Московский Институт Электронной Техники

(Технический Университет)

Курсовая работа по математическому моделированию

Исследование модели рекламной кампании

Выполнил: Егоров МС

Группа: МП-34

Преподаватель: Лисовец ЮП

Москва 2003

I. Теоретическая часть

Построение модели рекламной компании

Пусть некая фирма начинает ре­кламировать новый товар. Необходимо, чтобы прибыль от будущих продаж покрывала издержки на дорого­стоящую кампанию. Ясно, что вначале расходы могут превышать прибыль, поскольку лишь малая часть потенциальных покупателей будет информирована о новом товаре. Затем, при увеличении числа про­даж, уже возможно рассчитывать на заметную прибыль, и, наконец, наступит момент, когда рынок насытится, и рекламировать товар да­лее станет бессмысленно.

Модель рекламной кампании основывается на следующих основ­ных предположениях. Считается, что величина dN/dt — скорость из­менения со временем числа потребителей, узнавших о товаре и го­товых купить его (t — время, прошедшее с начала рекламной кам­пании, N(t) – число уже информированных клиентов), — пропор­циональна числу покупателей, еще не знающих о нем, т. е. вели­чине , где - общее число покупателей (емкость рынка),характеризует интенсивность рекламной кампании. Предполагается также, что узнавшие о товаре потребители распространяют получен­ную информацию среди неосведомленных, выступая как бы в роли дополни­тельных рекламных агентов фирмы. Их вклад равен величине (t)N(t) ( — N(t)), которая тем больше, чем больше число агентов. Ве­личина характеризует степень общения покупателей между собой.

В итоге получаем уравнение

(1)

Замечание 1:

при, что характерно для начала рекламной кампании, из (1) получаем модель Маль­туса.

Замечание 2:

при противоположном неравенстве получаем нелинейную модель Мальтуса.

Полученная аналогия вполне понятна, так как при построении данной модели и модели роста численности популяции использова­лась одна и та же идея “насыщения": скорость роста со временем какой-либо величины пропорциональна произведению текущего значе­ния этой величины N(t) на разность между ее равновесным (популяция) либо предельным (покупатели) и текущим значениями.

Аналогия между обоими процессами заканчивается, если в какой-то момент времени величина становится нулевой. Подобный негативный эф­фект довольно часто встречается в рекламных кампаниях различного рода и должен побудить их организаторов либо изменить характер рекламы, либо вовсе отказаться от дальнейшей пропаганды. Меро­приятия по увеличению популярности товара могут, в зависимости от значений величин направляться на улучшение ре­зультатов как прямой (параметр ), так и косвенной (параметр ) рекламы.

Если рассмотреть мо­дель (1) в окрестности точки N(t = 0) — N(0)=0 (t = 0 — момент начала кампании), считая, что , то уравнение (1) принимает вид:

и имеет решение:

(2)

удовлетворяющее естественному начальному условию при t = 0.

Из (2) относительно легко вывести соотношение между реклам­ными издержками и прибылью в самом начале кампании. Обозначим через р величину прибыли от единичной продажи (каждый информированный сделал покупку). Считаем для простоты, что каждый покупа­тель приобретает лишь одну единицу товара. Коэффициент — число равнозначных рекламных действий в единицу времени. Через s обозначим стоимость элементарного акта рекламы. Тогда суммарная прибыль есть:

(3)

а произведенные затраты:

.

Прибыль превосходит издержки при условии , и если ре­клама действенна и недорога, а рынок достаточно емок, то выигрыш достигается с первых же моментов кампании (в реальности между оплатой рекламы, рекламным действием и последующей покупкой име­ет место временная задержка). При не слишком эффективной или дорогой рекламе фирма на первых шагах несет убытки. Однако это обстоятельство, вообще говоря, не может служить основанием для прекращения рекламы. Действительно, выражение (3) и полученное с его помощью условие справедливы лишь при малых значениях N(t), когда функции Р и S растут со временем по одинаковым законам. При увеличении N(t) усиливается действие косвенной рекламы. Поэтому функция N(t) может стать более “быстрой” функцией времени, чем в формуле (3). Этот нелинейный эффект в изменении величины N(t) при неизменном темпе роста издержек дает возможность скомпенсировать финансовую неудачу начальной стадии кампании.

Поясним данное утверждение в частном случае уравнения (1) с постоянными коэффициентами . Заменой:

оно сводится к уравнению:

, , (4)

имеющему решение:

. (5)

При этом , так что N(0) = 0, и начальное условие выполняется. Из (4) видно, что производная функции и, следо­вательно, функции может при t > 0 быть больше ее начального значения (при условии или ). Максимум про­изводной достигается при , :

.

