6. Случайная величина и ее числовые характеристики

Для теории вероятностей характерно то, что результаты рассматриваемых экспериментов можно представить числом, причем случайный характер исхода влечет и случайность этого числа.

ПРИМЕР 6.1. Бросаются 3 игральные кости. X - число выпадений «шестерки» - может принимать одно из множества значений {0,1,2,3}.

ПРИМЕР 6.2. Электрическая лампочка испытывается на длительность работы. X - время работы. Ясно, что 0 X <.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять какое-либо числовое значение, заранее нам не известное.

Как видно из примеров по типу множества возможных значений случайные величины бывают дискретные и непрерывные.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями (пример 6.1).

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого промежутка (пример 6.2).

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Существует универсальный способ задания закона распределения, который годится для случайных величин любого типа: функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), равная вероятности того, что X примет значение меньше, чем число х, то есть F(x)=P(X<x). Иногда ее называют интегральной функцией распределения.

Из определения следует: 0 F(x) 1 иР(а < X < b)= F(b)- F(a).

Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию f(х)=F'(х), которую называют плотностью распределения вероятностей (иногда ее называют дифференциальной функцией).

Из определения следует:

Одна из числовых характеристик, фиксирующая положение случайной величины на числовой оси, то есть некоторое среднее, ориентировочное значение случайной величины, около которого группируются ее возможные значения,- математическое ожидание М(Х). Математическое ожидание вычисляется:

- для дискретной случайной величины;

- для непрерывной случайной величины.

Дисперсия D(Х) - есть характеристика рассеяния, разбросанности случайной величины около ее математического ожидания. Дисперсия вычисляется:

- для дискретной случайной величины;

- для непрерывной случайной величины.

Иногда дисперсию удобно вычислять по следующей формуле:

D(X) = M(X²)-{M(X)}²

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому вводится еще одна характеристика рассеяния - среднее квадратическое отклонение .

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1) M(C) = C, где C = const;

2) М(СХ) = С • М(X), где С = const;

3) М(Х₁+Х₂ +... + Х_n) = М(Х₁) + М(Х₂)+... + М(Х_n);

4) М(Х₁ • Х₂ •...•Х_n) = М(Х₁) • М(Х₂) •...• М(Х_n), если X₁, X₂, ..., Х_n - взаимно независимые случайные величины.

Дисперсия обладает следующими свойствами:

1) D(C) = 0,где С = const;

2) D(CX) = C² • D(X), где С = const;

3) D(X₁ + X₂ +... + X_n)=D(X₁) + D(X₂) +... + D(X_n), если Х₁, Х₂, ..., Х_n - независимые случайные величины.

ПРИМЕР 6.3. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 10 рублей. Написать закон распределения случайной величины X - стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Напишем возможные значения X: х₁=50; х₂ =10; х₃=0. Вероятности этих возможных значений таковы:

р₁== 0,01 ;

Напишем искомый закон распределения

X	50	10	0
P	0,01	0,1	0,89

Контроль: 0,01 + 0,1 + 0,89=1.

ПРИМЕР 6.4. Функция распределения непрерывной случайной

величины X задана выражением: F(x)=

Найти: а) коэффициент а; б) найти плотность распределения f(x); в) найти вероятность того, что случайная величина X в результате опыта примет значение между 0,25 и 0,5.

Решение, а) Для непрерывной случайной величины функция F(x) непрерывна, следовательно, F(1)=1, то есть ах² =1, откуда а=1.

б) Плотность распределения f (x) = F'(x) выражается формулой:

f(x)=

в) Воспользуемся формулой Р(а <X < b) = F(b) - F(a).

Тогда, Р(0,25 < х < 0,25) = F(0,5) - F(0,25) = 0,5² - 0,25² = 0,1875.

ПРИМЕР 6.5. Дискретная случайная величина X задана законом распределения

X	4	6	x3
P	0,5	0,3	p3

Найти: а) x₃ и р₃, зная, что М(Х) = 8; б) дисперсию D(X).

а) Известно, что 0,5 + 0,3 + р₃ =1. Тогда р₃ =0,2. По определению математического ожидания М(Х)= 4•0,5+6•0,3+х₃•0,2; 8 =3,8+0,2•х₃; 0,2•х₃ =4,2; х₃=21.

Закон распределения будет иметь вид

X	4	6	21
P	0,5	0,3	0,2

б) Дисперсию можно вычислить двумя способами:

D(Х) = (4-8)² •0,5 + (6-8)² •0,3 + (21-8)² •0,2 = 8 + 1,2 + 33,8 = 43. Для второго способа напишем закон распределения случайной величины Х²:

X2	16	36	441
P	0,5	0,3	0,2

M(X²) = 16•0,5 + 36•0,3 + 441•0,2 = 8 +10,8 + 88,2 = 107

D(X) = M(X²)-{M(X)}² =107-8² =107-64 = 43.