Литература / СРМА / Andronov

Содержание

Предисловие

9

Введение

11

Глава I. Динамические системы в плоской области и на сфере

19

§1. Динамические системы в плоской области

19

1.

Введение

19

2.

Геометрическая интерпретация динамической системы (I) в

20

пространстве R3

3.

Простейшие свойства решений системы (I)

21

4.

Геометрическая интерпретация динамической системы на фазовой

24

плоскости (x, y)

5.

Разбиение области G фазовой плоскости на траектории. Некоторые

20

элементарные сведения о траекториях

30

6.

Сопоставление геометрической интерпретации в пространстве R3 и

геометрической интерпретации на фазовой плоскости

7.

Направление на траектории. Изменение параметризации

31

8.

Терминология и обозначения

34

9.

Теорема о непрерывной зависимости от начальных значений

36

10. Замена переменных

37

11. Дифференциальное уравнение, соответствующее динамической

38

системе

12. Изоклины

41

13. Понятия "интеграл", "интегральная кривая", "общий интеграл",

41

использующиеся в классической литературе при рассмотрении

аналитических систем

14. Примеры

43

15. Замечания по поводу примеров

56

§2. Динамические системы на сфере

58

1.

Введение

58

2.

Определение динамической системы на сфере

58

3.

Динамическая система на сфере как векторное поле на сфере

61

4.

Решения и траектории динамической системы на сфере

61

5.

Примеры динамических систем на сфере

66

Глава II. Предельные точки множества. Основные свойства

69

траекторий

Введение

69

§3. Вспомогательные предложения о характере пересечения траектории

71

с циклами и дугами без контакта

1.

Дуга без контакта

71

2.

Обобщенная дуга без контакта

73

3.

Пересечение траектории с дугой без контакта

73

4.

Расположение траекторий в окрестности дуги без контакта

74

5.

Некоторые свойства функций Φ(t, s), Ψ(t, s)

77

6.

Траектории, пересекающие две дуги без контакта. Функция

81

соответствия

7.

Случай, когда траектория имеет с дугой без контакта более одной

86

общей точки

8.

Функция последования

90

9.

Замкнутые кривые, составленные из дуги траектории и дуги без

92

контакта, и ограниченные ими области

10. Цикл без контакта

95

11. Семейство циклов без контакта. Траектории, входящие в область,

96

заполненную циклами без контакта

12. Цикл однократного пересечения

97

13. Дифференцирование функции в силу системы (I)

98

14. Цикл без контакта между двумя последовательными витками

99

траектории, пересекающей дугу без контакта

§4. Предельные точки и множества. Основные свойства траекторий

102

1.

Предельные точки полутраектории и траектории

102

2.

Примеры предельных точек

104

3.

Основные свойства множества предельных точек

104

4.

Свойства траекторий, характерные для динамических систем на

106

плоскости или на сфере

5.

Некоторые свойства предельных траекторий

109

6.

Предельные траектории динамических систем, имеющих конечное

112

число состояний равновесия. Возможные типы траекторий

7.

Теорема о наличии состояния равновесия внутри замкнутой

114

траектории

8.

Основная теорема о состоянии равновесия

118

9.

Изолированная замкнутая траектория - предельный цикл. Возможное

119

расположение траекторий в окрестности предельного цикла

Глава III. Основные понятия качественной теории динамических

122

систем

§5. Количественное и качественное исследование динамических систем

122

1.

Введение

122

2.

Топологическая структура динамической системы

124

3.

Локальная топологическая структура

131

4.

Свойства разбиения на траектории в целом и эффективные методы

133

качественного исследования

Глава IV. Простое состояние равновесия

135

Введение

135

§6. Приведение динамической системы в окрестности простого

137

состояния равновесия к каноническому виду

1.

Аналитические условия, характеризующие простое состояние

137

равновесия

2.

Приведение динамической системы в окрестности простого

139

состояния равновесия к каноническому виду

3.

Инвариантность характеристического уравнения при регулярном

144

преобразовании

4.

Некоторые предварительные замечания относительно возможной

145

топологической структуры простых состояний равновесия

§7. Расположение траекторий в окрестности простых состоянии

146

равновесия с характеристическими корнями, имеющими не равные

нулю действительные части

146

1.

