5 производная - диф-л

4

Дифференциальное исчисление.

§1. Понятие производной функции.

Пусть функция определена и непрерывна на промежутке X.

Возьмем точку . Дадим аргументу x приращение так, чтобы . Тогда функция получит приращение .

Опр. Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

Производную функции обозначают также , . Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Выясним геометрический смысл производной. Проведем секущую АВ. Из следуют соотношения: .

При точка В будет двигаться по дуге к т. А, и секущая АВ будет стремиться к положению касательной, т.е.

,

где - угол между касательной к графику в т. и положительным направлением оси Ох. Таким образом, в геометрическом смысле производная функции в точке представляет собой угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Пример 1.Найти производную функции у=х.

Решение. Для любой точки найдем производную:

.

Пример 2. Найти производную функции .

Решение. Для любой точки найдем производную:

Аналогично можно найти производные всех основных элементарных функций.

Производные основных элементарных функций.

Начало формы

Функция	Производная		Функция	Производная
C	0

§2. Дифференцируемость функции.

Опр. Числовая функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде:

,

где А – некоторое число, - функция от , являющаяся бесконечно малой при .

Утв. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Теорема1 (о связи между непрерывностью и дифференцируемостью).

Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Док-во. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке . Тогда, по определению, ее приращение можно представить в виде . Переходя в этом равенстве к пределу при , получим:

, что соответствует определению непрерывности функции.▲

Теорема 1 является необходимым (но не достаточным) признаком дифференцируемости функции в точке. Обратная теорема, вообще говоря, не верна, т.е. если функция непрерывна в точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке.

Пример.

Рассмотрим функцию, непрерывную в нуле. Докажем, что функция не дифференцируема в т. х=0.

;

.

Т.к. односторонние пределы в нуле не равны, предел не существует.

§3.Основные правила дифференцирования.

1. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций:

.

2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведения производной первого множителя на второй множитель и произведения первого множителя на производную второго:

.

Следствие 1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: .

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные:

.

3. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле: ().

Докажем, например, правило 2 (правила1-3 докажите самостоятельно).

Рассмотрим функцию . Дадим аргументу приращение , аргументу приращение . Соответственно, их произведение получит приращение

.

Составим отношение . Переходя в этом равенстве к пределу при , получим:

4. Дифференцирование обратной функции.

Если функция имеет обратную функцию и , то обратная функция дифференцируема в точке , причем

.

5.

Конец формы

Дифференцирование сложной функции.

Если функции и дифференцируемы по своим аргументам, то производная сложной функции существует и равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента по независимой переменной: .

Таким образом, производные сложных функций можно вычислить по формулам:

Пример. Найти производную функции .

§4. Уравнение касательной к графику функции.

Выведем уравнение касательной к графику функции в точке .

Будем искать это уравнение в виде у=кх+в.

Т.к. прямая проходит через данную точку, то

, откуда .

Тогда . А поскольку , то

- уравнение касательной.

Пример. Составить уравнение касательной к графику функции в точке (2;4).

.

.

§5. Производные высших порядков.

Если функция дифференцируема в точке, то она имеет производную в этой точке, которая также является функцией от х и также может быть дифференцируемой.

Производной второго порядка или второй производной функции называется производная от ее производной:

.

Вторая производная также может быть обозначена символами , .

Аналогично определяется и обозначается производная третьего порядка:

.

Для обозначения производных более высокого порядка используются арабские цифры в скобках или римские цифры, например: или .

Опр. Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка: .

Пример. Найти вторую производную функции .

Решение. ;

.

§6. Дифференциал.

Пусть функция определена на промежутке Х и дифференцируема в некоторой окрестности точки .

Тогда существует конечная производная .

По теореме о связи предела и бесконечно малой:

, где - бесконечно малая при . Отсюда

.

Таким образом, приращение функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно и бесконечно малого при .

Опр. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение аргумента:

.

Рассмотрим функцию у=х и найдем ее дифференциал.

. Таким образом, формула дифференциала может быть записана в виде:

.

Пример. Найти дифференциал функции .

.

Выясним геометрический смысл дифференциала. Из : . Таким образом, дифференциал есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда х получает приращение .

Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной:

1. d(С)=0;

2. d(u+v)=du+dv;

3. d(uv)=vdu+udv;

4. ;

5. Форма дифференциала инвариантна (неизменна): он всегда равен произведению производной на дифференциал аргумента, независимо от того, простым или сложным является аргумент.

Пример 1. Найти дифференциал функции .

Решение. Используя свойства дифференциала, получим:

.

Пример 2. Найти дифференциал функции .

Решение. .

Опр. Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) называется дифференциал от дифференциала функции, т.е.:

.

Аналогично, дифференциалом п-го порядка называется дифференциал от дифференциала (п-1)-го порядка этой функции: .