ТУ - лекции Шмырова / Лекции по ТУ / 29 исправленная

Лекция 29. Методы последовательного приближения на основе принципа максимума.

В главе 3 для функционала (6.2) [Ссылка из книги где впервые упомянут функ-

ционал I = R T '(t; xt; u(t))dt + g(xT )] был получен принцип максимума в качестве

t0

необходимого уcловия оптимальности. Используем его для построения последовательных приближений в пространстве управлений. В данном разделе предполагаем, что управления u = u(t) 2 D L2(0; T ); u(t) 2 U; t 2 [0; T ] и выполнены условия А § 5.1.[Ссылка] Рассмотрим задачу минимизации функционала (6.2). Опишем один из возможных способов построения последовательности приближений uk. Пусть на k-м шаге итерационного пропесса получено управление uk = uk(t). Определим управление uk из условия максимума

траекторий из уравнений

Управление uk, очевидно, доставляет максимум функционалу (4) и, следовательно(uk) = T1 Qk(uk). Рассмотрим функцию

есть среднее значение функции !k(t) на отрезке T0 = [0; T ]: Определим однопараметрическое семейство измеримых подмножеств Tk(") отрезка T0, удовлетворяющих условиям:

122

являются допустимыми управлениями при " 2 [0; T ]. Если (uk) = 0, то uk - стационарное управление. Если же (uk) > 0; то построим однопараметрическое семейство управлений (8). Параметр " затем выбирается из условия I(uk(t; ")) < I(uk). Выберем "k, например, в соответствии с методом наискорейшего спуска

и положим uk+1 = uk(t; "k): Построенная таким образом последовательность управлений uk является невозрастающей последовательностью, а однопараметрическое семейство вариаций

управления uk удовлетворяет условиям а) в) § 6.1. Действительно, для приращения функционала имеем (см. § 3.3)

Tk(")

удовлетворяет условию б). Условия а), в)[ссылка на условия]выполняются по построению. При этом в качестве допустимой вариации 4u по которой строится однопараметрическое семейство вариаций (10), рассматривается вектор-функция

4uk = 4"ukj"=T = uk(t) uk(t):

При условии, что o(uk; ") имеет более высокий порядок малости, чем ", равномерно по всем uk; k = 1; 2; : : : по теореме 6.1 [Ссылка] следует (uk) ! 0, при k ! 1 Вопросы построения рассмотренных выше множеств Tk(") подробно рассмотрены в работах [25; 70; 96; 112]. Отметим, что возможны и другие способы направленного улучшения неоптимального управления на основе принципа максимума [15, 16, 24, 32, 52, 53, 73, 91, 93, 114]. Рассмотрим следующую процедуру улучшения управления uk(t). Для функции (6) по построению имеем !k(t) 0; t 2 T0. В случае, если !k(t) = 0 при почти всех t 2 T0 управление uk(t) является стационарным управлением. Выделим точку k 2 T0, такую, что !k( k) > 0. Предполагаем, что k - точка непрерывности управлений uk(t) и uk(t). Построим по точке k множество Tk("):

Управления uk(t; ") построим по формуле (8). Так как при достаточно малых "

где !k( k) > 0, то уменьшение значения функционала I(u) гарантировано и рассмот-

123

ренная схема улучшения управления является корректной. Отметим, что в качествеk можно брать, например, точку максимума функции (6) на T0 [96]. Отметим, что в случае, если управление входит в правую часть уравнения (6.1) [ссылка]линейно, а ограничения имеют вид типа juij 1; i = 1; r, то из принципа максимума следует вид оптимального управления. А именно оптимальные управления есть кусочнопостоянные вектор-функции. Учитывая это, оптимальное управление можно искать сразу в этом классе функций и задачу поиска оптимального управления рассматривать как задачу параметрической оптимизации, используя выражения для производных функционала по точкам переключения (см. § 3.7) [15, 16, 79, 80, 84, 85]. Следует также отметить, что построение методов последовательных приближений может быть основано на рассмотрении уравнений с частными производными, с использованием которых были получены формулы для полного приращения минимизируемого функционала и его вариации.

124