
Геометрия
Часть I
-
ВЕКТОРЫ. Сложение векторов и умножение вектора на число. Коллинеарность и компланарность. Координаты вектора в аффинной системе координат. Скалярное и векторное произведения. Свойства, геометрический смысл этих произведений и их выражение в координатах.
Вектором называется
направленный отрезок АВ с начальной
точкой А и конечной точкой В, который
обозначается символом
или одной строчной буквой
(рис.
3.1).
Длиной
(или модулем) вектора
называется число, равное длине отрезка,
изображающего вектор. Записи
и
обозначают модули векторов
и
соответственно. Вектор
,
длина которого равна единице, называется
единичным вектором, или ортом: орт
обозначается
.
Вектор, у которого
начало и конец совпадают, называется
нулевым и обозначается символом
.
Длина такого вектора равна нулю и ему
можно приписать любое направление.
Векторы
и
,
расположенные на одной прямой или на
параллельных прямых, называются
коллинеарными (
).
Два вектора
называются равными (),
если они: 1) имеют равные модули; 2)
коллинеарны; 3) направлены в одну сторону.
Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства. В этом случае вектор называется свободным.
Векторы называются компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях.
Рассмотрим линейные операциями над векторами.
Произведением
вектора
на действительное число
называется вектор
,
длина которого
,
а направление совпадает с
,
если
, и противоположно
,
если
.
Из определения следует, что векторы
и
всегда расположены на одной или на
параллельных прямых. Следовательно,
равенство
(2.1)
выражает условие коллинеарности двух векторов.
Противоположным
вектором
называется произведение вектора
на число
,
т.е.
.
Если
,
то орт вектора
находится по формуле
.
(2.2)
Суммой двух векторов
и
называется вектор
,
который идет из начала вектора
в конец вектора
при условии, что вектор
приложен к концу вектора
(рис. 3.2, а) (правило треугольника).
Очевидно, что вектор
в этом случае представляет диагональ
параллелограмма, построенного на
векторах
и
(рис. 3.2, б) (правило параллелограмма).
Аналогично
определяется сумма нескольких векторов:
если векторы
,
,…,
образуют ломаную
,
то суммой этих векторов является вектор
,
замыкающий эту ломаную (рис. 3.2, в) (правило
многоугольника).
В частности, если
ломаная замыкается, т.е.
,
то сумма ее звеньев равна нулевому
вектору
.
Р
азностью
двух векторов
и
называется вектор
,
являющийся суммой векторов
и
.
Отметим, что вектор
направлен к концу вектора
,
если
и
приведены к общему началу ( рис. 2.2,
б).
Введенные операции
умножения вектора на число и сложения
векторов называются линейными и
удовлетворяют (
и
)
следующим свойствам:
1о.
;
2о.
;
3о.
;
4о.
;
5о.
;
6о. 1
=
;
7о.
;
8о.
(
)
=
+
.
Скалярное и векторное произведения. Свойства, геометрический смысл этих произведений и их выражение в координатах.
Скалярным
произведением двух векторов
и
(обозначается
)
называется число, равное произведение
модулей перемножаемых векторов на
косинус угла
между ними (рис. 3.6). Таким образом, по
определению
.
(2.16)
Так как произведение
есть проекция вектора
на ось, определяемую вектором
(обозначается
),
и
- проекция вектора
на ось вектора
(обозначается
),
то из (3.16) следует, что
.
(2.17)
Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из векторов, умноженному на проекцию на него другого вектора. Из (3.17) находим выражения для проекции одного вектора на направление другого:
(2.18)
В частном случае,
если
,
то
(2.19)
Проекция вектора на единичный вектор равна скалярному произведению этих векторов.
Рассмотрим некоторые свойства скалярного произведения.
1о. Скалярное произведение коммутативно:
.
2о. Скалярное произведение ассоциативно относительно скалярных множителей:
3о. Скалярное произведение дистрибутивно относительно суммы векторов:
.
4о.
(либо
,
либо
,
либо
).
Таким образом, условием ортогональности
(перпендикулярности) двух ненулевых
векторов
и
является равенство нулю их скалярного
произведения, т.е.
Рассмотрим теперь скалярное произведение вектора самого на себя. Такое произведение называется скалярным квадратом вектора:
.
Таким образом,
,
(2.20)
т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.
Найдем выражение
скалярного произведения через проекции
перемножаемых векторов. Координатные
орты
имеют длины, равные единице, т.е.
.
Далее, так как эти векторы взаимно
ортогональны, то
.
Пусть даны два
вектора
и
.
В таком случае
,
(2.21)
т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме парных произведений их одноименных координат.
В частности, положив
в (2.21)
,
найдем
.
Отсюда следует, что
.
(2.22)
Используя
координатную форму скалярного
произведения, получаем, что условие
ортогональности ненулевых векторов
и
имеет вид
.
(2.23)
Выражая скалярное
произведение и модули векторов через
их проекции по формулам (3.21) и (3.22), получим
формулу для нахождения косинуса угла
между векторами:
.
(2.24)
Пусть дан вектор
и ось l, которая составляет с базисными
векторами
соответственно углы
.
Найдем
.
Для этого зададим направление оси l
ортом
.
Тогда, согласно (2.19)
.
(2.25)
Будем предполагать, что в пространстве R3 выбрана правая система декартовых прямоугольных координат {0, i, j, k}.
Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор c, который определяется следующими тремя условиями:
1. Длина вектора c численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, т. е. c = a b sin (a^b).
2. Вектор c перпендикулярен к каждому из векторов a и b.
3. Векторы a, b и c, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку.
Для векторного произведения c вводится обозначение c = [ab] или c = a b.
