2.10. Разложение функций по формуле Тейлора
Пример 2.7. Разложить по формуле Тейлора (Маклорена) функцию ( ) = .
Решение. Пусть = 0. Производная функции произвольного порядка имеет вид
( )( ) = , .
Частные значения производных в точке = 0 равны
( )(0) = 0 = 1, .
Формула Тейлора (разложение функции по формуле Тей-
лора) имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 + |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
( ), |
(2.31) |
|
|
|
+ |
|
+ |
|
+ + |
|
+ |
|||
|
|
|
|
||||||||
|
|
1! |
|
2! |
|
3! |
|
! |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где остаточный член в форме Лагранжа
61 из 80
+1
+1( ) = ( + 1)! , 0 < < 1.
На произвольном отрезке [– , ], > 0 справедлива рантная оценка остаточного члена
+1
| +1( )| < ( + 1)! .
При фиксированном выполняется
lim +1( ) = 0.
→∞
мажо-
(2.32)
Пример 2.8. Разложить по формуле Тейлора (Маклорена) функцию ( ) = −.
Решение. Пусть = 0. Производная функции − произвольного порядка имеет вид
62 из 80
( )( ) = (−1) −, .
Частные значения производных в точке = 0 равны
( )(0) = (−1) 0 = (−1) , .
Формула Тейлора (разложение функции по формуле Тейлора) имеет вид
|
− = 1 − |
|
+ |
2 |
− |
3 |
+ + |
(−1) |
|
+ |
( ), |
(2.33) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1! |
|
2! |
|
3! |
|
|
|
|
|
! |
+1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где остаточный член в форме Лагранжа |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = |
|
|
|
|
−, 0 < < 1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
||||||||
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 ! |
|
|
|
|
|
||
На произвольном отрезке [– , ], > 0 справедлива мажорантная оценка остаточного члена
63 из 80
| |
( )| < |
+1 |
. |
(2.34) |
|
|
|
||||
+1 |
|
( + 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
При фиксированном выполняется
lim +1( ) = 0.
→∞
Пример 2.9. Разложить по формуле Тейлора (Маклорена)
функцию ( ) =
Решение. Пусть = 0. Производная функции произвольного порядка имеет вид
( )( ) = ( + 2) , .
Частные значения производных в точке = 0 равны
64 из 80
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
( )( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 = (0 + ) = { |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
( |
) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
2 , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула Тейлора (разложение функции |
||||||||||||||||||||||||
Тейлора) имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= − |
|
+ |
|
− |
|
+ |
|
|
|
|||||||||||||
|
3! |
5! |
7! |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
( |
) |
|
2 +1 |
|
+ 2 +3 |
( |
) |
, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
+ −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 + 1 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где остаточный член в форме Лагранжа
.
по формуле
(2.35)
2 +3( ) = |
|
2 +3 |
( + (2 + 3) |
|
) , 0 < < 1. |
( |
) |
2 |
|||
|
|
2 + 3 ! |
|
|
65 из 80
На произвольном отрезке [– , ], > 0 справедлива мажорантная оценка остаточного члена
| 2 +3( )| < |
|
2 +3 |
. |
(2.36) |
( |
) |
|||
|
|
2 + 3 ! |
|
|
При фиксированном выполняется
lim 2 +3( ) = 0.
→∞
Приведем в качестве иллюстрации графики функции и её многочлена Тейлора
66 из 80
Рис. 2.7. Функция ( ) = и её многочлен Тейлора 9( )
67 из 80
Пример 2.10. Разложить по формуле Тейлора (Маклорена)
функцию ( ) =
Решение. Пусть = 0. Производная функции произвольного порядка имеет вид
( )( ) = ( + 2) , .
