5. Повторные испытания

Пусть проводится n испытаний, причем выполняются следующие условия: испытания независимы, то есть начальные условия перед каждым испытанием абсолютно одинаковы; в каждом испытании интересующее нас событие А может произойти с вероятностью р.

Тогда вероятность того, что в n испытаниях событие наступит ровно к раз (безразлично, в какой последовательности), вычисляется по формуле Бернулли

, где q = 1-p

В случае, если n велико, то есть npq>>1 (значительно больше 1), то данную вероятность можно найти по асимптотической формуле (локальная теорема Лапласа):

, где .

Функция определяется формулой .

Таблица значений функции для положительных значений х приведена в приложении 1, для отрицательных значений х надо помнить, что .

В тех случаях, когда число испытаний n велико, а вероятность р мала, пользуются формулой Пуассона: ,

где - среднее число появлений события в различных сериях испытаний.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях (n велико) событие наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз, приближенно равна

где

Функция Ф(х) определяется формулой Ф(х)= .

Таблица значений функции Лапласа Ф(х) для положительных значений х (0 < х < 5) приведена в приложении 2; для значений х > 5 полагают Ф(х)=0,5. Для отрицательных значений х используют ту же таблицу, учитывая, что функция Лапласа нечетная, то есть Ф(х)=Ф(х).

Последняя формула носит название интегральной теоремы Лапласа. Она тем точнее, чем больше значение n.

ПРИМЕР 5.1. Бросаются 3 игральные кости. Какова вероятность того, что выпадет одна шестерка?

Решение. Из условия задачи n = 3; к = 1. Рассматривается событие А - выпадение шестерки при одном подбросе кости.

Тогда р =

ПРИМЕР 5.2. В лаборатории проводится серия из 400 опытов по обнаружению микроба в растворе. Вероятность появления микроба в каждом отдельном опыте равна 0,2. Найти вероятность того, что микроб будет обнаружен в 80 опытах.

Решение. Очевидно, что при n = 400 пользоваться формулой Бернулли практически невозможно из-за необходимости вычислять факториалы больших чисел. Воспользуемся локальной теоремой Лапласа. Итак, n = 400;

k = 80; p = 0,2; q = 0,8; . Найдем значение функции (0) по таблице:(0) = 0,3989..

ПРИМЕР 5.3. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение. По условию n = 5000, р = 0,0002, к = 3; n - велико; р - мало. Найдем n • р = 5000 • 0,0002 = 1. По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна

.

ПРИМЕР 5.4. Монета бросается 5 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет не менее четырех раз?

Решение. Р₅(4; 5) = Р₅(4) + Р₅(5).

,

Тогда требуемая вероятность Р₅ (4; 5) =

ПРИМЕР 5.5. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.

Решение. Требуется найти вероятность Р₄₀₀(70;100). Однако решить задачу, как в предыдущем случае невозможно, поэтому воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

По таблице находим Ф(2,5)= 0,4938 и Ф(1,25)= 0,3944 . Искомая вероятность Р₄₀₀(70,100) = Ф(2,5) Ф(1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.