7. Некоторые распределения дискретных случайных величин
Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины X - числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р. Возможные значения случайной величины: 0, 1, ..., n, а соответствующие вероятности вычисляются по формуле Бернулли:
Случайная величина X, распределенная по биномиальному закону, имеет М(Х) = n • р; D(X) = n • р • q.
Предельным для биномиального, когда число n неограниченно увеличивается (n - велико) и одновременно вероятность р неограниченно уменьшается (р - мало), является закон Пуассона. Возможные значения случайной величины, подчиненной закону Пуассона: 0, 1, ..., n, а соответствующие вероятности вычисляются по формуле
Для данного закона
распределения М(х) =
;
D(X) =
.
Геометрическим называется закон распределения дискретной случайной величины X - числа испытаний, проводимых до тех пор, пока не наступит некоторое событие, причем вероятность появления этого события в каждом испытании остается постоянной и равна р (0<р<l). Ее возможные значения 1, 2,..., а соответствующие вероятности
P(x = k) = qk-1•p.
Для геометрического
распределения М(Х)=
;
D(X)=
Случайная величинаX
имеет гипергеометрическое
распределение с параметрами a,
b,
n,
если ее возможные значения 0,1,..., а имеют
вероятности:
.
Гипергеометрическое распределение возникает при следующих условиях: имеется урна, в которой а белых и b черных шаров, из нее вынимается n шаров. СВ X - число белых шаров среди вынутых.
Числовые характеристики случайной величины X, имеющей гипергеометрическое распределение, равны
Однако для гипергеометрического распределения иногда числовые характеристики удобнее вычислять по определению.
ПРИМЕР 7.1. Брошены 2 игральные кости. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины X - числа выпадений «шестерки».
Решение: Возможные значения СВ Х-0,1,2, причем
соответствующие
вероятности вычисляются по формуле
Бернулли при n
= 2 и р =
.
Итак,
|
X |
0 |
1 |
2 |
|
P |
|
|
|
ПРИМЕР 7.2. На автоматическую телефонную станцию поступает простейший поток вызовов с интенсивностью 0,8 вызов/мин (простейший - определяется законом Пуассона). Найти вероятность того, что за две минуты: а) не придет ни одного вызова; б)придет ровно один вызов; в)придет хотя бы один вызов.
Решение.
Случайная величина Х
- число вызовов за 2 минуты - распределена
по закону Пуассона с параметром
=
0,8 • 2 = 1,6. Имеем:
8. Некоторые распределения непрерывных случайных величин
Говорят, что СВ X имеет равномерное распределение на участке от а до b, если ее плотность f(х) на этом участке постоянна, то есть
f(x)=
Например, производится
измерение какой-то величины с помощью
прибора с грубыми делениями; в
качестве приближенного значения
измеряемой величины берется ближайшее
целое. СВ X
– ошибка измерения распределена
равномерно на участке
,
так как ни одно из значении случайной
величины ничем не предпочтительнее
других.
Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью
где
- постоянная положительная величина.
Примером непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока.
Часто длительность
времени безотказной работы элементы Т
имеет показательное распределение,
функция распределения которого F(t)=
P(T<t)=
l-
,
(
>0)
определяет вероятность отказа элемента
за время длительностьюt.
— интенсивность отказов (среднее число
отказов в единицу времени).
Нормальный закон распределения (иногда называемый законом Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Плотность распределения нормального закона имеет вид
,
где m - математическое ожидание,
- среднее
квадратическое отклонение X.
Вероятность того,
что нормально распределенная СВ
X
примет значение, принадлежащее интервалу
(
),
вычисляется по формуле: Р(
<Х<
)
= Ф
где Ф(х) - функция Лапласа. Ее
значения определяются из таблицы
приложения учебника по теории вероятностей.
Вероятность
того, что отклонение нормально
распределенной случайной величины
X
от математического ожидания по
абсолютной величине меньше заданного
положительного числа
,
вычисляется по формуле
ПРИМЕР 8.1. Цена одного деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляются до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.
Решение. Ошибку округления можно рассматривать как СВ X, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними делениями.
Плотность
равномерного распределения 
,
где (b-a)
- длина интервала, в котором заключены
возможные значения X.
В рассматриваемой задаче эта длина
равна 0,1. Поэтому 
.
Итак, f(x)=
.
Ошибка отсчета
превысит 0,02, если она будет заключена
в интервале (0,02; 0,08). По формуле Р(а
< X
< b)
=
имеем
Р(0,02
< X
< 0,08) =
=
0,6.
ПРИМЕР 8.2.
Длительность времени безотказной работы
элемента имеет показательное распределение
F(t)=
l-
(t>0). Найти вероятность того, что за
время длительностьюt
= 50 часов: а) элемент откажет; б) элемент
не откажет.
Решение. а) Функция F(t) определяет вероятность отказа элемента за время длительностью t, поэтому, подставив t = 50, получим вероятность отказа:
F(50)= 1 – е-0,01•50 = 1 - 0,606 = 0,394 .
б) События «элемент откажет» и «элемент не откажет» - противоположные, поэтому вероятность того, что элемент не откажет Р = 1 - 0,394 = 0,606.
ПРИМЕР 8.3.
Случайная величина X
распределена нормально с параметрами
m,
.
Найти вероятность того, что СВX
отклонится от своего математического
ожидания m
больше, чем на З
.
Решение.
.
Эта вероятность очень мала, то есть такое событие можно считать практически невозможным (можно ошибиться «в трех случаях из 1000»). Это и есть правило трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.
ПРИМЕР 8.4. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (12, 14).
Решение. Для нормально распределенной величины
Подставив
= 12;
= 14;m
= 10;
= 2, получим
По таблице находим Ф(2) = 0,4772; Ф(1) = 0,3413.
Искомая вероятность P(12 < X < 14)= 0,4772 - 0,3413 = 0,1359.