Случай 1): характеристические корни λ1 и λ2 действительны и

одинаковых знаков (состояние равновесия типа узел)

2.

Случай 2): характеристические корни-комплексные сопряженные:

151

λ1=α+iβ, λ2=α -iβ, β ≠ 0 , α ≠0 (состояние равновесия типа фокус)

153

3.

Случай 3): характеристические корни λ1 и λ2 действительны и

различных знаков, т. е. λ1λ2<0 (состояние равновесия типа седло)

4.

Устойчивые и неустойчивые состояния равновесия

160

5.

Замечания по поводу других методов исследования характера

161

состояний равновесия с неравными нулю действительными частями

характеристических корней

6.

Примеры

162

7.

Простейшие примеры сложных состояний равновесия

164

§8. Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими

166

корнями

1.

Вводные замечания

166

2.

Переход к полярной системе координат

166

3.

Сопоставление траекторий системы (I) и интегральных кривых

170

уравнения (7)

172

4.

Построение функции последования на полупрямой θ=const

5.

Возможный характер отдельной траектории, проходящей через точку

174

достаточно малой окрестности состояния равновесия

6.

Возможный характер разбиения на траектории достаточно малой

176

окрестности состояния равновесия 0

7.

Примеры

179

§9. Направления, в которых траектории стремятся к простым

182

состояниям равновесия

1.

Основное определение

182

2.

Угловой коэффициент направления, в котором траектория может

185

стремиться к простому состоянию равновесия

3.

Узел с различными характеристическими корнями

187

4.

Дикритический узел

191

5.

Вырожденный узел

195

6.

Седло и фокус

199

7.

Сводка сведений о простых состояниях равновесия с неравными

200

нулю действительными частями характеристических корней

8.

Примеры

203

Глава V. Теория индекса и ее приложения к динамическим

205

системам

Введение

205

§10. Индекс Пуанкаре

205

1.

Вращение векторного поля

205

2.

Индекс простой замкнутой кривой по отношению к заданному на

208

ней векторному полю

3.

Поле касательных к замкнутой кривой

212

4.

Определение индекса, данное Пуанкаре

213

§11. Приложение теории индекса к динамическим системам

214

1.

Две основные теоремы

214

2.

Индекс изолированной особой точки

214

3.

Индекс как криволинейный интеграл

216

4.

Вычисление индексов простых состояний равновесия динамической

217

системы

Глава VI. Некоторые приемы качественного исследования

220

конкретных динамических систем

Введение

220

§12. Признаки отсутствия и существования замкнутых траекторий

223

1.

Некоторые общие замечания о кольцеобразных областях,

223

заполненных замкнутыми траекториями

2.

Случай, когда об отсутствии предельных циклов можно заключить

224

непосредственно на основании расположения изоклин горизонтальных

и вертикальных наклонов и характера поля между ними

3.

Критерий Дюлака и Бендиксона

226

4.

Применение индексов Пуанкаре и циклов однократного пересечения

229

к решению вопросов существования предельных циклов

5.

Топографическая система кривых и контактная кривая

231

6.

Примеры

232

§13. Поведение траекторий на бесконечности

237

1.

Общие замечания. Преобразование Бендиксона

237

2.

Рассмотрение динамической системы, правые части которой

241

многочлены на "сфере Пуанкаре"

3.

Пример исследования экватора

249

§14. Использование методов приближенного вычисления для

249

определения качественной структуры разбиения на траектории

1.

Общие замечания

249

2.

Метод изоклин

250

3.

Специфика использования численных методов при определении

252

качественной структуры разбиения на траектории

4.

Случай, когда доказательство существования предельного цикла

253

возможно при помощи приближенного построения дуг траекторий

5.

Случай, когда топологическая структура разбиения на траектории

254

принципиально не может быть установлена путем приближенного

вычисления (построения) траекторий

Глава VII. "Особые" траектории и ячейки динамической системы

256

Введение

256

§15. Орбитно-устойчивые и орбитно-неустойчивые траектории и

257

полутраектории

1.

