ТУ - лекции Шмырова / Лекции по ТУ / 23

Лекция 23. Глава 5. Оптимальное демпфирование. Экстремум функции многих переменных. Теорема.

Пусть функция f(x1; : : : ; xn), принимающая вещественные значения, задана при

любых вещественных значениях своих аргументов. Будем считать эту функцию в дальнейшем непрерывно дифференцируемой при всех конечных значениях x = fx1; : : : ; xng.

Определение 1. Точку x0 будем называть точкой строгого минимума, если можно указать такое число " > 0, ÷òî ïðè âñåõ x, удовлетворяющих неравенству

Определение 2. Будем говорить, что в точке x0 функция f(x) принимает наи-

меньшее возможное значение, если неравенство (2) имеет место при любом выборе x. Точку x0 в этом случае называют оптимальной, а f0 = f(x0) оптимальным зна-

чением функции f(x).

Пусть в n-мерном пространстве En задана точка, движущаяся с постоянной по величине скорости

В начальный момент t = t0, предположим, она находится в точке x¹, не являющейся оптимальной для функции f(x). Поставим вопрос о том, в каком направлении при

движении точки из x¹ функция f(x) возрастает (убывает) с наибольшей скоростью.

Известно, что такое направление определяется направлением градиента функции f(x), вычисленного в точке x = x¹, т. е. Вектора

Действительно, если направление луча, выходящего их точки x, определить вектором L = fl1; : : : ; lng, то уравнение этого луча можно представить в виде

Скорость возрастания функции f(x) вдоль луча в точке x¹ определяется формулой

98

Ясно, что правая часть (5) имеет наибольшее значение при

Формула (6) дает выражение компонент единичного вектора направленного по градиенту функции f(x). Очевидно, что направление, в котором функция f(x) при движении из точки x¹ имеет наибольшую скорость убывания, обратно направлению вектора (6). Это свойство градиента f(x) положено в основу ряда матодов численного отыскания точек, в которых f(x) имеет минимум.

Положим в системе (3) us = ¡ls, тогда имеем

Теорема 1. Пусть: 1) функция f(x) задана при x 2 En, вещественна и непрерывно дифференцируема по своим аргументам; 2) grad f(x) обращается в нуль лишь в

единственной точке, являющейся оптимальной точкой этой функции. Кроме того,

jjgrad f(x)jj > ® > 0 ïðè jjxjj ! +1.

Тогда любая интегральная кривая

тании t, причем x0 = fx(0)1 ; : : : ; x(0)n g - оптимальная точка функции f(x). Решение x(t) = x0 асимптотически устойчиво в целом при возрастании t.

x0 найдена. Покажем тогда, что для каждого " > 0 и точки x¹ можно указать такое T ("; x¹), ÷òî ïðè t ¸ T ("; x¹) будет

ãäå x¹(t; x) - интегральная кривая системы (7), удовлетворяющая условию x¹(0; x¹) = x¹.

Рассмотрим функцию V (x) = f(x) ¡ f(x0). Òàê êàê x0 является оптимальной

точкой, т. е. f(x0) · f(x) ïðè 8x 2 En è V (x0) = 0 функция V (x) положительно определенная. Продифференцируем ее в силу системы (7) ; тогда получим

 ñèëó òîãî, ÷òî grad f(x) обращается в ноль лишь в единственно оптимальной точке x0, имеем выполнение условий теоремы об асимптотической устойчивости. Это

99

означает, что по любому " > 0 существует ±(") > 0 такое, что при jjx¹ ¡ x0jj < ±(") будет

Возьмем любое x¹. Для интегральной кривой x(t; x¹) возможны два случая: либо существует такое T (¹x), ÷òî

jjx(t; x¹) ¡ x0jj < ±;

либо такого T (¹x) не существует. В первом случае ясно, что

jjx(t; x¹) ¡ x0jj < " ïðè 8t > T (¹x):

Пусть такого T не существует (второй случай). Тогда

jjx(t; x¹) ¡ x0jj > ±1;

и в силу предположения теоремы существует такое ®, ÷òî jjgrad f(x)jj > ®. Из (9) получаем неравенство

Следовательно, V (x) · V (¹x) ¡ ®t. Последнее неравенство показывает: V (x) íà

интегральной кривой (7) неограниченно убывает, что невозможно. Полученное противоречие показывает, что упомянутое выше число T (¹x) существует.

¥

Замечание. Пусть дана система алгебраических уравнений

и найдем минимум функции f(x), решая систему дифференциальных уравнений (7). Пример 1. Рассмотрим функцию одного аргумента f(x). Пусть оптимальное

значение функция принимает в точке x0, и при этом других минимумов, а также максимумов не существует. Тогда любая интегральная кривая уравнения

100

противном случае интегральные кривые уравнения (14) будут примыкать к какимлибо стационарным точкам функции f(x),являющимся точками покоя уравнения.

Рассмотрим систему

все точки покоя которой располагаются на оси x.

Легко видеть, что система (15) имеет интеграл вида y2(t) + 2f(x(t)) = c. Возьмем

точку (¹x; y¹) в качестве начальной, причем y¹ =6 0. На интегральной кривой (x(t); y(t)) во все время движения имеет место равенство

Если найдем точку t0 такую, чтобы y2(t0) было максимальным значением функции

y2(t), то точка x(t0) является оптимальной для функции f(x). Значит, при таком подходе к отысканию оптимального значения стационарные точки функции f(s) íå

являются помехой при вычислениях. Этот алгоритм непрерывной минимизации можно распространить на отыскание оптимальных точек функций многих переменных.

101