и учитываем, что только один минор

Если мы разобьем матрицу A на горизонтальные и вертикальные полосы, имеющие

расположенные на главной диагонали – квадратные матрицы. Если все блоки,

нижней (левой) блочно треугольной матрицей). Нетрудно видеть, что определитель блочно треугольной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков, т.е. | A | | A11 | | A22 | ... | Amm | . Утверждение доказывается по индукции; база индукции

случай m 2 (случай ступенчатой матрицы).

Отметим, что одинаковое разбиение квадратных матриц одного порядка на одинаковые вертикальные и горизонтальные полосы приводит нас к квадратным блочным матрицам, которые можно перемножать, складывать, умножать на числа точно также как это делается с матрицами с элементами из произвольного ассоциативного кольца, в частности с матрицами с числовыми элементами. Однако, разбиение на одинаковые горизонтальные и вертикальные полосы квадратных матриц не единственный способ получения блочных матриц, для которых определены операции сложения и умножения. Следующий пункт мы и посвятим этому, более общему виду разбиения матриц на блоки.

2. Умножение матриц разбитых на клетки.

Пусть матрица разбита на части горизонтальными и вертикальными линиями, идущими через всю матрицу. Получившиеся части называются блоками или клетками, а разбитая таким образом матрица называется блочной или клеточной. Блочную матрицу можно рассматривать как матрицу, элементами которой являются матрицы.

Оказывается, что основные действия над клеточными матрицами можно производить по тем же правилам, что и над матрицами из чисел (или из элементов данного поля). Но, разумеется, должны быть выполнены надлежащие требования на разбиения, чтобы все нужные действия имели смысл.

Если A и B – две матрицы одинакового строения, и они разбиты на клетки одинаковым образом, то их можно складывать по клеткам. Это очевидно. Пусть теперь A есть m k -матрица, B есть k n -матрица, C AB , k k1 ... ks . Матрица A разбита на

клетки A , 1,..., p , 1,..., s , так, что ширины горизонтальных полос (в числе p) безразличны, вертикальные же полосы имеют ширины k1,..., ks ; соответственно B разбита на клетки B , 1,..., s , 1,..., q , ширины горизонтальных полос равны k1,..., ks , ширины вертикальных (в числе q) безразличны. Матрицу C разобьем на клетки C так,

что горизонтальные полосы по ширине такие же, как соответствующие горизонтальные полосы матрицы A, а вертикальные полосы – как соответствующие вертикальные полосы

матрица A разбита только на горизонтальные полосы A1,..., Ap , матрица B – только на вертикальные полосы B1,..., Bq и матрица C – соответственно на p полос по горизонтали и q полос по вертикали. В этом случае субматрица C матрицы C есть произведение полосы A на полосу B .

Теперь допустим, что A разбита только на вертикальные полосы A1,..., As ширины k1,..., ks соответственно и B разбита только на горизонтальные полосы B1,..., Bs ширины k1,..., ks соответственно. В этой ситуации матрица C на клетки не разбивается. Имеем:

cij (ai1b1 j ... aik1 bk1 j ) (ai,k1 1bk1 1, j ...ai,k1 k2 bk1 k2 , j ) ...

Слагаемые в скобках суть элементы в позиции (i,j) матриц A1B1, A2 B2 ,... Поэтому

C A1B1 A2 B2 ... As Bs .

Справедливость общего утверждения теперь получается непосредственно. Сначала нужно разбить A на горизонтальные полосы и B на вертикальные. Соответствующие клетки матрицы C равны произведениям горизонтальных полос матрицы A на вертикальные полосы. Каждое такое произведение вычисляется согласно второму частному случаю, как сумма произведений клеток матрицы A, на которые разбиты еѐ горизонтальные полосы на клетки матрицы B, на которые разбиты еѐ вертикальные полосы.

3. Умножение матрицы на вспомогательную матрицу как линейное

AB1, AB2 ,..., ABn - столбцы C. С таким представлением произведения мы уже встречались.

так что строки матрицы AB оказываются линейными комбинациями строк B. Аналогично, расщепление A на строки дает:

Расщепление же A на столбцы дает

Таким образом, умножение матрицы на некоторую вспомогательную матрицу слева равносильно линейному комбинированию строк матрицы, умножение справа – линейному комбинированию столбцов.

Рассмотрим квадратную матрицу Eij , i j , элементами которой являются 1 на месте (i,j) и нули на остальных местах. Умножение слева некоторой матрицы на Eij

переставляет j-ую строку матрицы на i-ое место, а все остальные строки заменяет нулями. Квадратная матрица E cEij называется матрицей трансвекции или матрицей

элементарного преобразования. Умножение слева на E cEij равносильно прибавлению к

i-ой строке j-ой строки, умноженной на c, с сохранением всех остальных строк. Такие преобразования неоднократно применялись нами по различным поводам. Умножение на Eij справа переставляет i-ый столбец на j-ое место, заменяя нулями остальные столбцы.

Умножение справа на E cEij равносильно добавлению к j-му столбцу i-го, умноженного

на c.

Треугольная матрица называется унитреугольной, если все элементы еѐ главной диагонали равны 1. Выясним, как изменяются строки матрицы A при умножении еѐ слева на правую унитреугольную матрицу C. Пусть

Здесь A1,..., Am - строки матрицы A.

так что первая строка получена из первой строки A прибавлением последующих строк, умноженных, на c12 ,..., c1m , вторая – из второй прибавлением последующих строк с соответствующими множителями и т.д., последняя остается без изменения.

блочное произведение H FG . Действительно, в матрице F единичная матрица E имеет размерность n n , а матрица 0 – размерность m m ; в матрице G верхняя матрица E имеет размерность n n , а нижняя матрица E размерность m m , а матрица 0 – размерность m n . В этом случае действительно определено блочное произведение матрицы F на матрицу G и их произведение H будет равно:

Займемся вначале формулой для вычисления определителя матрицы H и вычислим det H . Поскольку все дополнительные миноры к минорам, расположенным в первых m

то det H det AB det E ( 1)m ( 1)1 2 ... m (n 1) ... (n m) ( 1)m nm det AB

(при подсчете знака учтено, что сумма 1 2 ... m встречается дважды).

поскольку указанные столбцы нулевые. Следовательно, мы рассматриваем в качестве

подматрицы, полученной из матрицы F удалением первых m строк и столбцов с номерами

вычеркивания в ней столбцов с номерами 1 1 ... m n , и матрицы B. Если в матрице E удалить строки с номерами 1 1 ... m n , то останется единичная матрица порядка n m (сказанное становится более очевидным, если в матрице E порядка n сразу

удалить строки и столбцы с одинаковыми номерами 1 1 ... m n ). Если в матрице

первый блочный столбец есть преобразованная матрица E , а второй блочный столбец есть преобразованная матрица B, к тому же после разбитая на два блока. Очевидно, что

последнее n-ое место посредством n m перестановок соседних строк; затем строку с номером m 1 посредством (n 1) m 1 перестановок соседних строк поместим на место (n 1) -ой строки, и т.д.; наконец, строку с номером 1 посредством (n (m 1)) m 1 перестановок соседних строк поместим на место строки с номером (n m 1) . В итоге мы