Задания по статистике / Нормальное распределение

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Непрерывная случайная величина X имеет нормальное распределение, если ее плотность распределения вероятности имеет вид:

где и – параметры распределения, причем = M(X), = (X).

График дифференциальной функции распределения называют нормальной кривой, или кривой Гаусса (рис.1).

Рис.1

Если (X) = 0, (X) = 1, то нормально распределенная случайная величина называется нормированной, ее дифференциальная функция распределения табулирована.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (,) находим по формуле:

Данный интеграл выражается через функцию Лапласа, которую еще называют интегралом вероятностей и обозначают Ф(t):

Ф(t) .

Функция Лапласа – это вероятность попадания нормированной нормально распределенной случайной величины в интервал ( 0, t).

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1. Ф(0) = 0.

2. Ф(–t) = –Ф(t), то есть она нечетная.

3. Ф() = 0,5 (практически уже при t  4).

Функция Ф(t) табулирована (см. прил. 2).

Применяя функцию Лапласа, получим:

При решении задач часто возникает необходимость определения вероятности отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания:

Пример 1. Средний процент выполнения плана некоторыми предприятиями составляет 105 %, среднее квадратическое отклонение – 5 % . Полагая, что выполнение плана предприятиями подчинено закону нормального распределения, вычислить долю предприятий, выполняющих план от 110 до 130 %, то есть определить вероятность попадания рассматриваемой величины в интервал ( 110, 130).

Решение. Случайная величина X – выполнение плана предприятиями; она имеет нормальное распределение с параметрами:

Для нахождения искомой вероятности воспользуемся формулой:

Пример 2. Длина изготовляемой детали представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону. Средняя длина детали равна 50 мм, а дисперсия – 0,25 мм². Какое поле допуска длины изготовляемой детали можно гарантировать с вероятностью 0,99?

Решение. Длина изготовляемой детали – случайная величина X, имеющая нормальный закон распределения с параметрами:

 = (X) = 50 мм,  = (X) =  = 0,5.

Известна вероятность, гарантирующая некоторое поле допуска, то есть Р( X ) = 0,99. Чтобы найти это поле допуска, воспользуемся формулой:

Неравенство X–  эквивалентно неравенству , следовательно, и равновероятно, то есть

Исходя из условия задачи, можем записать:

= 0,99; = 0,495.

По таблице значений функции Лапласа (см. прил. 2) находим = 2,58.

Отсюда  = 2,58  = 1,29, тогда 50 – 1,29  X  50 + 1,2 или 48,71  X  51,29.