Литература / СРМА / Bautin

систем.

Содержание

Предисловие к первому изданию

9

Часть I АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА С

АНАЛИТИЧЕСКИМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ

Глава 1. Общие сведения о динамической системе на плоскости.

11

Основные теоремы

§ 1. Автономная динамическая система на плоскости

11

§ 2. Теорема существования и единственности решения

12

§ 3. Простейшие свойства решений системы (А)

13

§ 4. Геометрическая интерпретация системы (А) на фазовой плоскости

15

(х, у)

§ 5. Сопоставление геометрической интерпретации системы (А) в

17

пространстве (x, у, t) с интерпретацией на фазовой плоскости

§ 6. Некоторые термины

18

§ 7. Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных

19

условий

§ 8. Направление на траекториях. Изменение параметризации

19

§ 9. Дифференциальное уравнение, соответствующее динамической

22

системе

§ 10. Понятие интегральной кривой и интеграла в случае аналитических

23

правых частей Р(х, у) и Q(х, у) системы (А)

§ 11. Что значит "найти решение динамической системы"

25

§ 12. Примеры

26

§ 13. Замечания по поводу примеров § 12

35

§ 14. Математическое определение качественной (топологической)

37

структуры разбиения на траектории и качественного исследования

динамической системы

Глава 2. Возможный характер отдельной траектории. Теория

40

Пуанкаре — Бендиксона. Особые траектории

Введение

40

§ 1. Дуга без контакта

40

§ 2. Цикл без контакта

42

§ 3. Предельная точка полутраектории и траектории. Предельная

43

траектория

§ 4. Основная теорема

46

§ 5. Возможные типы полутраекторий и их предельных множеств

48

§ 6. Особые и неособые полутраектории и траектории

50

§ 7. Возможные типы особых, и неособых траекторий

52

§ 8. Случай конечного числа особых траекторий. Элементарные ячейки

53

§ 9. Возможные типы ячеек. Односвязные и двусвязные ячейки

55

§ 10. Два подхода к описанию качественной структуры

56

§ 11. Качественная (топологическая) структура состояния равновесия в

57

случае конечного числа особых траекторий. Схема динамической

системы

§ 12. Устойчивость по Ляпунову

63

Глава 3. Исследование качественной структуры окрестности

65

состояния равновесия (особой точки)

Введение

65

§ 1. Простые состояния равновесия (особые точки)

65

§ 2. Приведение динамической системы к каноническому виду

66

§ 3. Возможный характер простых состояний равновесия. Грубые

68

состояния равновесия

§ 4. Замечания о методах установления характера грубых состояний

69

равновесия

§ 5. Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими

70

корнями

§ 6. Направления, в которых траектории стремятся к простым

75

состояниям равновесия

§ 7. Угловой коэффициент направления, в котором траектория может

77

стремиться к простому состоянию равновесия

§ 8. Сводка сведений о грубых состояниях равновесия

80

Глава 4. Качественная структура окрестностей некоторых сложных

84

состояний равновесия

§ 1. Направления, в которых траектории стремятся к сложному

84

состоянию равновесия

§ 2. Сложное состояние равновесия (особая точка) с нулевыми

86

характеристическими корнями

§ 3. Примеры

91

§ 4. Нормальные формы

94

Глава 5. Функция последования. Простые и сложные предельные

95

циклы

§ 1. Функция последования

95

§ 2. Условия устойчивости и неустойчивости неподвижной точки

97

точечного отображения

§ 3. Функция соответствия

98

§ 4. Изучение окрестности замкнутой траектории. Простые и сложные

99

предельные циклы

§ 5. Аналитические выражения для коэффициентов функции

103

последования. Характеристический показатель замкнутой

траектории

Глава 6. Некоторые приемы качественного исследования

106

§ 1. Некоторые признаки существования и отсутствия предельных

106

циклов

§ 2.

Изучение поведения интегральных кривых в бесконечности. Сфера

107

Пуанкаре

§ 3.

Примеры исследования в бесконечности

109

§ 4.

Критерии Бендиксона и Дюлака отсутствия предельных циклов

113

§ 5.

Топографическая система Пуанкаре. Функция Ляпунова. Кривые

118

контактов

Часть II. ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ

Глава 7. Двумерные консервативные системы. Неконсервативные

128

динамические системы теории колебаний. Общие теоремы

Введение

128

§ 1. Свойства консервативных систем на плоскости

128

§ 2.

Динамические системы, характерные для теории колебаний

133

§ 3.

Измененные системы. Системы, правые части которых зависят от

131

параметра

§ 4.

Основные теоремы о зависимости решения от изменения правых

133

частей динамической системы

§ 5.

Грубость динамической системы и теорема о непрерывной

136

зависимости решения от изменения правых частей

Глава 8. Грубые динамические системы

138

§ 1. Определение грубой динамической системы

138

§ 2. Состояния равновесия, возможные в грубой динамической системе

141

§ 3. Состояния равновесия с чисто мнимыми характеристическими

142

корнями

§ 4. Замкнутые траектории, возможные в грубой системе

143

§ 5. Поведение сепаратрис седел в грубых системах

145

§ 6.

Необходимые условия грубости. Достаточность этих условий для

145

грубости системы

§ 7.

Пространство динамических систем. Всюду плотность грубых

147

(двумерных) динамических систем

§ 8.

Понятие грубости при более общих предположениях относительно

148

правых частей динамической системы

§ 9.

Типы особых траекторий и ячеек в грубых системах

151

§ 10. Замечания по поводу определения грубой системы

153

Глава 9. Простейшие негрубые динамические системы — системы

155

первой степени негрубости

§ 1.

Общие замечания

155

§ 2.

Системы первой степени негрубости

155

§ 3.