Основные определения

257

2.

Простейшие примеры орбитно-устойчивых и орбитно-неустойчивых

260

траекторий

3.

Возможные типы орбитно-неустойчивых полутраекторий и

262

траекторий

4.

Вспомогательные леммы о поведении полутраекторий в окрестности

263

состояния равновесия

5.

Орбитно-неустойчивые траектории, стремящиеся к состоянию

266

равновесия

6.

Сепаратрисы состояния равновесия

275

7.

Некоторые вспомогательные предложения

277

8.

Полутраектории, среди предельных точек которых есть отличные от

280

состояний равновесия

9.

Возможные типы особых и неособых траекторий в случае конечного

284

числа состояний равновесия. Случаи конечного числа особых

траекторий

§16. Ячейки динамической системы в случае конечного числа особых

285

траекторий

1.

Вводные замечания

280

3.

Леммы о множестве точек, принадлежащих особым элементам

287

4.

Доказательство конечности числа ячеек (в случае конечного числа

288

особых элементов)

5.

Случай динамической системы на сфере

290

6.

Поведение траекторий, близких к орбитно-устойчивым траекториям

291

7.

Некоторые предложения о незамкнутых орбитно-устойчивых

296

траекториях

8.

Возможный характер неособых элементов внутри одной и той же

299

ячейки

9.

Ячейки, заполненные замкнутыми траекториями

300

10. Ячейки, заполненные незамкнутыми траекториями

304

11. Свойства границы двусвязной ячейки, заполненной незамкнутыми

307

траекториями

13. Полное качественное исследование динамической системы. Схема

315

динамической системы

Глава VIII. Схема состояния равновесия

316

Введение

317

§17. Состояние равновесия, к которому стремится хотя бы одна

317

полутраектория

1.

Вспомогательные предложения

317

2.

Возможный характер криволинейного сектора. Гиперболический

322

(седловой), параболический и эллиптический сектор

3.

Леммы об эллиптических областях

328

§18. "Элементарные области". Типы элементарных областей

330

1.

Проведение дуги без контакта в параболическом секторе

330

2.

Проведение дуг без контакта в эллиптической области

336

3.

Правильная седловая область

337

4.

Топологическая тождественность разбиений на траектории

339

элементарных областей одинакового типа

§19. Локальная и полная (глобальная) схема состояния равновесия

346

1.

Циклический порядок сепаратрис и эллиптических областей

346

состояния равновесия, не являющегося центром

2.

Каноническая замкнутая кривая вокруг состояния равновесия

349

3.

Локальная схема состояния равновесия, не являющегося центром

351

4.

Полная (или глобальная) схема состояния равновесия, не

356

являющегося центром

5.

Состояние равновесия типа центр

360

Глава IX. Методы исследования некоторых типов сложных

362

состояний равновесия

Введение

362

§20. Направления, в которых траектории стремятся к сложному

363

состоянию равновесия

1.

Переход к полярным координатам

363

2.

Общий случай

364

3.

Особый случай

367

4.

Примеры

372

§21. Топологическая структура сложного состояния равновесия в

372

случае σ = P'x (0,0) +Q'y (0,0) ≠0

1.

Вспомогательные преобразования и леммы

372

2.

Возможные топологические структуры сложного состояния

377

равновесия в случае σ ≠0

§22. Топологическая структура сложного состояния равновесия в

385

случае σ=0

1.

Вспомогательные леммы

385

2.

Возможные топологические структуры сложного состояния

397

равновесия в случае σ=0

3.

Упрощение исследования. Примеры

404

Глава X. Схема предельного континуума и границы области G*

411

Введение

411

§23. Свойства предельных континуумов и континуумов, входящих в

412

границы ячеек, заполненных замкнутыми траекториями

412

1.

Свойства ω- и α-предельных континуумов, не являющихся

состоянием равновесия

2.

Нуль-предельные континуумы и их свойства

417

3.

Теорема о континууме, состоящем из особых траекторий,

420

являющихся продолжением одна другой

§24. Локальная схема предельного континуума и каноническая

421

окрестность

421

1.

ω(α)-перечисление ω-, α- и 0-предельных континуумов

2.

