ТУ - лекции Шмырова / Лекции по ТУ / 27

Лекция 27. Методы спуска на основе первой вариации функционала.

Рассмотрим следующую задачу оптимального управления:

Здесь, как и ранее, u 2 D, D класс кусочно-непрерывных íà T0, вектор-функций, u(t) 2 U, t 2 T0 = [t0; T ], t0; T фиксированы.

Сформулируем следующие условия на параметры задачи (1), (2).

À. Вектор-функция f(t; x; u) и функция '(t; x; u) определены и непрерывны по

совокупности своих аргументов на T0£-£U вместе с частными производными @f=@x, @'=@x; функция g(x) непрерывна в множестве - и имеет непрерывную производную @g=@x; множество U компактно в пространстве Rr; - область в Rn.

Á. Дополнительно к условиям A предположим, что существует и непрерывна производная @f=@u; U выпуклое множество.

Для функционала (2) было получено следующее представление приращения:

В зависимости от условий A и и вида вариации управления вариацию ±I(u; ¢u) представим либо в виде неклассической вариации

При этом в случае игольчатой вариации ¢u = ¢u", а в случае классической вариации ¢u = "±u. При этом величина ¹ имеет порядок ".

Будем говорить, что функция !(®) является строго положительной при ® > 0,

Предполагаем далее, что при всяком допустимом управлении u = u(t) и допустимой вариации ¢u = ¢u(t) возможно построение однопараметрического семейства вариаций, обозначаемого через ¢"u, такого, что:

à) ¢"u является¯ допустимой вариацией при " 2 [0; "^], "^ > 0, ïðè ýòîì

¢"u¯"=^"= ¢"^u = ¢u;

115

Функционал ¯(u) введем следующим образом:

Будем говорить, что управление u0 = u0(t) есть стационарное управление, если выполняется равенство ¯(u0) = 0.

Будем предполагать, что величина o(u; ") имеет равномерно по u 2 D более вы-

сокий порядок малости, чем ".

Построим следующий алгоритм определения стационарных управлений. Пусть u1 = u1(t) допустимое управление. Фиксируем некоторое "^ > 0 и вычислим ¯(u1).

Допустим, что

ãäå ¢u вариация, на которой достигается супремум¯ (8). По вариации ¢u построим однопараметрическое семейство вариаций ¢"u¯"=^"= ¢u,удовлетворяющее условиям a) в). Очевидно, что тогда из этих условий вытекает существование "¹ 2 [0; "^], такого,

÷òî

(11)

Более того, найдем такое "0, ÷òî

Учитывая (13), имеем I(u2) < I(u1).

Для управления u2 можно повторить те же построения, что и для управления u1. В случае, если ¯(u2) = 0, полагаем u3 = u2. Следовательно, повторяя этот процесс,

116

мы получим последовательность управлений

Последовательность управлений, для которой имеют место неравенства (16), будем называть невозрастающей последовательностью для функционала (2).

Рассмотрим поведение функции ¯(u) на этой последовательности.

Теорема 1 Пусть функционал (2) ограничен снизу и пусть построена последовательность управлений (15) по указанному ранее алгоритму. Тогда ¯(uj) ¡¡¡! 1.

j!1

Доказательство Предположим, что теорема неверна. Тогда существуют ¯0 > 0 и подпоследовательность управлений fujg последовательности (15), на которой выпол-

Пронумеруем эту подпоследовательность заново: считаем в дальнейшем j = 1; 2; : : :.

По построению каждому управлению uj соответствует однопараметрическое семей-

ство вариаций ¢u"uj, удовлетворяющих условиям a) в). Поэтому согласно (9) для приращения функционала имеем

причем, так как o(u; ") íà (9) более высокого порядка малости, чем ", равномерно по управлениям u 2 D, то существует "~ 2 [0; "^], такое, что

для всякого uj из указанной подпоследовательности при " 2 [0; "~].

Выпишем с учетом неравенств (17) è (19) следующую цепочку неравенств:

Это означает, что для произвольного j = 1; 2; : : : имеем

"~

I(uj+1) ¡ I(uj) · ¡2!(¯0);

или, суммируя по j îò l äî k, получаем

¡k"~

I(uk+1) · I(u1) + 2 !(¯0):

Отсюда следует, что I(uk) ¡¡¡! ¡1, но это противоречит ограниченности снизу

k!1

функционала I(u).

117

Замечание 1 Отметим, что при доказательстве теоремы существенно предположение о том, что величина o(u; ") из соотношения (9) имеет более высокий

порядок малости, чем ", равномерно по u 2 D. Однако на самом деле используется только равномерность по управлениям из последовательности fujg. Вопросы,

связанные с возможностью построения такой последовательности, на которой o(uj; ")=" ¡¡!0 равномерно по uj, рассмотрены, например, в работах [].

"!0

Выбор вариации ¢u,способ построения по ней однопараметрического семейства ва-

риаций ¢"u и алгоритм минимизации в одномерном направлении (по ") определяют

тот или иной метод спуска. В каждой конкретной задаче он обусловлен, например, ресурсами ЭВМ, простотой вычислительных схем и, естественно, тем результатом, который ожидается, и за какое время.

118