Если векторы a и b коллинеарны, то sin(a^b) = 0 и [ab] = 0, в частности, [aa] = 0. Векторные произведения ортов: [ij] = k, [jk] = i, [ki] = j.
Если векторы a и b заданы в базисе i, j, k координатами a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), то
[ab]
=
=i
(a2b3 - a3b2) - j
(a1b3 - a3b1) + k
(a1b2 - a2b1).
Если векторное произведение двух векторов а и b скалярно умножается на третий вектор c, то такое произведение трех векторов называется смешанным произведением и обозначается символом a b c.
Если векторы a, b и c в базисе i, j, k заданы своими координатами a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), c(c1, c2, c3), то
abc
=
.
Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование - это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах.
Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение есть число положительное, равное указанному объему; если же тройка a, b, c - левая, то a b c<0 и V = - a b c, следовательно V = a b c .
Координаты векторов, встречающиеся в задачах первой главы, предполагаются заданными относительно правого ортонормированного базиса. Единичный вектор, сонаправленный вектору а, обозначается символом ао. Символом r=ОМ обозначается радиус-вектор точки М, символами а, АВ или а , АВ обозначаются модули векторов а и АВ.
-
ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ. Теорема о параметрическом уравнении прямой в пространстве. Теорема об общем уравнении плоскости в пространстве. Нормальный вектор и теорема о расстоянии от точки до плоскости.
В аналитической геометрии линия на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y)=0. При этом на функцию F должны быть наложены ограничения так, чтобы, с одной стороны, это уравнение имело бесконечное множество решений и, с другой стороны, чтобы это множество решений не заполняло “куска плоскости”. Важный класс линий составляют те, для которых функция F(x,y) есть многочлен от двух переменных, в этом случае линия, определяемая уравнением F(x,y)=0, называется алгебраической. Алгебраические линии, задаваемые уравнением первой степени, cуть прямые. Уравнение второй степени, имеющее бесконечное множество решений, определяет эллипс, гиперболу, параболу или линию, распадающуюся на две прямые.
Пусть прямая в аффинной системе координат Oxy определяется уравнением
Ax + By +C = 0. (1)
Теорема. Точки М1(x1, y1) и М2(x2, y2) принадлежат разным полуплоскостям относительно прямой l тогда и только тогда, когда
(Ax1 + By 1+C)(Ax2 + By 2+C) < 0. (2)
Доказательство.
Предварительно заметим, что точка М0(x0,
y0)
являетяс внутренней точкой отрезка
[М1М2]
тогда и только тогда, когда
,
где 0 < t < 1, т.е. x0
= x1
+ tx2,
y0
= y1
+ ty2,
0 < t <1. Точки М1(x1,
y1)
и М2(x2,
y2)
принадлежат разным полуплоскостям
тогда и только тогда, когда существует
точка М0(x0,
y0),
общая для прямой l и отрезка [М1М2],
причем точка М0
является внутренней точкой отрезка
[М1М2],
т.е.
С учетом очевидного тождества С = tC + (1 - t)C получим, что точки М1, М2 принадлежат разным полуплоскостям тогда и только тогда, когда существует число t такое, что t(Ax1 + By 1+C) + (1 - t)(Ax2 + By 2+C) = 0, 0 < t <1, или в обозначениях Ax1 + By 1+C = F1, Ax2 + By 2+C = F2, (1 -t)F1 + tF2, 0 < t < 1. Это равносильно тому. что F1F2 < 0. Теорема доказана.
Итак, для координат (x, y) всех одной полуплоскости выполняется неравенство Ax + By +C > 0, а другой − неравенство Ax + By +C < 0. Полуплоскость, для точек М(x, y) которой Ax + By +C > 0, называется положительной полуплоскостью относительно уравнения (6.1.1) прямой l и обозначается символом π+, а полуплоскость, для точек которой Ax + By +C < 0, − отрицательной полуплоскостью и обозначается π-.
Теорема об общем уравнении плоскости в пространстве
Пусть плоскость π в аффинной системе координат Oxyz определяется уравнением
Ax + By +Cz + D = 0. (1)
Теорема 6.4. Точки М1(x1, y1, z1) и М2(x2, y2, z2) принадлежат разным полупространствам относительно плоскости π тогда и только тогда, когда
(Ax1 + By1+Cz1 + D)(Ax2 + By 2+Cz2 + D) < 0. (1)
Доказательство теоремы аналогично доказательству предыдущей теоремы
Полупространство, для точек М(x, y, z) которого Ax + By +Cz + D > 0, называется положительнsv полупространством относительно уравнения (1) плоскости π, а полупространство, для точек которого Ax + By +Cz + D < 0, − отрицательным полупространством.
Расстояние от точки до плоскости.
Теорема 6.6. В прямоугольной декартовой системе координат Oxyz расстояние от точки М0(x0, y0, z0) до плоскости) определяется формулой
(1)
Угол между плоскостями. Пусть плоскости π1 и π2 заданы уравнением
πi : Axi + Byi+Czsub>i + D = 0, Ai2 + Bi2 + Ci2 ≠ 0, i = 1, 2, (2)
Вообще говоря, две пересекающиеся
плоскости π1
и π2
образуют два угла, в сумме равные π.
Достаточно определить один из них. Так
как векторы нормали n1
и n2
перпендикулярны плоскостям, то угол φ
=
совпадают
с одним из углов между плоскостями π1
и π2.
угол
φ между плоскостями (2), совпадающий с
углом между их нормалями, определяются
формулой
. В частности, плоскости π1 и π2 перпендикулярны тогда и только тогда, когда A1A2 + В1В2 + С1С2 = 0.
|