15. Кардинальные числа. Мощность множества.

Кардинальным числом(иликардиналом) называется наименьший ординал заданной мощности.

Заметим, что по теореме 1: в любой совокупности ординалов есть наименьший, поэтому наше определение корректно.

Вообще говоря, кардинальное число можно отождествить с мощностью, которую оно представляет. Действительно, взаимно однозначное соответствие между кардинальными числами и мощностями очевидно. В ряде учебников мощность множества определяется как наименьший ординал, эквивалентный данному множеству. Мы будем в дальнейшем отождествлять кардинальное число с соответствующей мощностью. В частности,

Некоторые из ординальных чисел являются мощностями, некоторые – нет. Например, все натуральные числа 0, 1, 2, ... – мощности, – мощность. Однаконе являются мощностями. Нетрудно видеть, что всякая бесконечная мощность является предельным ординалом. Действительно, пусть– бесконечный непредельный ординал. Тогдадля некоторогоТак какбесконечен, тоЗначит,не может быть мощностью.

Пусть и– ординальные числа. Определим с помощью трансфинитной индукции числоА именно, положимдля предельного ординалаТаким образом мы можем построить ординалыи т.д.

%% Принцип трансфинитной индукции. Пусть – некоторое свойство ординальных чисел. Предположим, что наименьший ординал 0 обладает свойствоми для каждого ординалаесли всеобладают свойствомтообладает свойствомТогда свойствомобладают все ординальные числа.

Доказательство. Пусть верно не для всех ординаловТогда существует наименьший ординалдля которогоневерно. Так как– наименьший, то всеобладают свойствомНо тогда иобладает свойствомчто противоречит выбору%%

Теорема 5. В любой совокупности каких-либо множеств есть множество, наименьшее по мощности.

Доказательство.Пусть– совокупность множестви– их мощности. Тогда по теореме 1 средиесть наименьшее. Соответствующее множествобудет иметь наименьшую мощность.

Ранее мы видели, что Оказывается, что аналогичное равенство справедливо для любой бесконечной мощности.

Определим теперь для каждого порядкового числа мощностьВоспользуемся трансфинитной индукцией. Положим(это известно из предыдущего),а если– предельный ординал, то

Вопрос о том, верно ли равенство является достаточно тонким. Предположение о том, чтоназывается гипотезой континуума (continuumhypothesis). Часто эту гипотезу формулируют немного иначе:

(СН) Континуум-гипотеза: не существует мощности удовлетворяющей условию

Следующее утверждение является усилением континуум-гипотезы.

(GCH) Обобщённая континуум-гипотеза: каково бы ни было ординальное числоне существует мощностиудовлетворяющей неравенству

Гипотеза континуума была сформулирована ещё в XIXвеке Г.Кантором. Многие математикиXIX–XXвеков пытались её решить, но попытки оказывались неудачными. Лишь в 1964 году американскому математику Дж.Коэну удалось решить эту проблему. Ответ оказался неожиданным: гипотезу континуума невозможно ни доказать, ни опровергнуть.

16. Теорема Кантора о мощности множества всех подмножеств данного множества

Для любого множества

Доказательство. Вложение осуществляется просто:Нам осталось доказать, что не существует взаимно однозначного соответствия между множествамииПредположим, что существует взаимно однозначное соответствиет.е. каждому элементуставится в соответствие подмножествопричём каждое подмножествопредставимо в видепри некоторомПо условиюпри некоторомзначит,Далее,при некоторомв этом случаеПостроим подмножествомножестваположивТак кактопри некоторомВыясним, верно ли соотношениеИмеем:

а) если топо определению множестваполучим:

б) если топо определению множестваполучим:что невозможно. Мы получили противоречие. Теорема доказана.

Из теоремы Кантора следует, что среди множеств нет наибольшего по мощности, так как, каково бы ни было множество множествоимеет ещё большую мощность. В частности,< ...