ТУ - лекции Шмырова / Лекции по ТУ / 8

Лекция 8. Принцип двойственности. Связь между полной управляемостью и полной наблюдаемостью

в линейных системах.

Рассмотрим линейную нестационарную систему

ãäå x - n-мерный вектор, матрица A(t) квадратная размерности (n £ n), f(t) - n- мерная вектор-функция. Также рассмотрим систему уравнений

ãäå y - r-мерный вектор наблюдений, матрица R(t) имеет размерность (r £ n), g(t) - r-мерная вектор-функция.

В лекции 7 были рассмотрены необходимые и достаточные условия полной наблюдаемости для системы (1)-(2). В этой лекции будет исследовано, как наблюдаемость системы (1)-(2) связана с задачей управления.

Рассмотрим управляемую систему

где матрицы A è R взяты из системы (1)-(2). Сформулируем соображение, связываю-

щее полную наблюдаемость системы (1)-(2) и полную управляемость системы (3) (на временном отрезке [0; T ]). Этот результат носит название "принцип двойственности".

Теорема 1. Принцип двойственности. Система (1)-(2) полностью наблюдаемая на временном отрезке [0; T ] тогда и только тогда, когда система (3) полностью

управляемая на [0; T ].

Доказательство. Пусть Y (t) - фундаментальная матрица системы (1), а ©(t)

- фундаментальная системы (3). По теореме 1 лекции 7 система (1)-(2) полностью наблюдаемая на [0; T ], тогда и только тогда, когда столбцы матрицы

H(t) = R(t)Y (t);

линейно независимые на [0; T ]. А в соответствии с леммой 1 лекции 4, система (3) полностью управляемая на [0; T ], тогда и только тогда, когда строки матрицы

Q(t) = ©¡1(t)Rò(t);

линейно независимые. Покажем, что столбцы матрицы H(t) и строки Q(t) совпадают, т. е. что

Hò(t) = Q(t):

Рассмотрим представление этих двух матриц

Hò(t) = Y ò(t)Rò(t); Q(t) = ©¡1(t)Rò(t);

37

откуда видно, что для справедливости теоремы требуется показать, что

Y ò(t) = ©¡1(t):

При выполнении условия нормированности фундаментальных матриц Y (t) è ©(t)

Y ò(0) = E; ©(0) = E;

в момент времени t = 0 выполняется

Y ò(0)©(0) = E

Продифференцируем по t произведение Y ò(t)©(t)

(Y ò(t)©(t))0t = Y_ ò(t)©(t) + Y ò(t)©(_ t);

и учитывая свойства фундаментальных матриц

Y_ (t) = A(t)Y (t); ©(_ t) = ¡Aò(t)©(t);

в итоге получим, что

(Y ò(t)©(t))0t = Y ò(t)Aò(t)©(t) + Y ò(t)(¡Aò(t))©(t) = 0;

откуда следует, что

Y ò(t)©(t) = C;

ãäå C - постоянная матрица. Учитывая, что при t = 0 выполняется

Y ò(0)©(0) = E;

следовательно C = E è

Y ò(t)©(t) = E =) Y ò(t) = ©¡1(t);

откуда следует

Hò(t) = Q(t);

что и требовалось доказать.

¥

В лекции 4 были рассмотрены достаточные условия полной управляемости для управляемых линейных нестационарных систем. Эти условия не включают в себя задачу нахождения фундаментальной матрицы, что значительно упрощает исследование. Интересен вопрос о аналогичных условиях для полной наблюдаемости системы (1)-(2), когда также обходится стороной проблема нахождение фундаментальной матрицы.

Рассмотрим вспомогательные матрицы

38

K0(t) = R(t);

K1(t) = K_ 0(t) + R(t)A(t);

.

Kn¡1(t) = K_ n¡2(t) + Kn¡2(t)A(t);

и сформируем блочную матрицу

размерности (nr £ n). Следующая теорема, используя принцип двойственности, свя-

зывает условия полной наблюдаемости системы (1)-(2) и полной управляемости системы (3)

Теорема 2. Для того, чтобы система (1)-(2) была полностью наблюдаемая на временном отрезке [0; T ], достаточно существование момента времени ¿ 2 [0; T ], такого,

÷òî

rangK(¿) = n:

Доказательство. Построим вспомогательные матрицы (S0(t); S1(2); : : : ; Sn¡1(t)) для системы (3), как это было сделано в лекции 4

S0(t) = Rò(t);

S1(t) = S_0(t) + Aò(t)S0(t);

.

Sn¡1(t) = S_n¡2(t) + Aò(t)Sn¡2(t);

и образуем из них блочную матрицу

S(t) = (S0(t); S1(2); : : : ; Sn¡1(t)):

Обратим внимание, что по построению

K0(t) = S0ò(t); K1(t) = S1ò(t);

.

Kn¡1(t) = Sò (t);

n¡1

откуда следует, что

K(t) = Sò(t)

39

Теперь предположим, что существует момент времени ¿ 2 [0; T ], такой, что

rangK(¿) = n;

но тогда для системы (3) блочная матрица S(t) также имеет ранг равный n в момент времени ¿, что влечет за собой полную управляемость системы (3). В этом случае, по

принципу двойственности имеет место полная наблюдаемость для системы (1)-(2).

¥

40