2. Основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функцияхе
1 из 80
Класс непрерывных и дифференцируемых функций достаточно широк и находит различные применения в математических моделях. Функции этого класса обладают рядом полезных свойств, которые и рассматриваются в этом разделе.
Часть приведенных сведений в этом разделе – очевидны. Другие – широко не так, но постоянно используются в построении математических моделей. Именно на них и будет сделан упор.
2 из 80
2.1. Определение непрерывной функции
Введем ещё одно определение предела функции, принадлежащее Коши, которое использует иной подход, чем рассматривалось ранее (Гейне).
Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x = a, за исключением, может быть, самой точки a.
Определение 2.1 (Коши). Число называют предельным значением функции = ( ) в точке = , если для произвольного положительного числа найдется положительное числотакое, что для всех значений аргумента , подчиненных неравенству 0 < | − | < , выполняется неравенство | ( ) −| < .
3 из 80
Рис. 2.1. Определение предела функции по Коши в точке
4 из 80
Рис. 2.1 иллюстрирует определение предела функции по Коши: если аргумент удалён от точки = менее чем на , то значения функции удалены от числа менее чем на .
Пример 2.1. Доказать, что функция ( ) = 2−5 +6 имеет
−2
предельное значение, равное −1 в точке = 2.
Решение. Воспользуемся определением предела функции по Коши. Фиксируем произвольное положительное число . Найдем величину , о которой говорится в определении
| 2 − 5 + 6 − (−1)| < ;− 2
|
2 |
− 5 + 6 |
|
( ) |
( |
− 2 |
)( |
− 3 |
) |
|
||||
|
− |
= |
|
|
|
+ 1 = − 2. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
− 2 |
−1 |
|
|
|
− 2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
| |
− 2 |
| |
< . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5 из 80
Получили, что для произвольного положительного выполняется = . Таким образом
lim |
2 |
− 5 + 6 |
= −1. |
|
− 2 |
||
→2 |
|
||
Определение 2.2. Число называют правым (левым) предельным значением функции = ( ) в точке = , если для произвольного положительного числа найдется положительное число такое, что для всех значений аргумента , подчиненных неравенству 0 < − < (0 < − < ), выполняется неравенство | ( ) − | < .
Сделаем несколько важных замечаний.
6 из 80
Сама функция = ( ) необязательно лена в точке = . Величина находится положительно числа ε. Следовательно, δ
= .
должна быть опреде- δ для произвольного зависит от ε и точки
Прежнее определение (Гейне) предельного значения (одностороннего предельного значения) и новое определение (Коши) эквивалентны.
Пример 2.2. Доказать, что функция
( |
)| |
|
| |
|
|
|
|
− 3 − 2 |
|
+ 2, ≠ 2; |
|
( ) = { |
− |
2 |
|
||
|
|
||||
|
|
|
3, = 2. |
||
имеет левое предельное значение равное 5 в точке = 2.
7 из 80
Решение. Воспользуемся определением одностороннего предела функции по Коши. Фиксируем произвольное положительное число . Найдем величину , о которой говорится в определении
|( − 3)| − 2| + 2 − 5| < ;− 2
Если < 2, то | − 2| = −( − 2) и | 2 − − 2| < ;
{2 − − 2 − < 0
2 − − 2 + > 0.
Решение системы неравенств приводит к следующему выражению для
8 из 80
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 + 4 − 3 |
9 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
, > |
|
; |
|
|
|||
= |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 − 9 − 4 |
|
|
9 + 4 − 3 |
9 |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
( |
√ |
|
, |
√ |
|
|
|
|
) , 0 < ≤ |
|
. |
||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|||||||
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
( ) = 5. |
|
|
|
||||||||||
|
|
→2−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 2.3. Найти правое предельное значение функции
( |
)| |
|
| |
|
|
|
|
− 3 − 2 |
|
+ 2, ≠ 2; |
|
( ) = { |
− |
2 |
|
||
|
|
||||
|
|
|
3, = 2. |
||
в точке = 2.
