1 практика геометрия
.pdf
А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я векторы
ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru
Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики – процессов управления
Санкт-Петербург 2013г.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) |
2013г. 1 / 11 |
Основные определения I
Определение
Вектором (геометрическим вектором) называется отрезок, для которого
указано, какая из его граничных точек является начальной и какая конечной.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) |
2013г. 2 / 11 |
Основные определения II
Определение
Длина или модуль вектора, есть длина соответствующего отрезка,
определяющего данный вектор.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) |
2013г. 3 / 11 |
Основные определения III
Определение
Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают.
Определение
Вектор называется единичным, если его длина равна единице в принятой
системе измерения.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) |
2013г. 4 / 11 |
Основные определения IV
Определение
Векторы называются компланарными, если они расположены в одной плоскости
или в параллельных плоскостях.
Определение
Векторы коллинеарны, если они лежат либо на одной прямой, либо на
параллельных прямых.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) |
2013г. 5 / 11 |
Основные определения V
Определение
Коллинеарные векторы одинаково направлены (сонаправлены), если у векторов,
имеющих общее начало и длины, равные длинам исходных векторов, и расположенных на прямой, параллельной прямым, на которых находятся исходные векторы, концы расположены по одну сторону от общего начала. В противном случае коллинеарные векторы противоположно направлены.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) |
2013г. 6 / 11 |
Основные определения VI
Определение
Ортом произвольного ненулевого вектора называют единичный вектор,
коллинеарный исходному и имеющий то же направление, что и исходный вектор.
Определение
Векторы равны, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое
направление.
Определение
Векторы противоположны, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину, но |
направления их противоположны. |
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) |
2013г. 7 / 11 |
Сумма векторов
Определение
Суммой векторов, следующих друг за другом, называется вектор, начало
которого совпадает с началом первого вектора, а конец с концом последнего вектора.
→− |
−−→ |
−→ |
−−→ |
−−→ |
−→ |
−−→ |
|
|
s |
= AK |
= AB |
+ BC |
+ CD |
+ DL |
+ LK |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение
Суммой произвольно расположенных векторов называется сумма векторов, следующих друг за другом, построенных, начиная с некоторой точки O, и
равных соответственно данным векторам.
Свойства суммы векторов
1 |
→− |
|
→− |
|
→− |
→− |
|
|
a |
+ b |
= b |
+ a (коммутативность); |
|||||
2 |
→− |
→− |
→− →− |
→− |
→− |
|||
( a |
|
+ b ) + c = a |
+ ( b |
+ c ) (ассоциативность); |
||||
3 |
→− |
|
→− |
|
→− |
(нулевой вектор); |
||
a |
+ 0 |
= a |
||||||
4 |
→− |
|
|
→− |
|
→− |
|
|
a |
+ (− a ) = 0 (свойство противоположного вектора). |
|||||||
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) |
2013г. |
8 / 11 |
Произведение вектора на число
Определение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
→− |
|
|
|
|
|
Произведением вектора a на вещественное число α называется вектор |
|
|
||||||||||
→− |
→− |
|
|
|
|
|
|
|
→− |
→− |
, |
|
p |
= α a , определяемый следующим образом: вектор p коллинеарен вектору |
a |
||||||||||
имеет направление вектора |
−→ |
|
|
|
|
|||||||
a , если α > 0, и направление, противоположное |
|
|
||||||||||
|
→− |
|
|
|
|
→− |
→− |
|
|
|
||
вектору |
a , если α < 0, при этом | p |
| = |α| · | a |. |
|
|
|
|||||||
Теорема. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
−→ |
−→ |
|
|
|
|
Если ненулевые векторы a |
и b коллинеарны, то любой из них представим |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→− |
→− |
|
|
через другой, т. е. найдётся такое число α =6 0, что вектор b |
= α a . |
|
|
|||||||||
Свойства произведения вектора на число |
|
|
|
|||||||||
1 |
→− |
|
|
→− |
(ассоциативность); |
|
|
|
||||
λ(µ a ) = (λµ) a |
|
|
|
|||||||||
2 |
(λ + |
|
|
→− |
|
→− |
→− |
|
|
|
|
|
µ) a |
= λ a + µ a (дистрибутивность относительно суммы чисел); |
|
|
|||||||||
3 |
→− |
+ |
→− |
|
→− |
→− |
|
|
|
|
|
|
λ( a |
b ) = λ a |
+ λ b (дистрибутивность относительно суммы векторов); |
|
|
||||||||
|
→− |
|
→− |
(свойство единицы). |
|
|
|
|
||||
4 |
1 · a |
|
= a |
|
|
|
|
|
||||
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) |
|
|
2013г. 9 / 11 |
|||||||||
Деление вектора в заданном отношении I
Определение
|
|
|
−→ |
в отношении λ =6 −1, |
|
Точка M , не совпадающая с точкой B, делит вектор AB |
|||||
если |
−−→ |
−−→ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
AM |
= λM B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
→− →− |
→− →− |
|
→− |
|
→− |
|
|
→− |
|
|
|
|
|
||
или |
|
r |
A + λ r |
B |
|
|
|
|
|
||||||
r M − r |
A = λ( r B − r M ) |
r |
M = |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
1 + λ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если M лежит внутри отрезка AB, то λ > 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если M лежит вне отрезка AB, то λ < 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если M совпадает с A, то λ = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2013г. 10 / 11 |
|||||