ТУ - лекции Шмырова / Лекции по ТУ / 22
.pdfЛекция 22. Связь вариационного исчисления с принципом максимума Л.С. Понтрягина. Условие сильного минимума Вейерштрасса и Лежандра.
Уравнение Эйлера.
Рассмотрим вариационную задачу, а именно, задачу минимизации функционала
I(y) = Zab F (x, y(x), y´(x))dx |
(1) |
при условии |
|
y(a) = ya, y(b) = yb. |
(2) |
Задачу минимизации функционала будем рассматривать на классе непрерывнодифференцируемых функций: y C1[a; b].
Переформулируем вариационную задачу. Рассмотрим уравнение
dy |
= u(x). |
(3) |
|
dx |
|||
|
|
Функционал (1), в этом случае, можно запсиать в виде
Z b
I(u) = F (x, y(x), u(x))dx (4)
a
Таким образом, задача минимизации функционала ( 1) свелась к задаче минимизации функционала (4) при краевых условиязх (2) для уравнения (3). Это есть задача оптимального управления. В дальнейшем рассмотрим задачу минимизации функционала с закрепленным левым концом, т.е. при условии ( 3) и условии
y(a) = ya. |
(5) |
Это есть также задача оптимального управления (Задача Лагранжа) и она совпадает с задачей вариационного исчисления в случае, если фиксирован только левый конец (условие (5)).
Усложним задачу минимизации (3)-(5): наложим ограничения на управления, а именно, для x, u(x) U. Здесь U множество значений управлений u = u(x).
Эту задачу можно также понимать как вариационную задачу, но при условии y´(x) U. На основе принципа максимума Л.С. Понтрягина можно выписать условия
экстремальности дя этого случая.
предполагаем далее, что y(x) и u(x) есть n мерные вектор функции, т.е.
y(x) = |
y1(.x) |
|
yn(x) |
|
|
|
|
|
|
u1(x) |
, |
, u(x) = un(.x) |
||
|
|
|
ya1
ya = . .
yan
Постановка задачи управлением (3) (5) в этом случае не меняется.
Выпишем принцип максимума для этой задачи. При этом сначала сведем задачу
94
Лагранжа к задаче Майера. Имеем
|
dy |
= u(x) |
dx |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dyn+1
= F (x, y(x), u(x))
dx
и начальные условия
|
(yn+1(a) = ya |
|
|
y(a) = ya |
|
Функционaл (4) в этом случае примет вид |
|
|
|
I(u) = yn+1(b). |
|
Введем вектор ˆ |
, ψ2, . . . , ψn, ψn+1) |
T и функцию Гамильтона |
ψ = (ψ1 |
|
|
n
(6)
(7)
(8)
ˆ
X
H(x, y, ψ, u) = ψiui + ψn+1F (x, y, u).
i=1
По принципу максимума функция H достигает максимума на оптимальном процессе при оптимальном управлении, т.е.
max H(x, y0(x), ψ0(x), u) = H(x, y0(x), ψ0(x), u0(x)).
u U
Допустим, что максимум достигается во внутренних точках множества U, или U есть открытое множество. В частности, U может совпадать со всем пространством Rn. Тогда предыдущее условие можно заменить на следущее
∂H(x, y0(x), ψ0(x), u0(x)) |
|
|
|
= 0 |
(9) |
|
||
∂u |
|
|
Уравнение (9) есть уравнение Эйлера для нашей задачи. Покажем это. Продифферецируем H по u. Получим
∂F |
|
|
ψi + ψn+1 ∂ui |
= 0, i = 1, N |
(10) |
Перепишем уравнение (6) â âèäå
dxdyˆ = fˆ(x, y,ˆ u).