Состояния равновесия, возможные в системе первой степени

157

негрубости

§ 4. Замкнутые траектории, возможные в системе первой степени

158

негрубости

§ 5. Условия на сепаратрисы седел и седло-узлов в системе первой

158

степени негрубости

§ 6. Необходимые и достаточные условия первой степени негрубости

159

§ 7. Динамические системы более высокой степени негрубости

160

Глава 10. Бифуркации при изменении правых частей динамической

163

системы

§ 1. Определение бифуркации

163

§ 2. Бифуркации систем первой степени негрубости

164

§ 3. Бифуркации некоторых типов сложных особых точек

171

§ 4. Бифуркации двукратной точки, для которой ∆=0 и σ= 0

174

§ 5. Рождение предельных циклов из особых траекторий степени

178

негрубости выше первой

Глава 11. Динамические системы, правые части которых содержат

180

параметры

§ 1. Возможный характер зависимости правых частей динамической

180

системы от параметров

§ 2. Смена качественных структур при изменении параметров

184

§ 3. Случай, когда правые части зависят более чем от одного параметра

190

§ 4. Бифуркации "от бесконечности"

194

§ 5. Условия существования седло-узла и сложного фокуса первого

196

порядка

§ 6. Поворот векторного поля

200

§ 7. Метод малого параметра. Метод Понтрягина

203

Глава 12. Динамические системы с цилиндрической фазовой

208

поверхностью

§ 1. Цилиндрическая фазовая поверхность и характер траекторий,

208

возможных на цилиндрической фазовой поверхности

§ 2. Замкнутые траектории, охватывающие цилиндр

209

§ 3. Приемы исследования качественной структуры динамической

212

системы на цилиндре

§ 4. Понятие грубости и степени негрубости для динамических систем

212

на цилиндре. Бифуркации на цилиндре. Поворот поля

§ 5. Динамические системы на цилиндре, близкие к гамильтоновым

215

(метод Понтрягина)

Глава 13. Адекватное истолкование нелинейных физических

217

явлений фактами качественной теории и теории бифуркаций

динамических систем

Введение

217

§ 1. Мягкий и жесткий режимы

219

§ 2. Замечания о границах области устойчивости различных

220

стационарных режимов

§ 3. Мягкое и жесткое возникновение колебаний

222

§ 4. "Безопасные" и "опасные" границы области устойчивости

225

состояний равновесия

§ 5. Замечания по поводу других границ области устойчивости

234

Часть III. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОНКРЕТНЫХ

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С АНАЛИТИЧЕСКИМИ

ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ

Глава 14. Общие замечания о приемах качественного исследования

237

Введение

237

§ 1. Некоторые рецептурные указания

241

§ 2. Некоторые простые примеры качественного исследования

243

динамических систем на плоскости

§ 3. Некоторые простые примеры динамических систем на цилиндре

252

Глава 15. Исследование методом малого параметра (методом

258

Понтрягина)

§ 1. Общие замечания

258

§ 2. Примеры рассмотрения методом Понтрягина (полное исследование)

260

§ 3. Исследование методом Понтрягина с привлечением

272

вычислительных методов

Глава 16. Качественное исследование динамических систем с

285

использованием приемов, опирающихся на теорию

бифуркаций

§ 1. Квадратичное дифференциальное уравнение

285

§ 2. Электрическая цепь с туннельным диодом

292

§ 3. Двумерная модель динамики твердотельного лазера

305

§ 4. Симметричный полет самолета в вертикальной плоскости (задача Н.

313

Е. Жуковского)

§ 5. Система, описывающая динамику проточного химического

324

реактора

§ 6. Фазовая автоподстройка частоты

334

§ 7. Частотно-фазовая автоподстройка частоты (случай существования

340

трех предельных циклов)

§ 8. Синхронный генератор с асинхронной характеристикой

345

Часть IV. КУСОЧНО-СШИТЫЕ СИСТЕМЫ

Глава 17. Общие сведения о кусочно-сшитых системах

357

Введение

357

§ 1. Сшитые системы. Доопределение на линиях сшивания

359

§ 2. Возможные типы полутраекторий сшитых систем

361

§ 3. Особые траектории сшитых систем

363

§ 4. Бифуркации в сшитых системах. Метод Понтрягина для сшитых

367

систем

Глава 18. Исследование кусочно-сшитых систем методом

382

Понтрягина

§ 1. Уравнение из теории электрических машин

382

§ 2. Автоподстройка при кусочно-постоянной аппроксимации

388

характеристики

§ 3. Автоколебания синхронного мотора

392

Глава 19. Качественное исследование сшитых систем методами

399

теории бифуркаций

§ 1. Кусочно-линейная система с тремя параметрами

399

§ 2. Следящая система с люфтом

404

§ 3. Электрическая цепь с туннельным диодом

408

§ 4. Система со скачками на линии сшивания

418

Глава 20. Об аппроксимациях и грубости пространства параметров

431

Введение

431

§ 1. Рассмотрение системы (2) при аппроксимациях пилообразными

433

функциями

§ 2. Рассмотрение системы (2) при аппроксимации, включающей

437

отрезок параболы

§ 3. Рассмотрение системы (2) при аппроксимациях кусочно-постоянной

439

для sinϕ и пилообразной для cosϕ функциями

§ 4. Исследование роли аппроксимаций для уравнения маятникова типа

444

§ 5. Динамическая система, описывающая автоколебания синхронного

449

мотора

§ 6. Динамическая система, описывающая симметричный полет

458

самолета

Дополнение

463

§ 1. Динамические системы на двумерных поверхностях

463

§ 2. Динамические системы в n-мерном евклидовом пространстве

467

Список литературы

476

Список дополнительной литературы

483