В этот период для текущей, т. е. получаемой в единицу времени прибыли имеем:

.

Вычитая из Р_т начальную текущую прибыль , получаем:

,

т. е. разница между начальной и максимальной текущей прибылью может быть весьма значительной.

Начиная с некоторого момента, продолжать рекламу становится невыгодно. Действительно, при , близких к , уравнение (4) записывается в виде:

. (6)

Его решение стремится при к предельному значению (a функция N(t) -к ) по медленному экспоненциальному закону. В единицу времени появляется ничтожно малое число новых покупателей, и поступающая прибыль при любых условиях не может покрыть продолжающихся издержек. В этом случае рекламной кампании следует либо переключиться на другой товар, либо прекратить свою деятельность из-за невыгодности.

Аналогичные характеристики вычисляются для уравнения (1) и различных его обобщений, широко используемых также для описания внедрения технологических и иных новшеств.

II. Практическая часть

Реализуем вышеописанную модель в пакете MatLab.

A1.m

function a1=a1(t)

a1=4^(t+1);

A2.m

function a2=a2(t)

a2=t^3;

Mal.m

function Mal=Mal(t,n,N0)

Mal=a1(t)*N0;

NelMal.m

function NelMal=NelMal(t,m,M0)

NelMal(1)=a2(t)*m(1)*(M0-m(1));

RealModel.m

function RealModel=RealModel(t,k,K0)

RealModel=(a1(t)+a2(t)*k(1))*(K0-k(1));

Main.m

% рекламнаR компаниR

% Приближение к модели Мальтуса (при (a2(t)*N<<a1(t)) & (N<<N0))

% Начальные значениR:

% NO - всего покупателей

% NNO - число изначально информированных покупателей

N0=2000;

NN0=100;

%ВремR старта и конца рекламной компании

Tbegin=0;

Tend=0.5;

% N - число информированных покупателей

[TN,N]=ode45(@Mal,[Tbegin Tend],NN0,[],N0);

plot(TN,N,'b')

pause;

% p - прибыль от единичного акта продажи

% s - стоимость одного рекламного действия

% PN - итоговаR прибыль за времR кампании

% SN - расходы на рекламу за времR кампании

% прибыль превосходит издержки, если p*N0>s

p=100;

s=100000;

PN=p*N;

SN=s*N/N0;

% эффективность кампамнии:

plot(TN,PN,'g',TN,SN,'r');

pause;

% ЛогистическаR криваR ( при a1(t)<<a2*N(t) )

% Начальные значениR:

% MO - всего покупателей

% MMO - число изначально информированных покупателей

M0=5000;

MM0=750;

Tbegin=0;

Tend=0.5;

% M - число информированных покупателей

[TM,M]=ode45(@NelMal,[Tbegin Tend],MM0,[],M0);

plot(TM,M,'r')

pause

% p - прибыль от единичного акта продажи

% s - стоимость одного рекламного действия

% PM - итоговаR прибыль за времR кампании

% SM - расходы на рекламу за времRa кампании

% прибыль превосходит издержки, если p*M0>s

p=100;

s=250000;

PM=p*M;

SM=s*M/M0;

% эффективность кампамнии:

plot(TM,PM,'g',TM,SM,'r');

pause

% РеальнаR модель

% Начальные значениR:

% KO - всего покупателей

% KKO - число изначально информированных покупателей

K0=5000;

KK0=750;

Tbegin=0;

Tend=0.5;

% K - число информированных покупателей

[TK,K]=ode45(@RealModel,[Tbegin Tend],KK0,[],K0);

plot(TK,K,'r')

pause

% p - прибыль от единичного акта продажи

% s - стоимость одного рекламного действия

% PK - итоговаR прибыль за времR кампании

% SK - расходы на рекламу за времR кампании

% прибыль превосходит издержки, если p*M0>s

p=100;

s=250000;

PK=p*K;

SK=s*K/K0;

% эффективность кампамнии :

plot(TK,PK,'g',TK,SK,'r');

pause

clc;

clear;

Графики

Рис1. Изменение числа информированных покупателей (учитывая

Замечание1)

Рис2. Эффективность кампании (зеленый – прибыль, красный – затраты)

Рис3. Изменение числа информированных покупателей (учитывая

Замечание2)

Рис4. Эффективность кампании (зеленый – прибыль, красный – затраты)

Рис5. Изменение числа информированных покупателей

Реальная модель.

Рис6. Эффективность кампании (зеленый – прибыль, красный – затраты)