2.7. Обобщённая формула конечных приращений

Теорема 2.16 (теорема Коши). Пусть функции = ( ) и= ( ) непрерывны на отрезке [ , ], дифференцируемы на интервале ( , ) и, кроме того, производная ′( ) отлична от нуля всюду на интервале ( , ). Тогда на интервале ( , ) найдется точка , в которой выполняется

Доказательство. Из условий теоремы следует, что ( ) ≠( ). В противном случае, для функции g(x) выполняются все условия теоремы Ролля и, следовательно, на интервале (a, b) найдется точка ξ, в которой ′( ) = 0, что противоречит условиям теоремы.

40 из 80

Построим вспомогательную функцию

( ) − ( )

Φ( ) = ( ) − ( ) − ( ) − ( ) ( ( ) − ( )).

Для этой функции выполнены все условия теоремы Ролля. Следовательно, найдется точка ξ на интервале (a, b) такая, что

Φ′( ) = 0.

Производная вспомогательной функции равна

Φ′( ) = ′( ) − ( ) − ( ) ′( ).( ) − ( )

Подставляя правую часть этого выражения в левую часть предыдущего равенства, получаем искомое утверждение

′(ξ) − ( ) − ( ) ′(ξ) = 0,( ) − ( )

доказывающее теорему.

41 из 80

2.8. Раскрытие неопределённостей

Определенные трудности при исчислении пределов пред-

ставляют собой выражения вида ( ), когда функции одновре-

( )

менно стремятся к нулю (неопределенность вида ноль, делённый на ноль) либо к бесконечности (неопределенность вида бесконечность, делённая на бесконечность). В том случае, когда функции дифференцируемы, для вычисления пределов может быть применена

Теорема 2.17 (правило Лопиталя). Пусть функции = ( )

и = ( ) непрерывны и дифференцируемы всюду в некоторой окрестности точки = , за исключением, быть может, самой точки . В самой точке существуют равные нулю предельные значения функций, и производная ′( ) отлична от

42 из 80

нуля всюду в указанной окрестности точки. Тогда, если существует (конечное или бесконечное) предельное значение отношения производных функций, то существует и равное ему предельное значение отношения функций, причем выполняется

Доказательство. Переопределим функции в точке = значениями равными нулю ( ) = ( ) = 0. Тогда на отрезке [ , ] или [ , ], в зависимости от того какая точка расположена правее выполняется

Воспользуемся формулой обобщенных приращений

43 из 80

Здесь, либо ( , ), либо ( , ). В любом случае точка заведомо лежит межу точками и .

Рассмотрим предел частного функций при → . При этом также и →

По условиям теоремы существует предел правой части последнего равенства. Следовательно, должен существовать и равный ему предел в левой части равенства. Это и доказывает теорему.

44 из 80

Замечание 1. Если функции и их производные непрерывны в точке = , то формула может быть записана в виде

Замечание 2. Если производные функций удовлетворяют условиям теоремы, то правило Лопиталя может быть применено повторно

45 из 80

Замечание 3. Теорема остается справедливой и при стремлении аргумента функций к бесконечности.

−

Пример 2.6. Вычислить предел функции 3 .

→0

Решение. Воспользуемся правилом Лопиталя

46 из 80

Рассмотрим асимптотическое поведение (приближение) функции в окрестности точки = 0 на следующем примере. Известен факт

= 1.

→0

47 из 80

Это означает, что в точке = 0 функции и эквивалентные. Мы использовали запись ~, что равносильно следующему приближению

≈ .

С другой стороны, функция − = ( ) - бесконечно малая более высокого порядка малости по сравнению с :( ) = ( ). Исследуем её поведение в точке = 0. Вычислим

48 из 80

Последнее означает, что в окрестности нуля

Процесс построения приближений может быть продолжен

− ( − 16 3) = ( ).

49 из 80

Выразим из приближённого равенства функцию

≈ − 16 3 + 1201 5.

50 из 80