Задания по статистике / Гипотезы о дисперсиях и средних

Так как о генеральных дисперсиях ничего не известно, предварительно проверим вспомогательную нулевую гипотезу Н₀: D(Х) = D(Y) при конкурирующей Н₁: D(Х) > D(Y). По выборочным данным проверяем гипотезу с помощью случайной величины , которая имеет распределение Фишера - Снедекора с k₁ = n_х - 1 = 9 и k₂ = n_y - - 1 = 11 степенями свободы.

Находим F_набл =  » 1,05. По таблице критических точек распределения Фишера - Снедекора имеем F_крит(0,05; 9, 11) = 2,90.

Так как F_набл < F_крит (a, k₁, k₂), то есть наблюдаемое значение критерия попало в область принятия гипотезы, нет оснований отвергать нулевую гипотезу по данным наблюдения D(Х) = D(Y), расхождение между исправленными дисперсиями случайное. Следовательно, можно проверить основную гипотезу. Для ее проверки выбираем конкурирующую гипотезу. В данном случае можно взять

Н₁: М(Х) ¹ М(Y), либо Н₁ :М(Х) > М(Y).

Односторонняя критическая область дает более точный результат проверки гипотезы, поэтому берем вторую конкурирующую гипотезу.

Итак, Н₀: М(Х) = М(Y), Н₁: М(Х) > М(Y).

Проверяем нулевую гипотезу с помощью случайной величины

которая имеет распределение Стьюдента с k = n_x+n_y -2 = 10 + 12 - -2 = 20 степенями свободы. По выборочным данным находим

Т_набл » 14,49 .

По таблице критических точек распределения Стьюдента находим t_{крит.пр}(0,05, 20) = 1,73.

Так как Т_набл > t_{крит.пр} (0,05; 20), то есть наблюдаемое значение критерия попало в критическую область (рис. 2), то нулевая гипотеза отвергается, а принимается конкурирующая гипотеза Н₁:М(Х) > М(Y); расхождение между выборочными средними значимо, а следовательно, средние размеры изделий, изготовленных на двух одинаково настроенных станках, различные.