hitrov-1st-semester / Paragraf_20
.pdf§20. Ортогональные и унитарные матрицы.
|
Мы |
вводили комплексные числа через |
матрицы |
второго порядка вида |
a |
b |
. В частном случае, когда a cos , а |
b sin , |
матрица A превращается в |
A |
|
|||
b |
a |
|
|
|
матрицу |
cos |
sin |
. Рассмотрим свойства матрицы S. Для этого |
|
S |
|
|
||
|
sin |
cos |
|
|
матрицу |
S |
|
на |
транспонированную |
к |
ней |
|
матрицу |
|
|
ST , |
||||
cos |
sin cos |
sin |
cos2 |
sin2 |
|
|
0 |
|
|
1 |
0 |
|
|
||
|
cos |
|
sin |
|
|
0 |
cos |
2 |
sin |
2 |
|
|
1 |
|
, т.е. |
sin |
|
cos |
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||
умножим
получим
SST E .
На главной диагонали матрицы SST находятся суммы квадратов элементов строк матрицы S, на остальных позициях находятся суммы произведений соответствующих элементов двух различных строк. Обозначая элементы матрицы S через sij , запишем равенство
SST E как
2 |
|
|
|
|
sij2 1, |
i 1, 2 , |
|
||
j 1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
sij skj |
0 , |
i, k 1, 2 , |
i k . |
|
j 1
«Излишества» использованные при выписывании последних формул позволяют простой заменой 2 на n выделить важный класс так называемых ортогональных матриц.
Вещественная матрица S называется ортогональной, если еѐ обратная совпадает с
транспонированной. В формульной записи: S ортогональна, если SST E , или в развернутой форме:
n |
|
|
|
|
sij2 1, |
i 1, 2,..., n , |
|
||
j 1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
sij skj |
0 , |
i, k 1, 2,..., n , |
i k . |
|
j 1
Вещественная строка называется нормированной, если сумма квадратов еѐ элементов равна 1, и две вещественные строки называются ортогональными, если сумма
произведений |
соответствующих |
элементов |
нулю. Таким образом, условие |
SST E |
||||||||||||||
равносильно тому, что строки матрицы S нормированы и попарно ортогональны. |
|
|||||||||||||||||
Из равенства SST |
E |
следует |
ST S E , или |
ST (ST )T E . Таким |
образом из |
|||||||||||||
ортогональности матрицы S следует ортогональность транспонированной с ней матрицы |
||||||||||||||||||
ST и обратно. Однако |
развернутая запись |
равенства |
ST S E полностью |
отлична от |
||||||||||||||
таковой для |
SST E . |
Именно, |
ST S E |
- |
имеет |
вид |
|
нормированности |
и |
попарной |
||||||||
ортогональности столбцов матрицы S. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Отметим некоторые свойства ортогональных матриц. |
|
|
||||||||||||||||
1. Ортогональность S влечет ортогональность S 1 . |
|
|
|
|
||||||||||||||
Действительно, S 1 |
ST , а ортогональность ST |
уже установлена. |
|
|
||||||||||||||
2. Произведение ортогональных матриц есть ортогональная матрица. |
|
|
||||||||||||||||
Действительно, (S S |
2 |
)(S S |
2 |
)T S S |
ST ST S EST |
S ST E . |
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
2 |
2 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
||
3. Единичная матрица ортогональна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Действительно, EET |
|
EE E . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Эти свойства означают, что ортогональные матрицы образуют группу относительно умножения матриц.
4. Определитель ортогональной матрицы равен 1. Действительно, det SST (det S)2 det E 1. Откуда det S 1.
Ортогональные матрицы разбиваются на два класса – собственно ортогональные с определителем 1, и несобственно ортогональные с определителем -1. В дальнейшем будет показано различие в геометрическом смысле собственно и несобственно ортогональных матриц.