Частные значения производных в точке = 0 равны
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
−1 |
2 |
, |
|
|
, |
|
||||
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
( )( ) |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 = (0 + ) = { |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
0, |
|
, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
Формула Тейлора (разложение функции по формуле Тейлора) имеет вид
68 из 80
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
6 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
= 1 − |
|
|
+ |
|
− |
|
|
+ |
|
|
|
|||||||||||
|
2! |
|
4! |
6! |
|
|
(2.37) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
+ 2 +2 |
( |
) |
, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
+ −1 |
|
|
(2 )! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
где остаточный член в форме Лагранжа |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 +2 |
( ) = |
|
|
2 +2 |
|
|
|
( + (2 + 2) |
|
) , 0 < < 1. |
||||||||||||||
( |
|
|
) |
|
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 + 2 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
На произвольном отрезке [– , ], > 0 справедлива мажорантная оценка остаточного члена
| 2 +2( )| < |
|
2 +2 |
. |
(2.38) |
( |
) |
|||
|
|
2 + 2 ! |
|
|
При фиксированном выполняется
69 из 80
lim 2 +2( ) = 0.
→∞
Пример 2.11. Разложить по формуле Тейлора (Маклорена)
функцию ( ) = (1 + ).
Решение. Пусть = 0. Производная функции (1 + ) произвольного порядка имеет вид
( )( ) = (−1) −1 ( − 1)! , . (1 + )
Частные значения производных в точке = 0 равны
(0) = 0; ( )(0) = (−1) −1( − 1)!, .
Формула Тейлора (разложение функции (1 + ) по формуле Тейлора) имеет вид
70 из 80
( |
|
) |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
||
1 + |
= − 2 |
+ 3 |
− 4 |
+ |
|
|||||||||
|
|
(2.39) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
+(−1) −1 |
|
+ |
|
( ), |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где остаточный член в форме Лагранжа
|
|
|
( |
|
|
) |
|
+1 |
|
|
|
|
|
( ) = |
|
|
−1 |
|
|
|
|
, 0 < < 1, |
|||
( |
|
|
)( |
|
|
) +1 |
|
|||||
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
+ 1 |
1 + |
|
|
|
|
||||
или в форме Коши |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
+1( |
1 − |
) |
|
|
|||
|
( ) = |
|
−1 |
|
|
|
|
|
, 0 < < 1. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+1 |
|
|
(1 + ) +1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
На отрезке [0,1] справедлива мажорантная оценка остаточного члена
71 из 80
1 | +1( )| < ( + 1) .
На отрезке [− , 0], 0 < < 1 справедлива оценка остаточного члена
+1
| +1( )| < 1 − .
При фиксированном выполняется
lim +1( ) = 0.
→∞
(2.40)
мажорантная
(2.41)
72 из 80
Пример 2.12. Разложить по формуле Тейлора (Маклорена)
функцию ( ) = (1 − ).
Решение. Пусть = 0. Производная функции (1 − ) произвольного порядка имеет вид
( )( ) = − ( − 1)! , . (1 + )
Частные значения производных в точке = 0 равны
(0) = 0; ( )(0) = −( − 1)!, .
Формула Тейлора (разложение функции (1 − ) по формуле Тейлора) имеет вид
73 из 80
( |
|
) |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
1 + |
= − − 2 |
− 3 |
− 4 |
− |
|
||||||||||
|
|
(2.42) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
− |
|
+ |
|
( ), |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где остаточный член в форме Лагранжа
+1
+1( ) = − ( + 1)(1 − ) +1 , 0 < < 1,
или в форме Коши
+1(1 − )+1( ) = − (1 − ) +1 , 0 < < 1.
На полуотрезке [0, ), 0 < < 1 справедлива мажорантная оценка остаточного члена
74 из 80
| |
( )| < |
+1 |
. |
(2.43) |
|
||||
+1 |
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
На отрезке [−1,0] справедлива мажорантная оценка остаточ-
ного члена |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
( )| < |
|
|
1 |
|
. |
|
(2.44) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
( |
|
|
) |
||||||
|
+1 |
|
+ 1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При фиксированном выполняется |
|
|
|
|
||||||
|
|
lim |
|
|
( ) = 0. |
|
||||
|
|
→∞ +1 |
|
|
|
|
|
|||
75 из 80