Тождественность перечислений двух предельных континуумов

423

3.

"Односторонняя" каноническая окрестность предельного

424

континуума

426

4.

Локальные схемы ω-, α- и 0-предельных континуумов и теорема о

тождественности разбиения на траектории канонических окрестностей

континуумов с одинаковыми локальными схемами

§25. Полная схема предельного континуума

432

1.

Простые замкнутые кривые, образованные траекториями,

432

составляющими предельный континуум

2.

Односторонние и двусторонние предельные континуумы

435

3.

Взаимное расположение континуумов и их канонических кривых

439

4.

Свободные и несвободные континуумы

441

5.

Полная (глобальная) схема предельного континуума

442

§26. Схема границы области

447

1.

Угловые точки граничных кривых

447

2.

Схема граничной кривой, схема границы и тождественность двух

449

схем границы

Глава XI. Схема динамической системы и основная теорема

453

Введение

453

§27. Правильная система канонических окрестностей. ω(α)-дуги и

454

ω(α)-циклы

1.

Обозначения для особых элементов динамической системы

454

2.

Правильные системы канонических окрестностей

454

3.

Элементарные дуги и свободные циклы без контакта

458

4.

Сопряженные элементарные ω- и α-дуги и сопряженные свободные

461

ω- и α-циклы

463

§28. Сопряженные свободные ω(α)-предельные и нуль-предельные

континуумы и области между их каноническими окрестностями

463

1.

Взаимное расположение двух свободных сопряженных ω- и α-

циклов

465

2.

Сопряженные ω- и α-предельные континуумы

3.

Сопряженные нуль-предельные континуумы

466

4.

Траектории, проходящие через концы сопряженных ω- и α-дуг

467

5.

Леммы о граничных особых элементах и ω- и α-дугах, являющихся

469

частями граничных дуг без контакта

6.

Цепочки из особых элементов, траекторий и граничных дуг,

472

соединяющих концы сопряженных ω- и α-дуг

7.

Области между сопряженными каноническими кривыми и между

478

сопряженными элементарными дугами

§29. Схема динамической системы и теорема о тождественности

481

топологических разбиений на траектории

1.

Схема динамической системы

481

2.

Соответствие по схеме между каноническими кривыми и дугами

486

канонических кривых

488

3.

Сопряженные ω- и α-дуги двух систем D и D' с тождественными

схемами

4.

Основная теорема

490

5.

Схема динамической системы на сфере. Схема динамической

497

системы, определенной на плоскости и отображенной на сферу

Пуанкаре

Глава XII. Качественное исследование "в целом" конкретных

499

динамических систем

30. Примеры

499

Дополнение

519

§1. Элементарные сведения о множествах в евклидовом пространстве

519

1.

Некоторые обозначения

519

2.

Сегмент и интервал

519

3.

Точка сгущения, граничная и внутренняя точка множества

519

4.

Множества открытые и замкнутые. Граница

520

5.

Расстояние между множествами. Компактные множества

520

6.

Связные множества. Континуум и область

520

7.

Области с общей границей

520

8.

Множества всюду плотные и нигде не плотные

521

9.

Окрестности, покрытия

521

10. Топологический предел

521

11. Отображение множеств друг на друга

521

12. Топологическое отображение

522

13. Теорема Брауэра об инвариантности области

522

14. Системы функций, описывающие отображение множеств

522

15. Простая дуга

522

16. Простая замкнутая кривая

523

§2. Простые замкнутые кривые и простые дуги на плоскости.

523

Ориентация плоскости (направление обхода простых замкнутых

кривых). Типы топологических отображений

1.

Две основные теоремы

523

2.

Леммы о простой замкнутой кривой

523

3.

Направление обхода простых замкнутых кривых. Циклический

525

порядок точек на простой замкнутой кривой

4.

Индуцированное направление на простой дуге, являющейся частью

525

простой замкнутой кривой

5.

Ориентация плоскости

525

6.

Некоторые предложения о направлениях обхода простых замкнутых

527

кривых, имеющих общую дугу или общую точку

7.

Два предложения о связи между порядком точек на

528

непересекающихся простых замкнутых кривых

8.