Замечание. Ортогональные матрицы играют большую роль в приложениях, особенно в механике. Так с помощью ортогональных матриц третьего порядка описывается положение и ориентация одной декартовой системы координат относительно другой. Кроме того, умножение, например, собственно ортогональной матрицы третьего порядка на трехмерный координатный столбец некоторого радиус-вектора, геометрически означает поворот на некоторый угол этого радиус-вектора вокруг оси, координаты направляющего вектора которой определяются уравнением SX X . В трехмерном случае отыскание этого вектора не представляет труда, но для объяснения процесса получения решения, требуется такое понятие, как собственный вектор матрицы. Забегая вперед, отметим, что собственным вектором квадратной матрицы A называется такой ненулевой столбец X, что AX X ( - некоторое число). Поскольку равенство AX X можно записать в виде ( E A) X 0 , то мы видим, что вопрос существования собственного
вектора матрицы, сводится к вопросу существования нетривиального решения однородной системы n уравнений с n неизвестными с матрицей коэффициентов системы
E A . Эта |
матрица называется характеристической для матрицы |
A. Далее система |
|||
уравнений ( E A) X 0 |
имеет нетривиальное решение тогда и только |
тогда, |
когда |
||
определитель |
матрицы |
коэффициентов системы det( E A) 0 . |
Обозначим |
через |
|
f (t) det(tE A) . Вспоминая определение определителя, мы видим, что |
f (t) |
есть |
|||
многочлен от буквы (неизвестной) t. Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы A. Следовательно, условие существования нетривиального
решения упомянутой |
однородной системы свелось к требованию |
f ( ) 0 , т.е. к |
требованию, чтобы |
был корнем характеристического многочлена. |
Таким образом, |
дальнейшее изучение квадратных матриц тормозится отсутствием необходимых знаний теории многочленов. Именно отсутствие этих знаний не позволило рассмотреть вопрос о приведении квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования переменных (преобразования переменных с ортогональной матрицей). Это вынуждает нас на время оставить матрицы и перейти далее к изучению теории многочленов, имеющей огромное самостоятельное значение.
Выше мы рассматривали специальный вид вещественных матриц – ортогональные матрицы. Аналогом ортогональных матриц для матриц с комплексными элементами служат так называемые унитарные матрицы. Чтобы дать их определение, напомним, что матрица A , комплексно сопряженная с транспонированной к A называется сопряженной с A, т.е. A AT , где черточка наверху – знак комплексного сопряжения. Матрица Q называется унитарной, если обратная к ней совпадает с сопряженной. Записав равенство QQ E в развернутой форме, получим
n |
n |
|
|
qij qij |
| qij |2 1, |
i 1, 2,..., n , |
|
j 1 |
j 1 |
|
|
n |
|
|
|
qij qkj |
0 , |
i, k 1, 2,..., n , i k . |
|
j 1
Строка из комплексных чисел называется нормированной, если сумма квадратов модулей еѐ элементов равна 1. Две комплексные строки называются ортогональными, если сумма произведений элементов одной строки на числа, сопряженные с соответствующими элементами второй строки, равна нулю.
Таким образом, равенство QQ E означает, что строки матрицы Q нормированы и попарно ортогональны. Равносильное равенство Q Q E дает, что столбцы матрицы Q
нормированы и попарно ортогональны.
Отметим свойства унитарных матриц, аналогичные свойствам ортогональных матриц.
1. Унитарность Q влечет унитарность Q 1 .
Действительно Q 1 Q , а унитарность Q следует из равенства Q Q E . 2. Произведение унитарных матриц есть унитарная матрица.
Действительно, Q1Q2 (Q1Q2 ) Q1Q2Q2Q1 Q1Q1 E . 3. Единичная матрица унитарна.
Действительно, EE EE E .
Эти свойства означают, что унитарные матрицы образуют группу. 4. Модуль определителя унитарной матрицы равен 1.
Действительно, det QQ det Q det Q det Qdet Q | det Q |2 1 .