2.3. Общие свойства непрерывных функций

Теорема 2.4 (устойчивость знака непрерывной функцции).

Если функция = ( ) непрерывна в точке = , ( ) ≠ 0, то существует такая -окрестность точки , что для всех значений аргумента из указанной -окрестности, функция = ( ) не обращается в нуль и имеет знак, совпадающий со знаком

( ).

Теорема 2.5 (прохождение через нуль). Если функция =( ) непрерывна на отрезке [, ] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [, ] найдется такая точка (, ), значение функции в которой равно нулю ( ) = 0.

24 из 80

Теорема 2.6. Пусть функция = ( ) непрерывна на отрезке [, ] и ( ) = , ( ) = . Тогда для произвольного числа, заключенного между и , на отрезке [, ] найдется точка

такая, что ( ) = .

Теорема 2.7 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция

= ( ) непрерывна на отрезке [, ], то она ограничена на этом отрезке.

Определение 2.10. Число (число ) называют точной верхней (нижней) гранью функции = ( ) на множестве { }, если для произвольного из множества { } выполняется нера-

25 из 80

венство ( ) ≤ ( ( ) ≥ ), и каково бы ни было положительное число , найдется хотя бы одно значение из множества { }, для которого выполняется неравенство

( ) > − ( ( ) < + ).

Обозначения точных граней функций

= ( ) ; = ( ).

{ } { }

Теорема 2.8 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функ-

ция = ( ) непрерывна на отрезке [, ], то она достигает на этом отрезке своих точных верхней и нижней граней.

26 из 80

2.4. Монотонность функции в точке.

Локальный экстремум

Определение 2.11. Функция = ( ) возрастает (убывает) в точке = , если существует такая окрестность точки , в пределах которой справедливы неравенства

: < ( ) < ( ); : < ( ) < ( ) ( : < ( ) > ( ); : < ( ) > ( )).

Теорема 2.9 (достаточные условия монотонности функ-

ции в точке). Если функция = ( ) дифференцируема в точке= и её производная в этой точке положительна ′( ) > 0 (отрицательна ′( ) < 0), то в самой точке = функция возрастает (убывает).

27 из 80

Определение 2.12. Функция = ( ) имеет в точке локальный максимум (минимум), если найдется такая окрестность точки = , в пределах которой частное значение функции в точке = – наибольшее (наименьшее) по сравнению с произвольной точкой окрестности.

Теорема 2.10 (необходимое условие экстремума дифферен-

цируемой функции). Если функция = ( ) дифференцируема в точке = и имеет в этой точке локальный экстремум, то её производная в этой точке обращается в нуль.

28 из 80