Два типа топологических отображений плоскости в себя

528

(сохраняющие ориентацию и изменяющие ориентацию)

§3. Положительная и отрицательная "сторона" простой дуги

529

1.

Области, характеризующие различные "стороны" простой дуги

529

2.

Определение областей, характеризующих различные стороны

531

простой дуги, с помощью введения криволинейной системы координат

3.

Некоторые предложения о взаимном расположении дуг и простых

532

замкнутых кривых

4.

Ограниченные области на плоскости

532

§4. Лемма Адамара и теорема о неявных функциях

533

1.

Классы функций

533

2.

Лемма Адамара

533

3.

Теорема о неявных функциях

534

§5. Угол между векторами. Гладкая простая дуга и гладкая простая

536

замкнутая кривая. Угол между двумя гладкими дугами

1.

Угол между векторами

536

2.

Гладкая простая дуга

536

3.

Гладкая простая замкнутая кривая и кусочно-гладкая простая

536

замкнутая кривая

4.

Гладкая линия

537

§6. Регулярное отображение. Криволинейные координаты. Некоторые

538

предложения о гладких дугах и гладких замкнутых кривых

1.

Регулярное отображение

538

2.

Криволинейные координаты

539

3.

Преобразование компонент вектора при регулярном отображении.

540

Контравариантный вектор. Преобразование касательного вектора

4.

Изменение угла между векторами при регулярном отображении.

541

Роль якобиана преобразования

5.

Использование регулярного отображения при рассмотрении

541

областей, характеризующих различные стороны простой гладкой дуги

542

6.

Один способ введения функций x=ϕ(s,t), y=ψ(s,t)

7.

Пересечение двух гладких дуг и пересечения гладкой дуги с гладкой

544

и кусочно-гладкой простой замкнутой кривой

8.

Два предложения о построении функций по заданным условиям

545

§7. Сфера в евклидовом пространстве

547

1.

Окрестность точки сферы

547

2.

Простая дуга и простая замкнутая кривая на сфере

548

3.

Покрытие сферы и координаты на сфере

548

4.

Одно частное простейшее координатное покрытие сферы

550

5.

Ориентация сферы и типы топологических отображений сферы в

551

себя

6.

Функции, заданные на сфере

551

§8. Основные теоремы теории дифференциальных уравнений

552

1.

Теорема о существовании и единственности решения

552

2.

Теорема о непрерывной зависимости от начальных значений

553

3.

Производные по независимому переменному и по начальным

553

значениям

§9. К вопросу о понятии "качественной структуры" разбиения на

554

траектории и о понятии особых и неособых траекторий

1.

Сопоставление инвариантов топологических и регулярных

554

отображений

2.

Различные подходы к выделению областей, заполненных

555

траекториями "одинакового поведения"

3.

Случай бесконечного числа орбитно-неустойчивых траекторий

557

4.

Геометрический пример А.Г.Майера всюду плотного множества

557

орбитно-неустойчивых траекторий-сепаратрис состояния равновесия

10. Теорема Бендиксона об индексе сложного состояния равновесия

559

Литература

563

Алфавитный указатель

566

Автоколебания 16

Внутренняя угловая точка 448

Автономная динамическая система

Вращение векторного поля 205, 207

19

Вырожденное состояние равновесия

Бендиксона критерий отсутствия

397

предельных циклов 226

Вырожденный узел 195

- преобразования 239

Гиперболическая область 316

- сфера 222

- (ω, α)-дуга 350

- теорема об индексе сложного

Гиперболический (седловой) сектор

состояния равновесия 559

322

Векторное поле непрерывно-

Гладкая простая дуга 536, 537

дифференцируемое 25

- - замкнутая кривая 537

- - непрерывное без особенностей 206

Граница нормальная 286

Виток траектории 86

Граничные дуги без контакта 286

Внешний предельный континуум 465

- - траекторий 286

- цикл без контакта 464

- траектории 286

Внешняя угловая точка 448

- циклы без контакта 286

Внутренний предельный континуум

Движение на траектории 35

4с5

Двусторонний континуум 417

- цикл без контакта 464

Дикритический узел 151, 191