Ильин / 08. Смешанное произведение трех векторов
.pdf
8. Смешанное произведение
1 из 15
Смешанное произведение трех векторов позволяет проверять вектора на компланарность, вычислять объёмы и прочее.
2 из 15
8.1. Определение смешанного произведения
Пусть даны произвольные три вектора ̅ и . Если вектор
̅, ̅ ̅
векторно умножить на вектор ̅, а затем получившийся при этом
вектор ̅ скалярно умножить на вектор , то в результате по-
[̅, ] ̅
лучим число ̅ , которое называют смешанным произве-
([̅, ], )̅
дением векторов ̅ и .
̅, ̅
Определение 8.1. Смешанным произведением трех векторов
̅ и называют число, равное скалярному произведению век-
̅, ̅
тора на векторное произведение векторов и ̅.
̅ ̅
Для смешанного произведения используют обозначения |
|
|
̅ |
̅ |
(8.1) |
([̅, ], ̅) = (̅, , ̅). |
||
3 из 15
Теорема 8.1 (Геометрическое свойство смешанного произ-
ведения). Смешанное произведение ̅ равно объему па-
([̅, ], ̅)
раллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу
векторах ̅ и как на ребрах, взятому со знаком плюс, если
̅, ̅
тройка ̅ и правая, и со знаком минус, если тройка левая.
̅, ̅
Доказательство. Исключим тривиальные случаи: коллинеарных и компланарных векторов. Приведем вектора к общему
|
|
̅ |
|
началу (см. рис. 8.1). Плоскость проведена через вектора ̅, , ̅ |
|||
|
̅ |
||
- орт векторного произведения [̅, ]. |
|||
Воспользуемся теоремой о векторном произведении. Тогда |
|||
̅ |
( |
) |
|
([̅, ], ̅) = ( |
|||
|
̅, )̅. |
||
4 из 15
Рис. 8.1. Смешанное произведение трех векторов
5 из 15
Преобразуем с помощью скалярного произведения
̅ |
( |
) |
| |
| |
|
|
([̅, ], ̅) = |
̅, ̅= |
|
̅ пр ̅= пр .̅ |
|||
|
|
|
|
|
̅ |
̅ |
Второй сомножитель - высота параллелепипеда с учетом
знака. Тройка векторов ̅ и правая. В случае правой тройки a̅, b ̅
̅ и угол между векторами и . Поэтому проекция вектора a̅, b c̅ ̅ c̅
на ось положительна
пр ̅= .
̅
правая часть - объем параллелепипеда.
Если же тройка векторов ̅ и левая, то угол между этими a̅, b ̅
векторами тупой
пр ̅= − .
̅
В этом случае правая часть - объем параллелепипеда с противоположными знаком.
Теорема доказана
6 из 15
Следствие 1. Справедливо равенство
̅ ̅
([̅, ], ̅) = (̅, [ , ̅]).
Следствие 2. Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов – равенство нулю их смешанного произведения
̅ |
(8.2) |
(̅, , ̅) = 0. |
7 из 15
8.2.Алгебраические свойства смешанного
произведения
1. |
̅ |
̅ |
|
|
(̅, , ̅) = −( , ̅, )̅ - антиперестановочное свойство при |
||||
|
перестановке любых двух векторов; |
|||
|
|
̅ |
̅ |
̅ |
|
(̅, , ̅) = (̅, ̅, ) = |
( , ̅, ̅); |
||
|
̅ |
̅ |
̅ |
̅ |
|
(̅, , ̅) = −( , ̅, )̅= −( ̅, , ̅) = −(̅, ̅, ); |
|||
2. |
̅ |
̅ |
- сочетательное свойство относи- |
|
( ̅, , )̅= (̅, , ̅) |
||||
|
тельно умножения на число; |
|
||
3. |
̅ |
̅ |
̅ ̅ |
̅ |
((̅ + ), ̅, ) = (̅, ̅, ) + ( , ,̅ ) – распределительное |
||||
|
свойство относительно суммы векторов; |
|||
4. |
̅ |
– для произвольных векторов. |
||
(̅, ̅, ) = 0 |
||||
8 из 15
Пример 8.1. Пусть смешанное произведение трех неколлинеарных векторов ̅, ̅ и ̅равно -124. Найти смешанное произ-
ведение векторов ̅ = 3 ̅− 4̅ + ̅, |
̅ |
с̅ = 2 ̅+ |
= ̅− ̅ − ̅и |
||
̅ + 2 ̅. |
|
|
Решение. Вычислим смешанное |
произведение, |
пользуясь |
его определением. Найдем векторное произведение
̅ |
[ |
] |
|
[̅, ] = |
|||
|
3 ̅− 4̅ + ̅, ̅− ̅ − ̅= |
=[3 ̅, ̅] + [3 ̅, −̅] + [3 ̅, − ̅] + [−4̅, ̅] + [−4̅, −̅] + [−4̅, − ̅] + [ ̅, ̅] + [ ̅, −̅] + [ ̅, − ̅] =
=3[ ̅, ̅] − 3[ ̅, ̅] − 3[ ̅, ̅] − 4[̅, ̅] + 4[̅, ̅] + 4[̅, ̅] + [ ̅, ̅] − [ ̅, ̅] − [ ̅, ̅] =
=−3[ ̅, ̅] − 3[ ̅, ̅] − 4[̅, ̅] + 4[̅, ̅] + [ ̅, ̅] − [ ̅, ̅]
=−3[ ̅, ̅] − 3[ ̅, ̅] + 4[ ̅, ̅] + 4[̅, ̅] − [ ̅, ̅] + [̅, ̅] =
=[ ̅, ̅] − 4[ ̅, ̅] + 5[̅, ̅] =
9 из 15
Умножим результат скалярно на вектор с̅ и вычислим
̅ |
|
|
([ |
|
|
] |
|
[ |
] |
|
|
[ ] |
|
|
) |
||||
([̅, ], с̅) = |
̅, ̅ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
− 4 ̅, ̅+ 5 ̅, ̅, 2 ̅+ ̅ + 2 ̅= |
||||||||||||||||
= |
([ |
̅, ̅ |
] |
|
) |
([ |
̅, ̅ |
] |
, ̅ |
) |
+ |
([ |
̅, ̅ |
] |
) |
( [ ] ) |
|||
|
|
|
, 2 ̅+ |
|
|
|
|
|
, 2 ̅+ |
−4 ̅, ̅, 2 ̅ |
|||||||||
+(−4[ ̅, ̅], ̅) + (−4[ ̅, ̅], 2 ̅) + (5[̅, ̅], 2 ̅)
+(5[̅, ̅], ̅) + (5[̅, ̅], 2 ̅) =
=2([ ̅, ̅], ̅) + ([ ̅, ̅], ̅) + 2([ ̅, ̅], ̅) − 8([ ̅, ̅], ̅) − 4([ ̅, ̅], ̅) − 8([ ̅, ̅], ̅) + 10([̅, ̅], ̅) + 5([̅, ̅], ̅)
+ 10([̅, ̅], ̅) = 2([ ̅, ̅], ̅) − 4([ ̅, ̅], ̅) + 10([̅, ̅], ̅) =
=2([ ̅, ̅], ̅) + 4([ ̅, ̅], ̅) − 10([ ̅, ̅], ̅) = −6([ ̅, ̅], ̅)
Окончательно |
̅ |
|
̅, ̅ |
] |
, ̅= 6 |
( |
−124 |
) |
= |
([̅, ], с̅) = −6 |
|||||||||
|
|
([ |
|
) |
|
|
|||
−744.
10 из 15