9 из 80
Решение. Вычислим предел с помощью его свойств
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
)| |
− 2 |
| |
|
|
|
|
||
( |
|
) |
= |
lim |
( |
|
− 3 |
|
2 |
) = |
| |
| |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
|
|
|
− 2 |
|
|
+ |
|
− 2 > 0 |
||||||||
→2+0 |
|
|
→2+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
( |
− 3 |
)( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
lim |
|
|
|
|
− 2 |
+ lim 2 = −1 + 4 = 3. |
||||||||||
|
|
|
− 2 |
|
||||||||||||||
|
→2+0 |
|
|
|
|
→2+0 |
|
|
|
|||||||||
Новое определение позволяет переформулировать и определение непрерывности функции в точке.
Определение 2.3. Функцию ( ) называют непрерывной в точке = , если для произвольного положительного числа найдется положительное число такое, что для всех значений
10 из 80
аргумента , подчиненных неравенству | − | < , выполняется неравенство | ( ) − ( )| < .
А также и одностороннюю непрерывность
Определение 2.4. Функцию = ( ) называют непрерывной в точке = справа (слева), если для произвольного положительного числа найдется положительное число такое, что для всех значений аргумента , подчиненных неравенству 0 ≤− < (0 ≤ − < ), выполняется неравенство | ( ) −( )| < .
Пример 2.4. Исследовать на непрерывность функцию
( |
)| |
|
| |
|
|
|
|
− 3 − 2 |
|
+ 2, ≠ 2; |
|
( ) = { |
− |
2 |
|
||
|
|
||||
|
|
|
3, = 2. |
||
11 из 80
в точке = 2.
Решение. Воспользуемся результатами предыдущих примеров. Имеем
lim ( ) = 5,
→2−0
lim ( ) = 3,
→2+0
(2) = 3.
Точка = 2 - точка разрыва первого рода (скачок). Функция непрерывна в точке = 2 справа.
12 из 80
Рис. 2.2. Иллюстрация примеров 2.2 - 2.4
13 из 80
Переформулируется и определение предела на бесконечности, например, при стремлении к плюс бесконечности.
Определение 2.5 (Коши). Число называют предельным значением функции = ( ) при , стремящейся к бесконечности, если для произвольного положительного числа найдется положительное число такое, что для всех значений аргумента , подчиненных неравенству > , выполняется нера-
венство | ( ) − | < .
14 из 80
Рис. 2.3. Определение предела функции по Коши на бесконечности
15 из 80
Следуя определению, получаем, что как только аргумент функции будет расположен на числовой оси правее числа A, значение функции будут уклоняться от числа b менее чем на .
Нам в дальнейшем понадобится и новая формулировка критерия (условия) Коши, которая позволит исследовать функцию на существование предела в точке.
Определение 2.6 (Коши). Функция ( ) подчиняется в точке= условию Коши, если для произвольного положительного числа найдется положительное число такое, что, любых
значений аргумента ′ и |
′′, |
подчиненных условиям 0 < |
| ′ − | < и 0 < | ′′ − | |
< , |
для соответствующих значе- |
ний функции справедливо неравенство
| ( ′) − ( ′′)| < .
И на бесконечности
16 из 80
Определение 2.7 (Коши). Функция ( ) подчиняется при→ +∞ условию Коши, если для произвольного положительного числа найдется положительное число такое, что, любых значений аргумента ′ и ′′,больших чем , для соответствующих значений функции справедливо неравенство
| ( ′) − ( ′′)| < .
Теорема 2.1 (критерий Коши). Для того чтобы функция =( ) имела конечное предельное значение в точке = , необходимо и достаточно, чтобы функция = ( ) удовлетворяла в этой точке критерию Коши.
17 из 80
Теорема 2.2 (критерий Коши). Для того чтобы функция =( ) имела конечное предельное значение при → +∞, необходимо и достаточно, чтобы функция = ( ) удовлетворяла при → +∞ критерию Коши.
18 из 80