ТУ - лекции Шмырова / Лекции по ТУ / 32

Лекция 32. Управление пучком траекторий в линейном случае.

Рассмотрим функционал

Z T Z Z

I(u) = '(t; xt; u(t; xt))½(t; xt)dxtdt + g(xT )½(T; xT )dxT ; (1)

0 Mt;u Mt;u

заданный на сечениях пучка траекторий системы (??), исходящих из множества M0 ½ Rn, и учитывающий плотность распределения траекторий. Считаем, что на-

чальная плотность ½(0; x) = ½0(x) задана. Далее полагаем

g= x¤£0x + x¤ª0;

'= x¤A(t)x + u¤B¤(t)x + x¤B(t)u + u¤C(t)u + x¤A1(t) + u¤C1(t);

ãäå A; B; C; £0 матрицы, A1; C1; ª0 векторы соответствующих размерностей.

Предполагаем также, что £0 постоянная матрица, ª0 постоянный вектор, а

компоненты остальных упомянутых матриц и векторов определены и непрерывны на [0; T ]. Считаем также, что матрицы A è C симметричны и квадратичная форма

u¤Cu является положительно определенной, т.е. существует постоянная c > 0, такая,

Управление вида u = Mx + N(t), где матрица M(t) и вектор N(t) имеют веществен-

ные и непрерывные компоненты, определенные на [0; T ], называют оптимальным по

отношению к функционалу (3), если оно доставляет этому функционалу наименьшее возможное значение на любом движении x = x(t; x0; u), x = x0 ïðè t = 0 [?].

Введем матрицу £(t) и вектор ª(t), удовлетворяющие уравнениям

при конечных условиях

Имеет место следующая теорема В.И.Зубова [?]:

135

Теорема 1 Для того, чтобы существовало оптимальное управление в системе (??) в смысле функционала (3), необходимо и достаточно, чтобы уравнение (4) с начальным условием (6) имело решение, непрерывное при t 2 [0; T ], ïðè ýòîì

оптимальное управление представимо в форме

где вектор ª(t) удовлетворяет уравнению (5) с начальным условием (7).

Из теоремы 1 и представления (2) для функционала (1) следует, что управление, оптимальное по отношению к функционалу (3), является оптимальным и по отношению к функционалу (1).

Дадим еще одно представление функционала (1), позволяющее обойтись без интегрирования по сечениям пучка траекторий в функционале (1) или без интегрирования по множеству M0 в функционале (2) и сводящее бесконечномерную задачу к

конечномерной.

Введем следующие характеристики пучка:

Z

D(t) = (xt ¡ x(t))¤(xt ¡ x(t))½(t; xt)dxt:

Mt;u

Здесь ½ масса (заряд) частиц; x(t) центр тяжести пучка; D(t) матрица вторых

моментов. Изменение x(t) è D(t) в силу системы (??) при управлении u = Mx + N описывается уравнениями

с начальными условиями x(0) = x0, D(0) = D0. Функционал (1) можно записать теперь в виде

+ Sp(£0D(T )) + ½(x¤(T )£0x(T ) + x¤(T )ª0(T ));

ãäå u = Mx(t) + N(t), x(t) è D(t) определяются уравнениями (10), (11).

Таким образом, управление, оптимальное по отношению к функционалу (3), является оптимальным и по оòношению к функционалу (12). Особый интерес здесь представляет случай, когда x(t) ´ 0.

Замечание 1 Пусть sii(t) диагональные элементы матрицы G¡1(t), удовлетворяющей уравнению (??). Нетрудно показать (см. ??), ÷òî sii(t) равны квадратам

136

максимальных отклонений xi ¡ xi(t) на эллипсоиде (??), ò.å.

137