2. Растровые алгоритмы

Большинство графических устройств являются растровыми, представляя изображение в виде прямоугольной матрицы (сетки, целочисленной решетки) пикселей (растра), и большинство графических библиотек содержат внутри себя достаточное количество простейших растровых алгоритмов. На рис 2 .11 приведена система растровых алгоритмов.

Рис. 2.11.Классификация растровых алгоритмов

1. Алгоритмы растеризации

Прежде чем перейдем к непосредственному рассмотрению возможности перевода математического описания объекта (линии и пр.) в растровую форму, рассмотрим понятие связности. Связность– возможность соединения двух пикселей растровой линией, т. е. последовательным набором пикселей. Возникает вопрос, когда пиксели (x₁, y₁) и (x₂, y₂) можно считать соседними. Для этого вводятся два понятия связности:

1. Четырехсвязность: пиксели считаются соседними, если либо ихx-координаты, либо ихy– координаты отличаются на единицу:

|x₁­ – x₂| + |y₁ – y₂| ≤ 1;

2. Восьмисвязность: пиксели считаются соседними, если ихx-координаты иy-координаты отличаются не более чем на единицу:

|x₁­ – x₂| ≤ 1, |y₁ – y₂| ≤ 1.

На рис. 2 .12 изображены четырехсвязная и восьмисвязная линии.

Рис. 2.12. Четырехсвязная и восьмисвязная линии

При переводе объектов в растровое представление существуют, алгоритмы, как использующие четырехсвязность, так использующие восьмисвязность.

1. Растровое представление отрезка. Алгоритм Брезенхейма

Рассмотрим задачу построения растрового изображения отрезка, соединяющего точки A(x_a, y_a)иB(x_b, y_b). Для простоты будем считать, что

0 ≤ y_b – y_a≤x_b – x_a. Тогда отрезок описывается уравнением:

y = y_a + (x–x_a), x Є [x_a, x_b] или y = kx + b.

Отсюда получаем простейший алгоритм растрового представления отрезка:

void line(int xa, int ya, int xb, int yb, int color)

{

double k = ((double)(yb – ya)) / (xb – xa);

double b = ya – k * xa;

for (int x = xa; x <= xb; x++)

putpixel(x, (int)(k * x + b), color);}

Вычислений значений функции y = kx + bможно избежать, используя в цикле рекуррентные соотношения, так как при измененииxна 1 значениеyменяется наk:

void line(int xa, int ya, int xb, int yb, int color)

{

double k = ((double)(yb – ya)) / (xb – xa);

double y = ya;

for (int x = xa; x <= xb; x++, y += k)

putpixel(x, (int)y, color);

}

Приведенные простейшие пошаговые алгоритмы построения отрезка имеют ряд недостатков:

1. Выполняют операции над числами с плавающей точкой, а желательно было бы работать с целочисленной арифметикой;

2. На каждом шаге выполняется операция округления, что также снижает быстродействие.

Эти недостатки устранены в следующем алгоритме Брезенхейма.

Как и в предыдущем случае, будем считать, что тангенс угла наклона отрезка принимает значение в диапазоне от 0 до 1. Рассмотрим i-й шаг алгоритма (рис. 2 .13). На этом этапе пиксельP_i-1уже найден как ближайший к реальному отрезку. Требуется определить, какой из пикселов (T_iилиS_i) будет установлен следующим.

Рис. 2.13. i-й шаг алгоритма Брезенхейма

В алгоритме используется управляющая переменная d_i, которая на каждом шаге пропорциональна разности междуSиT. ЕслиS<T, тоS_iближе к отрезку, иначе выбираетсяT_i.

Пусть изображаемый отрезок проходит из точки (x₁, y₁) в точку (x₂, y₂). Исходя из начальных условий, точка (x₁, y₁) ближе к началу координат. Тогда перенесем оба конца отрезка с помощью преобразования T(­­­­­­–x₁, –y₁), так чтобы первый конец отрезка совпал с началом координат. Начальной точкой отрезка стала точка (0, 0), конечной точкой – (dx, dy), гдеdx = x₂ – x₁,dy = y₂ – y₁(рис. 2 .14).

Рис. 2.14. Вид отрезка после переноса в начало координат

Уравнение прямой в этом случае будет иметь вид:

y=x.

Обозначим координаты точки P_i-1 после переноса через (r, q). ТогдаS_i = (r+1, q) иT_i = (r+1, q+1).

Из подобия треугольников на рис. 2 .14 можно записать, что

=.

Выразим S:

S= (r+ 1) –q.

Tможно представить какT= 1 –S. Используем предыдущую формулу

T= 1 –S = 1 – (r+ 1) –q.

Найдем разницу S–T:

S–T =(r+ 1) –q – 1 + (r+ 1) –q = 2 (r+ 1) – 2 q – 1.

Помножим левую и правую часть на dx:

dx (S – T) = 2 dy (r + 1) – 2 q dx – dx = 2 (r dy – q dx) + 2 dy – dx.

Величинаdxположительная, поэтому неравенствоdx(S–T) < 0 можно использовать в качестве проверки при выбореS_i. Обозначимd_i =dx(S–T), тогда

d_i = 2 (r dy – q dx) + 2dy – dx.

Поскольку r=x_i-1иq=y_i-1, то

d_i = 2 x_i-1 dy –2 y_i-1 dx + 2 dy – dx.

Прибавляя 1 к каждому индексу найдемd_i+1:

d_i+1 = 2 x_i dy –2 y_i dx + 2 dy – dx.

Вычитая d_i из d_i+1 получим

d_i+1 – d_i = 2 dy (x_i – x_i-1) – 2 dx (y_i – y_i-1).

Известно, чтоx_i –x_i-1= 1, тогда

d_i+1–d_i = 2dy– 2dx(y_i– y_i-1).

Отсюда выразим d_i+1:

d_i+1=d_i+ 2dy– 2dx(y_i– y_i-1).

Таким образом, получили итеративную формулу вычисления управляющего коэффициента d_i+1по предыдущему значениюd_i. С помощью управляющего коэффициента выбирается следующий пиксель –S_iилиT_i.

Если d_i≥ 0, тогда выбираетсяT_iиy_i=y_i–1+ 1,d_i+1= d_i+2 (dy – dx). Еслиd_i< 0, тогда выбираетсяS_iиy_i=y_i–1иd_i+1= d_i+2dy.

Начальные значения d₁с учетом того, что (x₀, y₀) = (0, 0),

d₁ = 2dy – dx.

Преимуществом алгоритма является то, что для работы алгоритма требуются минимальные арифметические возможности: сложение, вычитание и сдвиг влево для умножения на 2.

Реализация этого алгоритма выглядит следующим образом:

void MyLine(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)

{

int dx, dy, inc1, inc2, d, x, y, Xend;

dx = abs(x2 - x1);

dy = abs(y2 - y1);

d = dy << 1 - dx;

inc1 = dy << 1;

inc2 = (dy - dx) << 1;

if (x1>x2)

{

x = x2;

y = y2;

Xend = x1;

}

else

{

x = x1;

y = y1;

Xend = x2;

};

putpixel(x, y, c);

while (x < Xend)

{

x++;

if (d < 0) d = d + inc1;

else

{

y++;

d = d + inc2;

};

putpixel(x, y, c);

};

}

Если dy > dx, то необходимо будет использовать этот же алгоритм, но пошагово увеличиваяyи на каждом шаге вычислятьx.