ТУ - лекции Шмырова / Лекции по ТУ / 24

Лекция 24. Оптимальное демпфирование переходных процессов. Примеры.

Теорема об управлении оптимальном по быстродействию.

Рассмотрим управляемую систему.

Пусть задана начальная точка x0 и момент t0. Тогда каждому управлению u 2 G (G некоторое множество, например, кусочно-непрерывных вектор-функций) отве- чает движение

проходящее через точку x0 ïðè t = t0. Пусть S некоторая поверхность в пространстве переменных t; x1; : : : ; xn, задаваемая уравнением

Задача управления пусть состоит в выборе u 2 G так, чтобы в некоторый момент

t1 интегральная кривая (2) системы (1) достигла поверхности S (3) при этом управлении (u1; : : : ; ur) и фазовые координаты (x1; : : : ; xn) удовлетворяли ограничениям

(Vj могут быть, в частности, функционалами). Но хотя мы имеем некоторый про-

цесс (уравнения движения) и условия его протекания (ограничения, начальное и конечное состояния), задача выбора управляющих параметров процесса может не иметь однозначного решения. Рассмотрим еще функцию V (t; x1; : : : ; xn), которая

определяет в каком-либо смысле расстояние от переходного процесса (движущейся точки (2)) до желаемого его конечного состояния (поверхности S). Пусть роль

системы управления сводится к тому, чтобы это расстояние уменьшать. Тогда естественным становится понятие об оптимальном управлении по отношению к демпфированию функции V .

Определение 1. Управление u0 = fu01; : : : ; u0rg называется оптимальным по отношению к демпфированию функции V , если эта функция V убывает вдоль траектории

x(t; u0) = x0(t), соответствующей этому управлению, наибольшим образом. Вычислим значение функции V на движении (2) и найдем полную производную

ïî t от полученной функции. Будем иметь

Оптимальное управление по отношению к демпфированию функции V необходимо доставляет наименьшее возможное отрицательное значение функции W (t; x; u)

102

среди всех допустимых управлений (управлений, которые переводят точку x0 íà ïî- верхность S и при этом удовлетворяют ограничениям (4))

Пример 1. Рассмотрим линейную систему

Будем считать элементы матрицы A = fasig постоянными вещественными числами,

à B = fbsjg либо вещественными постоянными, либо функциями времени. Предположим, что при положение равновесия x = 0 асимп-

тотически устойчиво по Ляпунову. Тогда существует положительно определенная квадратичная форма V , удовлетворяющая уравнению

и притом единственная.

Будем считать, что функция V определяет расстояние интегральной кривой си-

стемы (6) до точки x = fx1; : : : ; xng = 0. Построим управление u, оптимальное к демпфированию функции V , т. е. управление (u1; : : : ; ur) необходимо выбрать так, чтобы функция V убывала наибольшим образом вдоль траектории системы (6).

Предположим, что (u1; : : : ; ur) удовлетворяет условию

Правые части системы оказываются разрывными, и поверхности их разрыва определяются уравнениями

В системе (11) возникает, вообще говоря, непродолжимость движений через поверх-

ности разрыва (12). В физических системах за счет инерционности происходят малые вибрации около поверхности разрыва.

103

Пример 2. Рассмотрим движение точки в фазовом пространстве с постоянной по величине и управляемой по направлению скоростью

Управление, оптимальное по отношению к демпфированию функции V , определяется путем нахождения наименьшего возможного значения функции

Покажем, что при управлении (16) движущаяся точка из любой заданной точки

x = fx01; : : : ; x0ng попадает в начало координат. Система (13) при управлении (16) имеет вид

Интегрируя уравнения (18), найдем r = ¡t¹ + r0. Следовательно, движущаяся точка попадает в начало координат в момент

Легко показать, что t¹ является наименьшим возможным временем, за которое движущаяся точка может из точки попасть в начало координат.

104

Таким образом, в данном случае управление u0, оптимальное по отношению к

демпфированию функции V , является одновременно оптимальным по быстродействию.

Определение 2. Управление напзывается оптимальным по

быстродействию, если среди управлений, переводящих начальную точку x¹ на поверхность (в частности, начало координат), оно доставляет времени перехода

наименьшее возможное значение.

Теорема 1. Пусть: ) управление u = fu01; : : : ; u¹0rg является оптимальным по отношению к демпфированию функции V (t; x); 2) функция V (t; x) вещественна, непре-

рывна и положительна при всех t; xs; s =; : : : ; n, за исключением V (t; x) = 0 ïðè

S(t; x1; : : : ; xn) = 0 (на поверхности); 3) функция V (t; x) непрерывно дифференциру-

ема вдоль движения системы (1) при любом управлении u 2 G, причем dvdt = ¡1 при управлении u0 - оптимальном в смысле демпфирования функции V (t; x).

Тогда управление u0 и соответствующее ему движение x0(t) = x(t; x0; u0; t0) будут оптимальными по быстродействию.

Доказательство. Покажем сначала, что интегральная кривая системы (1) при управлении u = u0 достигает поверхности S. Иначе говоря, управление u0 переводит

систему из состояния x0 на поверхность S за время t1. По условию теоремы вдоль движения x0(t) имеет место равенство dVdt = ¡1. Интегрируя его по t, найдем

V (x(t); t) = V (x0; t0) + t0 ¡ t:

Так как функция V (t; x) не принимает отрицательных значений и только на по-

верхности S обращается в ноль, то существует такой момент t1 = t0 + V (x0; t0), ÷òî

x0(t1) = x(t1; x0; u0; t0) 2 S.

Пусть время T = t1 ¡ t0 = V (x0; t0) будет не оптимальным по быстродействию. Тогда существует управление u~ 2 G, переводящее точку x0 на поверхность S за время

T ¤ = t¤1 ¡ t0, причем T ¤ < T .

Так как управление u0 - оптимальное по отношению к демпфированию функции V (t; x), то для любого другого управления u~ и соответствующего ему движения

t0

откуда

Zt¤1

T ¤ ¡ T = ®(t)dt; ¸ 0;

t0

105

что противоречит предположению.

¥

106