Здесь
yˆ = yny+1 |
, fˆ = |
F |
. |
|
|
u |
|
Тогда для сопряженной функции ψ мы имеем
ˆ |
ˆ |
T |
|
dx = − |
∂yˆ |
! |
ψ.ˆ |
dψ |
∂f |
|
|
95
Учитывая, что
∂fˆ |
|
0, . . . . . . , 0, 0 |
|
|
||||||
|
! = |
|
0·,·.·.·.·.·.·.·,·0·,·0· |
|
, |
|||||
∂yˆ |
||||||||||
|
|
|
∂F |
|
∂F |
|
||||
|
|
|
, . . . , |
, 0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y1 |
∂yn |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получаем
dψn+1 = 0
dx
(11)
dψ |
= − |
∂F |
|
|
|
ψn+1, i = 1, n |
|||||
dxi |
∂yi |
||||
Проинтегрируем уравнение (11) и подставим в (10). Имеем
x ∂F |
( |
x, y(x), u(x)) |
|
∂F (x, y(x), u(x)) |
|
|
|||
ψi(a) − Za |
|
|
|
dxψn+1 + ψn+1 |
|
|
= 0. |
(12) |
|
|
|
∂yi |
∂ui |
||||||
Уравнение (12) есть уравнение Эйлера в интегральной форме. Продифференцируем (12) по x. Получаем
− |
∂F |
+ |
d ∂F |
ψn+1 = 0. |
(13) |
||
|
|
|
|
||||
∂yi |
dx |
∂ui |
|||||
Èç (11) следует,что ψn+1 ≡ const. Предположим, что ψn+1 6= 0. Тогда из (13) получаем уравнение Эйлера для нашей задачи
− |
∂F |
|
d ∂F |
|
|
|
|
|||
+ |
= 0, i = 1, n. |
(14) |
||||||||
|
|
|
|
|||||||
∂yi |
dx |
∂ui |
||||||||
Покажем, что ψn+1 6= 0. Как мы знаем, в случае терминальной задачи (задачи
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
Майера), условие на конце при x = b для ψ имеет вид |
|
||||||
|
∂g(ˆy(b)) |
T |
|
||||
ψˆ(b) = − |
|
|
|
|
|
. |
|
|
∂yˆ |
|
|
||||
В данном случае, g(ˆy(b)) = yn+1(b) è |
|
∂yˆ |
|
= (0, . . . , 1). Следовательно |
|||
|
|
|
∂g(ˆy(b)) |
|
|||
ψn+1 ≡ −1.
Таким образом, исходя из принципа максимума, мы получим, что уравнение Эйлера (14) имеет место в нашем случае.
Условие Вейерштрасса.
Пусть u оптимальное управление, y и ψ вычислены при оптимальном управлении. Тогда
H(x, y, ψ, z) − H(x, y, ψ, u) ≤ 0, z U,
Так как при z = u функция H достигает максимума. Предположим, что имеет
96
место равенство (9). Учитывая это, можно записать
|
|
n |
|
|
|
∂H(x, y, ψ, z) |
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
= |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
∂ui |
|||
H(x, y, ψ, z) − H(x, y, ψ, u) − (zi − ui) |
||||||||
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
X |
|
|
|
|
|
|
= |
ψizi + ψn+1F (x, y, z) − ψiui − ψn+1F (x, y, u)− |
|||||||
=1 |
|
i=1 |
) |
|
|
|
|
|
n |
|
∂F (∂ui |
= ψn+1E(x, y, z, u) ≤ 0. |
|||||
− i=1 (zi − ui) ψi + ψn+1 |
||||||||
X |
|
x, y, u |
|
|
|
|
|
|
Здесь |
n |
|
|
∂F (x, y, u) |
|
|
E(x, y, z, u) = F (x, y, z) − F (x, y, u) − (zi − ui) |
|
|
|
|
|
∂ui |
|
|
=1 |
|
|
Xi |
|
есть функция Вейерштрасса.
В предыдущем пункте было установлено, что ψn+1 ≡ −1. Таким образом, необходимым условием сильного минимума, как это и было установлено в вараиционном исчислении, является неотрицательность функции Вейерштрасса, т.е.
|
|
E(x, y(x), u(x), z) ≥ 0, |
z U. |
|
|
(15) |
||||||
Условие Лежандра. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотри для простоты случай n = 1. Имеем |
|
|
|
|
|
|||||||
F (x, y, z) |
− |
F (x, y, u) = |
∂F |
(z |
− |
u) + |
∂2F (x, y, u + θ(z − u)) |
|
(z |
− |
u)2. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
∂u |
|
|
2∂u2 |
|
|
|||||
Здесь остаточный член в разложении функции F (x, y, z) выписан в форме Лагранжа, 0 < θ < 1. Если перенести первое слагаемое из правой части в левую, то мы получим функцию Вейерштрасса
E(x, y, u, z) = ∂2F (x, y, u + θ(z − u))(z − u)2. 2∂u2
Учитывая (15), получаем условие Лежандра
∂2F (x, y, η))
2∂u2
≥ 0 η U.
97