ТУ - лекции Шмырова / Лекции по ТУ / 21
.pdf
Лекция 21. Линеаризованный принцип максимума в задаче оптимального управления.
Рассмотрим управляемую систему
x = f(t; x; u);
t 2 [0; T ]; x(0) = x0; u 2 D
и функционал |
I(u) = g(x(T )): |
(1) |
|
Предполагаем здесь существование непрерывных производных @f@u, D выпуклое
множество: u1 2 D; u2 2 D ! u = u1 + ¾(u2 ¡ u1) 2 D; 8¾:
Рассмотрим приращение функционала (1) при приращении управления u~ = u+¢u
¢u = I(~u) ¡ I(u) = ±I(u; ¢u) + o(k¢ukL); |
(2) |
Из формулы (10) лекции 20
Z T
±I(u) = ¡ ä(t)¢uf(t; x; u)dt:
0
Пусть u = u1 + ¾(u2 ¡u1) = u1 + ¾¢u. Тогда ¢uf(t; x; u) = f(t; x; u1 + ¾(u2 ¡u1)) ¡
f(t; x; u1) = |
@f(t; x; u1) |
(u2 ¡ u1)¾ + o(¾) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
@u |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В таком случае, вариация функционала перепишется в виде |
|
|||||||||||
|
±I(u) = ¡ Z0 |
T |
t; x; u |
|
|
|
|
|
||||
|
ä(t) |
@f( |
1) |
(u2 ¡ u1)¾dt + o(¾): |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
@u |
|
|
||||||||
Введем вектор-функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
l¤(t; u) = ä(t) |
@f(t; x; u1) |
: |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@u |
|
|
Теперь приращение функционала (1) можно записать в виде |
|
|||||||||||
|
|
|
¢I(u) = ¡¾ Z0T l¤(t; u)¢udt + o(¾): |
(3) |
||||||||
Введем функционал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
hG(u); ¢ui = Z0T l¤(t; u)¢udt: |
|
||||||||
Теорема 1 Для того, чтобы управление u0 |
было оптимально, необходимо, чтобы |
|||||||||||
|
|
|
|
max G(u); ¢u |
i |
= 0: |
|
|
||||
|
|
|
|
u D h |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
92
Доказательство Èç (3) приращение функционала можно записать как
¢I(u) = ¡¾hG(u); ¢ui + o(¾):
Так как на оптимальном управлении ¢I(u) > 0, òî
maxhG(u); ¢ui ¸ 0
u2D
При этом на оптимальном управлении hG(u0); u0 ¡ u0i = 0 что и показывает справедливость доказываемого равенства.
Замечание 1 Из хода доказательства ясно, что при любом u 2 D и произвольной допустимой вариации ¢u имеет место представление
ãäå ~ |
. В этом случае говорят, |
-÷òî |
® |
~ |
|
|
~ |
|
|
|
I(u + ¾¢u) ¡ I(u) = ¾ G(u); ¢u + o(¾); |
|||
G(u) = ¡G(u) |
|
|
функционал |
G(u) является слабой |
|
|
|
||
производной Гато функционала I(u).
В дальнейшем такое представление приращения функционала будет использовано при построении численных методов оптимизации.
93