ТУ - лекции Шмырова / Лекции по ТУ / 5

Лекция 5. Управляемость линейных стационарных систем. Критерий Калмана.

Рассмотрим стационарную линейную систему

где компоненты матриц A è B не зависят от времени. Система (1) является частным

случаем системы (1) лекции 4 и, соответственно возникает вопрос, носит ли критерий управляемости для стационарной системы качественно более сильный характер чем для нестационарной. Этот вопрос решается в положительном смысле - оказывается, что достаточные условия полной управляемости также являются необходимыми в случае стационарности системы и этот результат носит название "критерий Калмана".

Перед формулировкой критерия Калмана рассмотрим, что из себя представляют вспомогательные матрицы

(S0(t); S1(t); : : : ; Sn¡1(t)):

введенные в лекции 4 при постоянных матрицах A è B:

S0 = B;

S1 = ¡AS0 = ¡AB; S2 = (¡1)2AS1 = A2B;

.

Sn¡1 = (¡1)n¡1An¡1Sn¡2

и матрица S(t) в этом случае принимает вид

S = (B; AB; A2B; : : : ; An¡1B):

Теорема 1. (Критерий Калмана). Для того, чтобы система (1) была полностью управляемой, необходимо и достаточно, чтобы

rangS = n:

Доказательство. Необходимость. Пусть система полностью управляемая, покажем что rangS = n.

Предположим, что при полной управляемости системы (1), выполняется неравенство

24

rangS < n:

В этом случае строки матрицы S линейно зависимые и следовательно существует ненулевой вектор c 6= 0, такой что

còS = 0:

Последнее равенство влечет серию равенств

Идея дальнейшего изложения доказательства заключается в применении леммы 1 лекции 4 для доказательства ошибочности предположения о том, что rangS < n

при полной управляемости системы (1). Для этого нужно показать что строки матрицы Q(t) линейно зависимые (и следовательно нарушается полная управляемость).

Вcпомним представление матрицы Q(t)

Q(t) = Y ¡1B = e¡AtB;

и представление для Y ¡1 = e¡At

Теперь рассмотрим произведение справа ненулевого вектора cт на матрицу Q(t)

X

i=0

В силу равенств (2) первые n членов ряда равны нулю. Покажем, что и остальные

члены ряда (3) также равны нулю. Рассмотрим характеристический многочлен матрицы A

det(A ¡ ¸E) = ¸n + a1¸n¡1 + ¢ ¢ ¢ + an:

По теореме Гамильтона-Кэли матрица A является корнем своего характеристического многочлена

An + a1An¡1 + ¢ ¢ ¢ + anE = 0:

Домножим последнее равенство слева на вектор-строку cт, а справа на матрицу B и перепишем в виде

còAnB = ¡a1còAn¡1B ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ ancòB

В силу равенств (2) слагаемые в правой части последнего выражения равны нулю и следовательно

còAnB = 0:

25

Далее, используя теорему Гамильтона-Кэли, можно показать что остальные слагаемые в ряде (3) также равны нулю. Покажем это для члена còAn+1B

An+1 = A ¢ An = A(¡a1An¡1 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ anE) = ¡a1An ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ anA;

Домножим последнее равенство слева на вектор-строку cт, а справа на матрицу B и перепишем в виде

còAn+1B = ¡a1còAnB ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ ancòAB

Все слагаемые в правой части последнего равенства равны нулю, следовательно

còAn+1B = 0:

Далее, по индукции можно показать что слагаемые ряда (3) вида

còAkB; k = n + 2; : : : ;

также равны нулю. Следовательно

còQ(t) = 0;

и по лемме 1 лекции 4 система (1) не является полностью управляемой. Возникло противоречие из-за предположения о том, что

rang < n:

следовательно, оно неверное и

rangS = n:

Достаточность. Достаточность является следствием теоремы 1 лекции 4, поскольку стационарная система является частным случаем нестационарной.

¥

Пример. Проверить на полную управляемость систему

x = Ax + Bu;

ãäå

Вычислим блоки матрицы S

26

Матрица S имеет вид

Для полной управляемости системы x = Ax + Bu ранг матрицы S должен быть ра-

вен 4. В данном примере матрица S квадратная (в общем случае - прямоугольная)

и поэтому достаточно сосчитать ее определитель для проверки на полную управляемость

откуда следует полная управляемость системы x = Ax + Bu.

27