4. Формула полной вероятности. Формула бейеса

Следствием теорем сложения и умножения является формула полной вероятности.

Допустим, что предполагается провести опыт, об условиях которого можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез) H₁, Н₂, ..., Н_n, причем .

Вероятность некоторого события А, которое может появиться только вместе с одной из гипотез, вычисляется по формуле

P(A) = P(H₁) • P_H(A) + P(H₂) • P_H(A) +... + P(H_n) • P_H(A)

Эта формула носит название формулы полной вероятности.

Если же событие А совершилось, и необходимо найти вероятность того, что оно произошло совместно с некоторой гипотезой H_i, то необходимо воспользоваться формулой Бейеса

ПРИМЕР 4.1. Имеются три одинаковые на вид урны; в первой 2 белых и 3 черных шара, во второй - 4 белых и 1 черный шар, в третьей - 3 белых шара. Наугад выбирается одна из урн и из нее вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение. Опыт предполагает 3 гипотезы:

Н₁ - выбор первой урны; P(H₁) =1/3;

Н₂ - выбор второй урны; Р(Н₂) = 1/3;

Н₃ - выбор третьей урны; Р(Н₃)= 1/3;

Рассмотрим интересующее нас событие.

А - вынутый шар белый. Данное событие может произойти только с

одной из гипотез P_H(A) = ; P_H(A) = ; P_H(A) = 1.

Тогда Р(А) = .

ПРИМЕР 4.2. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй - 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение. Можно сделать два предположения (гипотезы): Н₁ – деталь произведена первым автоматом, причем (поскольку первый автомат производит вдвое больше деталей, чем второй) P(Н₁)=2/3; Н₂ - деталь произведена вторым автоматом, причем Р(Н₂)=1/3.

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом Р_H(А) = 0,6, если произведена вторым автоматом P_H(А) = 0,84.

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна

Р(А) = Р(Н₁) • Р_H(А) + Р(Н₂) • P_H(А) = • 0,6 +• 0,84 = 0,68.

Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Бейеса равна

ПРИМЕР 4.3. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной и той же мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, для второго - 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку (исход «обе пробоины совпали» отбрасываем, как ничтожно маловероятный).

Решение. До опыта возможны следующие гипотезы:

H₁ - ни первый, ни второй стрелки не попадут;

Н₂ - оба стрелка попадут;

Н₃ - первый стрелок попадет, а второй - нет;

Н₄ - первый стрелок не попадет, а второй попадает.

Доопытные (априорные) вероятности гипотез:

Р(Н₁)= 0,2 • 0,6 = 0,12; Р(Н₂)= 0,8 • 0,4 = 0,32;

Р(Н₃) = 0,8 • 0,6 = 0,48; Р(Н₄)= 0,2 • 0,4 = 0,08.

Условные вероятности осуществленного события А — в мишени одна пробоина, при этих гипотезах равны:

Р_H(А)=0; P_H(А)=0; P_H(А)=1; Р_H(A)=1.

После опыта гипотезы H₁ и Н₂ становятся невозможными, а послеопытные (апостериорные) вероятности гипотез Н₃ и Н₄ по формуле Бейеса будут

: .