21. Выразимые предикаты. Элиминация кванторов.

Пусть – модель (где– носитель,– сигнатура),–п-местный предикат на множестве Мы будем говорить, что предикат выразим в данной модели, если существует формула логики первого порядка такая, что

Рассмотрим в качестве примера модель , гдеN – множество натуральных чисел, дополненное нулём, равенство “=” понимается как совпадение элементов, а – функция следования, т.е.Как выразить в этой модели предикатыОтвет очевиден: первый предикат можно выразить формулойа второй – формулойКонечно, не все предикаты в этой модели являются выразимыми, хотя бы потому, что всех формул сигнатурысчётное число (если алфавит предметных переменных счётный), а все предикаты на множествеN образуют континуальное множество.

Приведём теперь примеры невыразимых предикатов. Простейшим примером служит предикат в модели . Действительно, интуитивно ясно, что если в сигнатуре нет арифметических операций, то все элементы множества Z равноправны и отличить число 0 от других чисел невозможно. Разумеется, эти рассуждения не доказывают невыразимость предиката Приведём строгое доказательство этого факта. Докажем индукцией по длине формулы, что истинность или ложность формулы не изменится, если значения всех предметных переменных увеличить на 1. Это очевидно для атомарных формул, так как они имеют видилиПредположим, что истинность или ложность формулине изменяется при увеличении значений свободных переменных на 1. Понятно, что то же будет верно для формулиЕсли формулаимеет види она истинна на наборето для любогоформулаистинна. По предположению индукцииистинна. Так какпроизвольно, тоистинна. Аналогично рассматривается случай, когдаимеет видИтак, мы доказали, что истинность или ложность формулы в не изменяется при сдвиге Если бы предикатбыл выразим, то его истинность совпадала бы с истинностью предикатаа это не так. Значит, предикатнельзя выразить формулой в.

Приведённый выше метод доказательства невыразимости предиката называется методом автоморфизмов. Автоморфизмом модели называется взаимно однозначное отображениесохраняющее значения истинности всех формул. В предыдущем примере автоморфизмом было отображение

Две формулы УИП мы будем называть эквивалентными, если они имеют один и тот же набор свободных переменных и значения истинности этих формул будут одинаковы, какие бы значения из множества мы ни придали свободным переменным.

Оказывается, в некоторых моделях для всякой формулы УИП, содержащей кванторы, существует эквивалентная ей формула без кванторов. В этом случае мы будем говорить, что модель допускает элиминацию кванторов.

Теорема. Модель где = – отношение равенства,– унарная операция и 0 – нульарная операция, допускает элиминацию кванторов.Доказательство. Индукция по количеству кванторов в формуле. От квантора в любой формуле можно избавиться, заменив формулуна эквивалентную ей формулуТаким образом, нам достаточно доказать, что формулагдене содержит кванторов, имеет эквивалентную ей бескванторную формулу. Формулаполучается из атомарных формул с помощью логических связок. Атомарные формулы, содержащие переменнуюимеют видилиили

Формула первого типа либо тождественно истинна, либо тождественно ложна, поэтому её можно заменить на эквивалентную формулу, не содержащую илиФормулы второго и третьего типов можно кратко записать в видегдеили(– константа, не обязательно положительная),

Рассмотрим формулу

Очевидно, что если формула истинна на каком-либо наборето формулатакже истинна на этом наборе. Обратное в общем случае неверно, так какможет быть сделана истинной, когдадля некоторогоотличного от всехНо тогда все атомарные формулыложны. Заменим каждую из этих формул на какую-нибудь тождественно ложную формулу и обозначим полученную формулу черезТогда формулабудет эквивалентна формуле