Ильин / 04. Элементы общей теории СЛАУ
.pdf4.7. Метод исключения Гаусса
Метод исключения Гаусса – один из основных методов. Одновременно позволяет исследовать на совместность систему, и в случае её совместности найти её общее решение.
Метод Гаусса состоит в последовательном применении эквивалентных преобразований над строками расширенной матрицы и, может быть дополнен перестановками столбцов основной матрицы.
Первый этап метода – прямой ход метода Гаусса – приводит расширенную матрицу к верхнему треугольному виду, с отличными от нуля диагональными элементами
41 из 49
|
1 |
a |
... |
a |
a |
... |
a |
b |
|
|
|
|
|
12 |
|
1r |
1r 1 |
|
1n |
1 |
|
|
0 |
1 |
... |
a |
a |
... |
a |
b |
||
|
|
|
||||||||
A | B |
|
|
|
2r |
2r 1 |
|
2n |
2 |
||
... ... |
... ... |
... ... ... |
... |
|
||||||
|
|
0 |
0 |
... |
1 |
a |
... |
a |
b |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
rr 1 |
|
rn |
r |
||
|
|
0 |
0 |
... |
0 |
0 |
... |
0 |
b |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r 1 |
||
Если элемент +1 ≠ 0, то ( ) = , ( | ) = + 1
исистема несовместная.
Впротивном случае, +1 = 0, последняя строка – нулевая, исходная система совместная, и сама строка может быть исключена из системы.
42 из 49
Второй этап метода – обратный ход метода Гаусса - приводит полученную на первом этапе матрицу к диагональному виду, с отличными от нуля диагональными элементами
|
1 |
0 |
... |
0 |
a |
... |
a |
b |
|
||
|
|
|
|
|
|
1r 1 |
|
1n |
1 |
|
|
A | B |
0 |
1 |
... |
0 |
a |
... |
a |
b |
|||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2r 1 |
|
2n |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
... ... ... ... ... |
... ... |
... |
||||||||
|
|
0 |
0 |
... |
1 |
a |
... |
a |
b |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
rr 1 |
|
rn |
r |
|||
Эта расширенная матрица соответствует системе
x |
a |
x |
... a |
x |
b ; |
|||
|
1 |
1r 1 |
r 1 |
1n |
|
n |
1 |
|
x |
a |
x |
... a |
|
x |
b |
; |
|
|
|
|||||||
2 |
2r 1 |
r 1 |
2n |
n |
2 |
|
||
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
a |
x |
... a |
|
x |
b . |
||
|
r |
rr 1 |
r 1 |
rn |
|
n |
r |
|
43 из 49
x |
b |
a |
|
x |
... a |
|
x |
; |
|||||
|
1 |
1 |
1r 1 |
|
r 1 |
1n |
|
|
n |
|
|
||
x |
b |
a |
|
|
x |
... a |
|
|
|
x |
|
; |
|
|
|
|
2n |
|
|||||||||
2 |
2 |
2r 1 |
r 1 |
|
n |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
b |
a |
rr 1 |
x |
... a |
rn |
x . |
||||||
|
r |
r |
|
r 1 |
|
|
n |
|
|||||
Положим = −, = + 1, . Тогда общее решение запишем в следующем симметричном виде
44 из 49
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
x |
||
|
|
||
|
2 |
||
|
|
||
|
... |
||
X |
|
x |
|
|
|||
|
r |
||
|
x |
||
|
|
r 1 |
|
|
... |
||
|
|
||
|
|
||
|
|
x |
|
|
|
||
|
n |
||
|
|
b |
||
|
|
|
1 |
|
|
b |
|||
|
|
|
||
|
2 |
|||
|
|
|
||
|
|
... |
||
|
|
|
b |
|
|
|
|||
|
r |
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
||
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
a |
|
|
|
|
1r 1 |
|
|
a |
|||
|
|
|
||
|
2r 1 |
|||
|
|
... |
||
|
C |
|
a |
|
|
|
|||
1 |
rr 1 |
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
||
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
a |
|
|
|
|
1n |
|
|
a |
|||
|
|
|
||
|
2n |
|||
|
|
|
||
|
|
... |
||
|
... C |
|
a |
|
|
n r |
|||
|
rn |
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
||
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
X |
X |
Ещё раз напомним, что элементы матриц-столбцов не правая часть системы и не коэффициенты матрицы, а то, что получено при эквивалентных преобразованиях.
45 из 49
Пример 4.4. Методом Гаусса найти общее решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений
|
2x |
x |
|
3x |
2x |
4x |
1; |
||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
5 |
|
|
4x |
2x |
|
5x |
x |
7x |
1; |
|||||||
|
|
||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|||
|
2x |
x |
x |
8x |
2x |
1. |
|||||||
|
|||||||||||||
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
5 |
|
|
||
Решение. Прямой ход метода Гаусса. Записываем расширенную матрицу системы
|
2 |
1 |
3 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
A | B |
4 |
2 |
5 |
1 |
7 |
|
2 |
1 |
1 |
8 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1
.
Умножим первую строку на -2 и сложим со второй и одновременно вычтем из третьей строки
46 из 49
|
|
2 |
1 |
3 |
2 |
4 |
|
A | B |
|
0 |
0 |
1 |
5 |
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
0 |
2 |
10 |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
112
.
Вычеркнем третью строку (пропорциональную) и переставим второй и третий столбцы местами
A | B |
|
2 |
3 |
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
5 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
.
Матрица приведена к верхнему треугольному виду. Обратный ход метода Гаусса. Умножаем вторую строку на 3
и складываем с первой
A | B |
|
2 |
0 |
1 |
13 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
5 |
1 |
|
|
21
.
47 из 49
Матрица приведена к диагональному виду. Запишем равносильную систему уравнений
{2 1 + 0 3 − 2 + 13 4 + 5 = −2; |
||||||||||
0 |
− |
+ 0 + 5 |
− |
= −1. |
||||||
1 |
3 |
2 |
4 |
5 |
|
|
|
|
||
Или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{2 1 = −2 + 2 − 13 4 − 5; |
|
|||||||||
|
− 3 = −1 − 5 4 + 5. |
|
||||||||
Найдем базисные неизвестные |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
13 |
|
1 |
|
|||
{ 1 = −1 + |
|
2 − |
|
4 − |
|
|
5 |
; |
||
2 |
2 |
2 |
||||||||
|
3 = 1 + 5 4 − 5. |
|
|
|
|
|||||
Положим 2 = 2 1, 4 = 2 2, 3 = 2 3. Получаем общее решение
48 из 49
x1x2 X x3x4x5
или развернуто (ответ)
1
1 |
2C |
13 |
2C |
|
|
1 |
2C |
|
|
2 |
|
||||
2 |
1 |
2 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
2C1
1 5 2C2 2C3
2C2
2C3
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
13 |
|
|
1 |
||||||
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
||
|
|
C |
|
|
C |
|
|
|
C |
|
. |
||||||
X |
1 |
|
0 |
|
|
10 |
|
2 |
|||||||||
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
2 |
|
2 |
|
3 |
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|||
49 из 49